- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •I. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная
- •§2. Свойства неопределённого интеграла
- •§3. Основная таблица интегралов
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I. Метод введения нового аргумента
- •II. Метод подстановки
- •III. Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование рациональных выражений
- •1. Основные понятия
- •2. Интегрирование простейших дробей.
- •1) ; 2); 3); 4) ,
- •3. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших
- •4. Интегрирование рациональной функции
- •§6. Интегрирование иррациональных функций
- •§7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
- •II. Определенный интеграл
- •§1. Понятие определённого интеграла
- •§2. Нижние и верхние интегральные суммы
- •§3. Некоторые классы интегрируемых функций
- •1. Интегрируемость непрерывных функций.
- •2. Интегрируемость монотонной функции.
- •3. Интегрируемость функций, имеющих конечное число точек разрыва.
- •§4. Основные свойства определённого интеграла.
- •§5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§6. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование чётных и нечётных функций.
§3. Некоторые классы интегрируемых функций
1. Интегрируемость непрерывных функций.
Теорема 1. Если функция f(x) определена и непрерывна на [a;b] (a<b), то f интегрируема на [a;b].
Доказательство.
Т.к. f непрерывна на [a;b], то она ограничена на нём и равномерно непрерывна на нём (теорема Кантора). Возьмём произвольное разбиение отрезка [a;b] и составим разность , где. Т.к.f непрерывна на [xk-1;xk], то mk является наименьшим, а Mk-наибольшим значением f на [xk-1;xk], т.е. существуют xk′ и xk″, такие, что f(xk′)=mk, f(xk″)=Mk. Следовательно, . (1)
Выберем произвольное ε>0. Т.к. f равномерно непрерывна на [a;b], то для выбранного ε>0 существует δ>0, такое, что x′, x″[a;b], удовлетворяющих условию |x′-x″|<δ, выполнено, |f(x″)-f(x′)|<.
Пусть Т- такое, что λ<δ. Тогда |xk″-xk′|≤|xk-1;xk|<∆xk=λ<δ и, следовательно, выполняется неравенство |f(xk″)-f(xk′)|<. Тогда из (1) следует, что
=.
Получили, что для любого разбиения Т, такого, что λ<δ выполнено . Следовательно,. Значит, согласно критерию интегрируемости, функцияf интегрируема на [a;b]
2. Интегрируемость монотонной функции.
Теорема 2. Если функция f(x) определена и монотонна на [a;b], то она интегрируема на [a;b].
Доказательство.
Пусть f(x)-монотонно возрастает на [a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. f возрастает, то mk=f(xk-1), Mk=f(xk); Mk>mk для любого ,f(xk)>f(xk-1). Пусть ε-произвольное положительное число. Выберем . ПустьТ- такое, что λ<δ, тогда
.
Получили, что ε>0 δ>0, такое, что для любого разбиения Т: λ<δ выполнено . Это значит, что. Следовательно,f интегрируема на [a;b]
3. Интегрируемость функций, имеющих конечное число точек разрыва.
Теорема 3. Если функция f(x) определена, ограничена на [a;b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a;b].
Определение. Функция f называется кусочно непрерывной на [a;b], если она непрерывна на [a;b], кроме конечного числа точек разрыва, и притом только первого рода.
Следствие. Если функция f кусочно непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b].
Лемма. Пусть f и g определены на [a;b] и f(x)=g(x) x(a;b). Тогда, если f интегрируема на [a;b], то и g интегрируема на [a;b] и
.
Лемма утверждает, что если f интегрируема на [a;b], то её интегрируемость и величина определённого интеграла не изменится, если изменить значения функции f на концах отрезка и также в любом конечном числе точек отрезка.
Множество всех функций, интегрируемых по Риману на [a;b] обозначают R[a;b]. Т. о., fR[a;b] тогда и только тогда, когда fR(a;b).
Расширим понятие определённого интеграла. Будем считать по определению, что .
§4. Основные свойства определённого интеграла.
1. . (1)
Доказательство.
Пусть a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξk[xk-1;xk]. Составим .
Будем считать
а-верхним пределом, b-нижним пределами интегрирования (для выбранных Т и ξk):
b=x0′>x1′>x2′>…>x′n-1>x′n=a, ∆x′k=x′k-x′k-1<0, .
. Следовательно, S′=-S. (2)
По условию существует . Следовательно, существует
. Переходя в равенстве (2) к пределу при 0, получим равенство (1).
2. Если f и g интегрируемы на [a;b], то и функция f+g также интегрируема на [a;b], причём (3)
Доказательство.
Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξk[xk-1;xk].
. (4)
По условию существуют ,. Следовательно, существует предел правой части равенства (4), равный . Значит, существует и предел левой части:
.
Переходя в (4) к пределу, получим (3).
3. Если fR[a;b], , то функцияcfR[a;b] и
. (5)
Доказательство.
Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξk[xk-1;xk]. Имеем . (6)
Т.к. fR[a;b], то существует . Следовательно, существует и предел левой части равенства (5) и он равен . Переходя в (6) к пределу, получим (5).
Следствие. Если f, gR[a;b] и α, β, то функция (αf+βg)R[a;b] и
.
В частности, .
4. Если fR[a;b], то fR[α;β], где [α;β][a;b].
Доказательство.
Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. fR[a;b], то ε>0 δ>0, такое, что для любого разбиения Т: λ<δ выполнено . ПустьТ: λ<δ. Присоединим к Т точки α и β. Получим разбиение Т′. По свойству 2 верхних и нижних сумм Дарбу ,. Следовательно,
. (7)
Разбиение Т′ порождает разбиение Т отрезка[α;β]. Следовательно, и для ибудет выполняться (7), т.е.для любого разбиенияТ″: λ<δ. По необходимому и достаточному условию интегрируемости это означает, что fR[α;β].
5. (Аддитивное свойство интеграла) Пусть a<c<b и fR[a;b]. Тогда fR[a;с] и fR[с;b] и . (8)
Доказательство.
Интегрируемость функции f на [a;c] и [c;b] следует из свойства 4. Докажем (8). Пусть Т - произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. предел S(T, ξk) не зависит от способа разбиения [a;b], то будем считать, что с – одна из точек деления. Выберем произвольно точки ξk[xk-1;xk], .Т порождает разбиение Т с точками ξk отрезка [a;c] и Т с точками ξk отрезка [c;b], причём Т=ТТ, {ξk}={ξk }{ξk }. Тогда
S(T,ξk)=S(Т,ξk)+S(Т,ξk). (9)
Ясно, что λ(Т )≤λ(Т), λ(Т )≤λ(Т). Следовательно, если λ(Т)→0, то λ(Т )→0 и λ(Т )→0. Переходя к пределу в (9), получим (8).
Интегрирование неравенств
6. Если fR[a;b] и f(x)≥0 на [a;b], a<b, то .Если f(x)≤0, a<b, то .
Доказательство.
Пусть f(x)≥0 x[a;b], a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно точки ξk[xk-1;xk],. Составим интегральную сумму. Т.к.f(ξk)≥0 и Δxk>0, то S(T,ξk)≥0. Переходя к пределу, получим . Случай f(x)≤0 – аналогично.
` Замечание 1. Если f(x)≥0, a>b, то ;
если f(x)≤0, a>b, то .
Замечание 2. Если f(x)≥m, a<b, то .
Доказательство.
Действительно, f(x)-m≥0, a<b, следовательно, . С другой стороны,. Следовательно,. Отсюда.
Замечание 3. Пусть f непрерывна и неотрицательна на [a;b]. Если f(x0)>0, где x0[a;b], a<b, то .
Доказательство.
Т.к. f непрерывна на [a;b], то f непрерывна в x0[a;b]. Следовательно, ε>0 δ>0, такое, что x(x0-δ;x0+δ) выполнено |f(x)-f(x0)|<ε. Возьмём . Обозначимα=x0-δ, β=x0+δ. Тогда x(α;β) следует:
, .
Тогда .
7. Пусть f, gR[a;b], a<b, f(x)≤g(x) x[a;b]. Тогда .
Доказательство.
Применим свойство 6 к функции (g(x)-f(x))≥0: . С другой стороны,. Следовательно,. Отсюда .
Замечание. Если f, gC[a;b], и в любой точке x0[a;b] выполнено неравенство f(x0)<g(x0), то .
8. Если fR[a;b], a<b, то | f |R[a;b] и .(10)
Доказательство.
1) Докажем, что | f |R[a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Обозначим ,.Справедливо неравенство
(11)
(если mk и Mk одного знака, то , а если разного, то ).
Умножим обе части (11) на Δxk и просуммируем по k от 1 до n. Получим . Т.к. fR[a;b], то по критерию интегрируемости ε>0 δ>0, такое, что , еслиλ<δ. Значит, . Поэтому | f |R[a;b].
2) Докажем (10). В силу свойств модуля -| f(x)|≤ f(x)≤| f(x)|. Проинтегрируем по х на [a;b], используя свойство 7 и свойство 3:
.
Следовательно, (по свойству модуля), .
9. Теорема о среднем значении определённого интеграла.
Если f непрерывна на [a;b], то на [a;b] существует точка с, такая, что
. (12)
Доказательство.
Т.к. fC[a;b], то f достигает на [a;b] наименьшего и наибольшего значений m и M соответственно, т.е. x[a;b] m≤f(x)≤M.
а) Пусть a<b. По свойству 7 . Следовательно,
. (13)
Отсюда . Обозначим, где – число, заключённое между m и M. Т.к. f непрерывна на [a;b], то существует точка с[a;b], такая, что f(c)=μ. Следовательно, .
б) Пусть a>b. Тогда .