Вопросы и задачи для подготовки к экзамену

1. Разность двух решений однородной системы линейных уравнений будет ли решением той же однородной системы?

2. Сумма двух решений неоднородной системы линейных уравнений будет ли решением той же неоднородной системы?

3. Решением какой системы уравнений будет разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений?

4. Приведите пример определенной системы трех линейных уравнений с двумя неизвестными.

5. Приведите пример несовместной системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

6. Может ли быть определенной система двух линейных уравнений с тремя неизвестными?

7. Может ли быть неопределенной система трех линейных уравнений с двумя неизвестными?

8. Решите систему уравнений . Найдите фундаментальную систему решений (базис пространства решений) соответствующей однородной системы.

9. Решите систему линейных уравнений .

10. Решите систему уравнений .

11. Найдите два различных базиса пространства решений и общее решение системы .

12. Пусть . Можно ли утверждать, что система векторов линейно зависима [независима]?

13. Пусть , – линейно зависимая система векторов. Можно ли утверждать, что система векторов линейно зависима [независима]?

14. Пусть – линейно независимая система векторов. Можно ли утверждать, что система векторов , линейно зависима [независима]?

15. Докажите, что частное решение неоднородной системы линейных уравнений и фундаментальная система соответствующей однородной системы образуют линейно независимую систему векторов.

16. Можно ли утверждать, что координаты одного вектора в двух различных базисах всегда различны?

17. Пусть . Какие из этих матриц можно перемножить? Найдите произведения.

18. Есть ли среди данных выше матриц А, В, С обратимые? Ответ обоснуйте; для каждой из таких матриц найдите обратную матрицу.

19. Зависимы ли системы строк [столбцов] матриц A, B, C ?

20. Чему равны ранги матриц A, B, C ? Каковы их базисные столбцы?

21. Предположим, что известны ранг матрицы коэффициентов при неизвестных и ранг расширенной матрицы системы линейных уравнений с n неизвестными. Сколько среди этих неизвестных свободных?

22. Пусть u, v – решения неоднородной системы линейных уравнений А х = b, w – решение соответствующей однородной системы А х = 0. Являются ли столбцы 3u – 2v, 2u – 2v – w, u – 2w, решениями каких-либо из этих двух систем? Почему?

23. Существуют ли ненулевая матрица X, удовлетворяющая условию Х ² = 0?

24. Существуют ли матрицы А, X, Y, удовлетворяющие трём условиям

25. Существуют ли матрицы X, Y, удовлетворяющие двум условиям

26. Вычислите определитель матрицы .

27. Вычислите определитель матрицы .

28. Найдите ранг матрицы Н. Зависима ли система строк матрицы Н ?

29. С помощью элементарных преобразований найдите матрицы, обратные матрицам G , .

30. Вычислив алгебраические дополнения, найдите матрицы, обратные матрицам Е – D, Е – G.

31. Какие из уравнений АХ = В, Х∙А = В имеют решения, если: (i) ; (I) ; (ii) ; (II) ?

32. Методом Крамера решите систему линейных уравнений .

33. Методом Крамера решите систему уравнений .

34. Пусть А, В, Х – квадратные матрицы. Докажите, что уравнение 5∙Х = В + Х∙А имеет единственное решение тогда и только тогда, когда число 5 не является собственным значением матрицы А. Как выражается это решение через матрицы А, В?

35. Приведите пример вектора, не являющегося собственным вектором матрицы .

36. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

37. Используя определение собственного вектора квадратной матрицы, из списка выберите матрицы, для которых векторявляется собственным.

38. Найдите значение а, если известно, что число 3 является собственным значением матрицы .

39. Найдите значение а, если известно, что числа –2 и 3 являются собственными значениями матрицы .

40. Предположим, что известны все собственные значения и все собственные векторы квадратной матрицы А. Что можно сказать о собственных значениях и собственных векторах матрицы 3А?

41. Может ли один и тот же вектор быть собственным вектором квадратной матрицы при различных собственных значениях?

42. Приведите пример квадратной матрицы второго порядка, не имеющей действительных собственных векторов.

43. Предположим, что известны три собственных значения и соответствующие собственные векторы квадратной матрицы Р порядка 3. Можно ли сразу указать собственные значения и собственные векторы матрицы Р ²? Можно ли сразу (без вычислений) выяснить, обратимы ли эти матрицы?

44. Пусть – собственные векторы матрицыА при собственных значениях 1 и –1 соответственно. Докажите, что вектор не может быть собственным вектором той же матрицыА.

45. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы K ², где .

46. Найдите собственные значения и собственные векторы матриц D, G.

47. Распределение валового продукта первой группы отраслей таково: по 400 млн. усл. единиц идет на конечное потребление и на производственные нужды второй группы отраслей, а вдвое меньше – на производственные нужды первой группы. Аналогично: 200 млн. усл. единиц продукции второй группы отраслей идет на конечное потребление, столько же потребляется для производственных нужд в первой группе и вдвое меньше – во второй. Найдите соответствующую матрицу прямых затрат, ее число и векторы Фробениуса. Рассчитайте вектор равновесных цен в этом межгрупповом балансе в предположении, что средняя норма добавленной стоимости по группам отраслей равна соответственно 0,24 и 0,12.

48. Проверьте, используя разные способы, продуктивны ли матрицы D, G.

49. Для каждой из матриц D, G найдите ее число Фробениуса, запас продуктивности и векторы Фробениуса.

50. Известно, что точки K(1; 2), М(3; 1), Р(–2; 3) являются вершинами параллелограмма. Единственным ли образом находятся координаты четвертой его вершины? Найдите все возможные решения.

51. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точки А(–1; 0; 4), В(1; 0, 2), С(–1; 2; 0).

52. Найдите общее и параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку А параллельно плоскости .

53. Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки В и С.

54. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1; 0; 4) перпендикулярно прямой .

55. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости .

56. Найдите канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой .

57. Каково взаимное расположение плоскостей ? Напишите параметрические уравнения их пересечения.

58. Каково взаимное расположение прямых , ? Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку В(1; 0; 2) параллельно этим прямым.

59. Каково взаимное расположение точек и прямой ? Напишите параметрические уравнения плоскости, проходящей через данные точки параллельно этой прямой.

60. Каково взаимное расположение прямой и плоскости ? Найдите уравнение плоскости, проходящей через эту прямую перпендикулярно данной плоскости.

61. Каково взаимное расположение прямой и точки F(–3; 0; 2)? Напишите уравнение параметрические уравнения плоскости, проходящей через данную точку и эту прямую.

62. Каково взаимное расположение прямых ? Найдите параметрические уравнения плоскости, плоскости, проходящей через точку параллельно данным прямым.

63. Каково взаимное расположение прямых ? Можно ли записать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые?

64. Найдите ортогональный базис пространства – множества решений линейного однородного уравнения: а) ; б)

65. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму к нормальному виду, укажите соответствующее преобразование координат. а) ; б).

66. Приведите квадратичную форму к главным осям (ортогональным преобразованием к каноническому виду): а) ; б).

67. Проверьте, оказываются ли квадратичные формы задач 56 – 59 положительно определенными.

68. Совместны ли системы неравенств: а), б) ?

69. Имеют ли системы уравнений а), б) неотрицательные решения?

70. Опишите вид и расположение кривых второго порядка, заданных уравнениями: а) ; б); в).