dlja_agro

Розглядання квадратної системи з трьох рівнянь вказує на правило обчислення визначників третього порядку, яке відрізняється від правила обчислення визначників другого порядку і має три рівносильних варіанти.

a11	a12	a13
a21	a22	a23

		a31	a32	a33	(a a a a				a a a a a					) (a a		a a		a		a
		a11	a12	a13				21					23		22		23		32
					11	22	33		32	13	31	12		13		31				11
		a21	a22	a23

a33a12a21 ).

Обчислюючи визначник третього порядку, знизу необхідно дописати два перших рядки, в результаті одержимо три головні і три допоміжні діагоналі:

2. Крім приписування знизу двох перших рядків, можна приписати два перших стовпці, що також дає три головні і три допоміжні діагоналі:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22

a23 a21 a22 (a11a22a33

a12a23a31 a12a21a32 ) (a13a22a31 a11a23a32

a31 a32 a33 a31 a32

a12a21a33 ).

3.Для розкриття визначника третього порядку можна також застосувати

правило трикутників:

a11	a12	a13		a11	a12	a13
a21	a22	a23		a21	a22	a23	(a11a22a33 a21a32a13 a12a23a31)
a31	a32	a33		a31	a32	a33

(a31a22a13 a32a23a11 a21a12a33 )

Правило розкриття визначника 3-го порядку ще називають правилом Сарю-

са.

	4	3	2	4 5 5 2 3 2 3 3 6
Приклад :	2	5	3
	6	3	5

2 5 6 3 3 4 2 3 5 100 12 54 60 36 30 184.

2. Властивості визначників

1. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити відповідними стовбцями.

10

	a11	a12	...	a1n		a11	a21	...	an1
	a21	a22	...	a2n		a12	a22	...	an2	.
	... ... ... ...					... ... ... ...
	an1	an2	...	ann		a1n	a2n	...	ann

Для доведення цієї властивості досить застосувати правило трикутників і порівняти одержані результати. Доведемо цю властивість для визначника третього порядку:

		а11	а12	а13
1		а21	а22	а23	а11а22а33	а12а23а31	а21а32а13	а13а22а31	а21а12а33	а32а23а11 ;
		а31	а32	а33
		а11	а21	а31
2		а12	а22	а32	а11а22а33	а12а23а31	а21а32а13	а13а22а31	а21а12а33	а32а23а11 .
		а13	а23	а33

Отже, 1 2 , тобто властивість справджується.

2. Перестановка двох рядків визначника рівносильна множенню його на –1.

	а11	а12	а13		а12	а1	а13
Тобто,	а21	а22	а23		а22	а21	а23	.
	а31	а32	а33		а32	а31	а33

				Перевіримо дану властивість на прикладі:
				1	1	2														1			1	2
				2 2		1			8 3 20 12 5 8 6;											2 2				1				8 5 12 20 8 3 6.
				3 5		4														5			3	4
				3. Якщо визначник має два однакових рядки, або стовпці, то він дорівнює
										а11 а12 а13				а11	а11	а13
нулю. Тобто,										а11 а12 а13				а21	а21	а23		0.
										а31 а32 а33				а31	а31	а33
				Перевіримо дану властивість на прикладі:
			1		1	2																1	1	2
			2		2	1		8 5 20 20 5 8 0;														2 3		5				6 5 4 6 5 4 0.
			5		5	4																1	1	2

4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка, або стовпця визначника містять спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Тобто,

11

а11	а12	а13		а11	а12	kа13		а11	а12	а13
kа21	kа22	kа23		а21	а22	kа23	k	а21	а22	а23	.
а31	а32	а33		а31	а32	kа33		а31	а32	а33

		Перевіримо дану властивість на прикладі:
		1	1	2				1	1	2
		2	8	4		32 20 20 80 20 8 2		1	4	2		16 10 10 40
		5	5	4				5	5	4

10 4 36.

5.Якщо всі елементи деякого рядка, або стовпця визначника дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю.

	а11	а12	а13		а11	а21	0
Тобто,	0	0	0		а21	а22	0	0.
	а31	а32	а33		а31	а32	0

6. Якщо відповідні елементи двох рядків визначника пропорційні, то ви-

а11 а12 а13

значник дорівнює нулю. Тобто, kа11 kа12 kа13 0.

а31 а32 а33

Перевіримо дану властивість на прикладі:

1 1 2

2 2	4 8 20 20 20 20 8 0.

5 5 4

7. Якщо кожен елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути зображений у вигляді суми двох визначників, у яких один у згаданому рядку має перші з заданих доданків, а інший другі; елементи, що знаходяться на решті місць у всіх трьох визначниках одні й ті самі. Тобто,

а11

а12

b12

а13

а11

а12

а13

а11

b12

а13

а21

а22

b22

а23

а21

а22

а23

а21

b22

а23

.

а31

а32

b32

а33

а31

а32

а33

а31

b32

а33

8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на довільний спільний множник, то значення визнач-

	а11	а12	а13		а11	а12	kа13	а13
ника при цьому не зміниться. Тобто,	а21	а22	а23		а21	а22	kа23	а23	.
	а31	а32	а33		а31	а32	kа33	а33

12

3. Мінори. Алгебраїчні доповнення

Озн. Мінором Міk , що відповідає елементу аіk матриці (1), називається ви-

значник, який відповідає матриці, утвореній з матриці (1) викреслюванням і-го рядка та k-го стовбця.

	a11	a12	a13	M23			a11a12
	a21	a22	a23					.
	a31	a32	a33				a31a32
					n2 мінорів (за числом елементів ви-
З визначника порядку n можна знайти
значника).
Озн. Алгебраїчним доповненням				Аіk ,	що відповідає елементу аіk матриці

(1), називається відповідний мінор, взятий зі знаком «плюс», якщо сума його ін-

дексів парна, і зі знаком «мінус»,		якщо сума його індексів непарна:
Аіk 1 і k Міk .
4	3	2
	5	3
Приклад: Дано матрицю А 2			.
	3	5
6

Обчислити мінори М12 і М22 та алгебраїчні доповнення А12 і А22 .

М12	2	3	10 18 8; М22											4	2	20 12 32;
	6	5												6	5
А 1 1 2						2			3		1 3 2 5 3 6 10 18 8;
12						6			5
А 1 2 2								4	2				1 4 4 5 6 2 20 12 32.
22								6	5

Практичне заняття 2.

Визначники. Мінори. Алгебраїчні доповнення

Обчислити визначники в наступних завданнях:

	№15.			3	4			;	№16.			9	0	;
			7		12							14	1
	№17.			4	6		;		№18.		7		1			;
				5	7						8		2

13

		5	3	2									4		7	3
№19.		6	5	3	;					№20.				9	6	2	;
		7	3	5									8		5	1
№21.		5		3		2				№22.				1	4	7
		2		1		4		;						2	5		8				;
		8		3		5								3	6	9
№23.		5		9		2				№24.			3		4	5
		6		5		3			;				1		2	2			;
		7		1		0							13		7	4

Обчислити мінори та алгебраїчні доповнення в наступних завданнях:

	4	5	3			2	1	4
№25.	1	0	5	;	№26.	14	3	0	;
	3	11	2			6	2	1

Лекція 3.

Системи лінійних рівнянь

1.Обернена матриця.

2.Системи лінійних рівнянь

3.Матричний метод розв’язування системи лінійних рівнянь

4.Метод Крамера

1. Обернена матриця.

а11

а21

Нехай задано матрицю А ...

аm1

матрицю 1 А 1.

А

Озн. Квадратна матриця виду

оберненою до матриці А.

а	...	а
12	...	1n
а22		а2n		. Поставимо задачу знайти
...	...	...
am2	...
		аmn

						А
						11
А	1		1		A21
					...
						A
						n1

	А	...	А
	12	...	n1
	A22		An2		називається
	...	... ...
	A	...	A
	n2		nn

14

Озн. Зведена матриця А* складається з алгебраїчних доповнень шляхом транспонування: алгебраїчні доповнення, знайдені для даного рядка, записуються

				А	А	...	А
				11	12		n1
відповідним стовпцем: А	*		A21		A22	...	An2
								.
			... ...			... ...
			A		A	...	A
				n1	n2		nn

Теорема 3: Для існування оберненої матриці А 1 необхідно і достатньо, що матриця А була не виродженою.

2		5	1
		3	4
Приклад: Знайти матрицю, обернену до заданої: А 3				.
	1	2	3

Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні доповнення всіх елементів:

																								2		5							1
																								3			3						4								68.
																								1		2							3
А11						3			4				17;									А12								3			4				5;						А13		3					3			9;
				2					3																					1			3												1					2
А21								5	1		17;											А22						2				1						7;					А23						2	5				1;
								2	3																			1 3																					1	32
А31						5			1							17;						А32										2	1										А33				2			5			21.
						3			4																							3	4								11;						3			3
Обернена матриця має вигляд:
																							1			17												17				17
																			А	1
																										5												7				11 .
																							68
																																9						1
																																										21
Матриця А 1									знайдена правильно, тому що А А 1																																	Е, тобто:
		2							5 1										1			17						17										17
А А	1
		3							3							4						5										7						11
			1						2										68				9									1
																3																						21

15

			2 17 5 5 1 9									2 17 5 7 1 1			2 17 5 11 1 21
	1				3 17 3 5 4 9							3 17 3 7 4 1 3 17 3 11 4 21
	68				1 17 2			5 3 9				1 17 2 7 3 1
															1 17 2 11 3 21
	1				68		0	0		1		0	0
						0	68	0			0	1	0	.
	68					0	0	68			0	0	1

Безпоседнім обчисленням легко переконатися, що для оберненої матриці справджуються рівності: АА 1 А 1 А Е .

Квадратна матриця може мати обернену тоді і тільки тоді, якщо вона не вироджена. Крім того, для не виродженої квадратної матриці А існує єдина обернена матриця.

2. Системи лінійних рівнянь

Озн. Лінійним називається рівняння, у якому невідомі величини мають перший степінь і між собою не перемножуються.

Система лінійних рівнянь має вигляд:

	a11x1 a12 x2					...a1n xn			b1
	a22 x1 a22 x2					... a2n			b2
											(1.)
						...
а	x a	m2	x	2	... a		mn	x	n	b
	m1 1										m
Коефіцієнти при невідомих утворюють матрицю,											яка складається з m ряд-

ків та n стовпців.

Вільні члени утворюють матрицю-стовпець:

b1

b

В 2

...

bn

Усі невідомі x1;x2;...xn також можна записати у вигляді матриці-стовпця:

х1

Хх2

...

хn

16

Взагалі під час запису системи лінійних рівнянь необов’язково писати в і-му стовпці невідомуxi (крім неї, там інших невідомих просто немає) чи знак «дорі-

внює» перед вільними членами, тому систему записують у спрощеному вигляді.

а11	а12	...	а1n	b1
а21	а22	...	а2n	b2
... ... ... ...				...
аn1	аn2	...	аnn	bn

Знак «дорівнює» замінено вертикальною лінією, а знак матриці вказує на наявність системи рівнянь у матричному вигляді.

Озн. Система називається однорідною, якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Множина чисел а1,а2 ,...аn називається розв’язком системи, якщо при підстановці цих чисел в кожне рівняння системи отримаємо рівність.

	Озн. Система називається сумісною, якщо вона має розв’язок.
	3. Матричний метод розв’язування системи лінійних рівнянь
	Теорема: Якщо визначник системи (1.) відмінний			від		нуля, то система
			х	1			b
						*	1
сумісна і має розв’язок, що визначається формулою: у					А		b2	,
		z					b
							3
де – головний визначник системи,
	b
А*	1
	– зведена матриця, b2	– стовбець вільних елементів.
	b
	3

Приклад: Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:

2х 7у z 17,

7х 3у 5z 8,

3х 2у 6z 9.

Обчислимо головний визначник системи:

2 7 1

7	3 5 2 3 6 1 7 2 7 5 3 1 3 3 2 5 2 7 7 6

3 2 6

36 14 105 9 20 294 168.

Так як 0, то система має єдиний розв’язок.

17

Обчислимо алгебраїчні доповнення до кожного елемента матриці за форму-

лою: Аіj																		1 i j Mij
А11			3															5					3 6 5 2 18 10 8;
			2															6
А													7							5											7 6 5 3 42 15 27;
12																		6
А13					7													3					7 2 3 3 14 9 5;
					3													2
А																7				1											7 6 1 2 42 2 40;
21																		6
А22										2								1					2 6 1 3 12 3 9;
										3								6
А																												7			2 2 7 3 4 21 17;
23																		2
А31							7											1				7 5 1 3 35 3 32;
							3											5
А																	2				1							2 5 1 7 10 7 3;
32																		5
А33									2									7				2 3 7 7 6 49 43.
									7									3
																																А	А
																																11	21
Запишемо зведену матрицю: А* А12																																	А22
																																А	А
																																13	23

А			8	40	32
31				9
А32 27					3 .
А			5	17	43
33

Тоді стовбець невідомих елементів

		1		8	40	32		17
			27		9 3 8
		168
				5	17				9
						43

x

yz

1

168

		х	1		b
				*	1
дорівнює: у				А	b2
	z				b
					3
	8 17 40 8 32 9
	27 17 9 8 3 9
	5 17 17 8 43 9

	1			136 320 288		1		168			1
				459 72 27				504			3 .
		168				168
				85 136 387				336			2
								18

Отже, {1; –3; 2} – шуканий розв’язок системи лінійних рівнянь.

Відповідь: {1; –3; 2}.

4. Метод Крамера

Теорема: Якщо визначник системи (1.) відмінний від нуля, то система

сумісна і має розв’язок, що визначається формулами: х х ; у у ; z z .

Приклад: Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера:

2х 7у z 17,

7х 3у 5z 8,

3х 2у 6z 9.

Розв’язання:

З попередніх обчислень головний визначник системи дорівнює 168. Обчислимо додаткові визначники, замінюючи по черзі перший, другий та третій стовбець головного визначника стовбцем вільних елементів:

	17	7	1
х	8	3	5 17 3 6 8 2 1 7 5 9 1 3 9 2 5 17 8 7 6

92 6

306 16 315 27 170 336 168;

				2	17		1			2 8 6 7 9 1 3 17 5 1 8 3 2 5 9 7 6 17
у				7	8		5
				3	9		6
96 63 255 24 90 714 504;
			2		7	17
z			7		3	8				2 3 9 7 8 3 7 2 17 17 3 3 2 2 8 7 7 9
			3		2	9

54 168 238 153 32 441 336.

Визначимо корені системи рівнянь за формулами Крамера:

х		х		168		у		у		504		z		z		336
					1;						3;						2.
				168						168						168

Отже, {1; –3; 2} – шуканий розв’язок системи лінійних рівнянь.

19