Лаба 1. отчет
.docФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт Неразрушающего Контроля
Направление – Приборостроение
Наименование кафедры - ФМПК
Кафедра АиКС
Отчет по лабораторной работе №1
«Динамические звенья первого порядка»
Выполнил студент группы 1Б11: Жанчипов Б.Д.
Проверил преподаватель : Казьмин В. П.
Томск 2013
Цель работы: Исследование переходных процессов, вызванных ступенчатым воздействием в динамических звеньях первого порядка, и оценка устойчивости звеньев по графикам переходных процессов и по корням характеристического уравнения.
Дифференциальные уравнения динамических звеньев первого порядка
и их решения
К динамическим звеньям первого порядка относятся: идеальное и реальное интегрирующие звенья, апериодическое, реально-диференцирующее и интегро-диференцирующее звенья.
В идеальном интегрирующем звене выходная величина Uвых пропорциональна интегралу от выходной величины Uвх и определяется выражением:
Где Uвых(0)-начальные значения выходной величины.
Решая уравнение (1) при нулевых начальных условиях, получим :
Передаточная функция идеально – интегрирующего звена имеет вид:
Реальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением, имеет решение и передаточную функцию:
Где s1 –корень характеристического уравнения звена ; U0 =const –амплитуда ступенчатого воздействия.
Дифференциальные уравнения, передаточная функция апериодического звена и его решения запишутся соответственно :
Реальное дифференцирующее звено описывается уравнениями :
Интегро-дифференцирующее звено имеет дифференциальное уравнение и передаточную функцию, соответственно:
Меняя коэффициенты модели Kид , T1 , T2 передаточной функции интегро-дифференцирующего звена (7), можно реализовать пропорциональное звено; звено с преобладанием функций дифференцирования, интегрирования; идеальное интегрирующее; реальное интегрирующее звено и т.д.
Переходный процесс является обратным преобразованием Лапласа:
Но так как данный интеграл является не берущимся, то для определения выражения Uвых(t) можно воспользоваться формулой Хевисайда:
где В, А – числитель и знаменатель передаточной функции; S1 – значение корня характеристического уравнения.
Звено будет устойчивым , если переходный процесс при t→ ∞ стремится к установившемуся значениюU(∞ ).
Ход работы :
Часть 1.
-
Создали в окне Simulink-модели схему апериодического звена первого порядка, изображенную на рисунке 1.
Определили эквивалентную функцию при установки «а»=1, «с»=1 и k=1.
-
Установили в схеме значение коэффициента «с»=1(«с»>0) и «к»>1, «к»=1.
2.1 Получили переходные характеристики звена на графике 1, при значениях коэффициента обратной связи: «а»=1, «а»=0, «а»=-1.
Из графика 1 можно определить устойчивость звена:
- при «а»=1 - устойчивый процесс, время переходного процесса которого 3 секундам, а установившееся значение равно 1;
- при «а»=0 - нейтральный процесс, график представляет собой линейную зависимость;
- при «а»=-1 - неустойчивый процесс, время установления и установившееся значение которого стремиться к бесконечности.
2.2 Корни характеристического уравнения звена, для указанных в п.2.1 параметров «а», соответственно равны -1, 0 и 1.
2.3 Установили значения «а»=0,25, «а»=0,5 и «а»=1 и получили переходные характеристики звена. При изменении “а”, меняется Т.С увеличением “а”, уменьшается Т.
При “а”=1, Т=1
При “а”=0,5, Т=2
При “а”=0,25 , Т=4
Построили графики, с помощью которых мы можем убедиться в правильности расчетов выходных величин
3. При неизменных значениях коэффициентов «а» и «к» определить влияние величины и знака «с» на параметры переходного процесса («с» = +, – 1, 2, 4).
a) Установим в схеме значения коэффициента ‘k’=1; “а”= 1 “с” = +, – 1, 2, 4. Получим графики:
Рис.5
b) Установим в схеме значения коэффициента ‘с’=1; “а”= 1 “k” = +, – 1, 2, 4. Получим графики:
Рис.6
Из графиков видно (рис.5) и (рис.6): время переходного процесса не изменяется, а меняется только амплитуда при разных значениях коэффициента “c” и “k”.
Упрощение схемы:
где w1=k=1, w2= , w3=c=1.
Рассчитаем передаточную функцию wэкв:
wэкв = w1* w2* w3=
Рассчитаем коэффициент передачи Кст : Кст=
Часть 2.
1. Создали в окне Simulink-модели схему моделирования интегро-дифференцирующего звена, изображенную на рисунке 2.
Рис.2 схема моделирования интегро-дифференцирующего звена
2 . Используя формулу Хевисайда определим выражение выходного сигнала Uвых(t), Uвых(0) при «с»=1, «а»=0.5. Для этого упростили данную схему.
Рисунок 3
W1=1/(s+a)
W2=s+c
W(s)=W2*W2=(s+c)/(s+a)
Используя формулу Хевисайда определим значение выходного сигнала при “c”=1 , “a”=0.5 .U =1В
Передаточная функция данной схемы интегро-дифференцирующего звена имеет вид:
W=Kид*(Т1*s+1)/(T2*s+1),
где Кид=с/а=2; Т1=1/с=1; Т2=1/а=2.
В общем виде формула Хевисайда имеет вид:
Нашли корень характеристического уравнения из выражения передаточной функции:
s+a=0; s=-а= -0.5
(21)
3. Получили графики переходных процессов и расположение корней характеристического уравнения для коэффициентов «а» и «с», приведенных в таблице 1. Для каждого варианта рассчитали Кид, Т1, Т2 интегро-дифференцирующего звена и определили какую функцию выполняет данное звено.
Таблица 1
№ |
а |
с |
Т1 |
Т2 |
Kид |
S |
Свойства звена |
1 |
0.5 |
0.5 |
2 |
2 |
1 |
-0.5 |
Звено пропорциональное, устойчивое |
2 |
0.5 |
1 |
1 |
2 |
2 |
-0.5 |
Звено интегрирующее, устойчивое |
3 |
0.5 |
0 |
∞ |
2 |
0 |
-0.5 |
Звено дифференцирующее, устойчивое |
4 |
0.5 |
-0.5 |
-2 |
2 |
-1 |
-0.5 |
Звено интегрирующее, устойчивое |
5 |
1 |
0.5 |
2 |
1 |
0.5 |
-1 |
Звено дифференцирующее, устойчивое |
6 |
0 |
0.5 |
2 |
∞ |
∞ |
0 |
Звено интегрирующее, нейтральное |
7 |
-0.5 |
0.5 |
2 |
-2 |
-1 |
0.5 |
Звено дифференцирующее, неустойчивое |
По графикам видно, что при увеличении Т1 получаем звенья с преобладающими свойствами дифференцирования, а при увеличении Т2 — звенья с преобладающими свойствами интегрирования.
Вывод: В ходе лабораторной работы исследованы переходные процессы, вызванные ступенчатым воздействием в динамических звеньях первого порядка, оценены устойчивости звеньев по графикам переходных процессов и по корням характеристического уравнения. Из результатов работы можно сделать выводы о влиянии коэффициентов «а» и «с» на устойчивость звена первого порядка. Выяснили коэффициент «с» не влияет на устойчивость звена. На устойчивость звена первого порядка влияет коэффициент «а».
Как видно из полученных графиков при «а»=0 график представляет собой линейную зависимость, т.е. получили нейтральный процесс. При «а»=1 получаем устойчивый процесс и установившееся значение равно1. При «а»=-1 получаем неустойчивый процесс и установившееся значение которого равно бесконечности.