Физика 1, 2

= (Q1 - Q2 ) / Q1 = (Т1 - Т2) / Т1,

где Т1 и Т2 - температуры нагревателя и холодильника. 20. Приращение энтропии системы:

S Q/T,

где Q - элементарное тепло, получаемое системой.

21. Связь между энтропией и термодинамической вероятностью:

S = k lnW,

где k - постоянная Больцмана, W - термодинамическая вероятность системы.

3.2. Примеры решения задач

Задача 1. В сосуде объёмом V = 5 л находится азот массой m = 1,4 г при температуре Т = 1800 К. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре =30% молекул диссоциировано на атомы.

Решение

Так как часть молекул диссоциирована на атомы, то в сосуде находится смесь двух газов с молярными массами М1=28 г и М2 = М1/2 =14 г уравнения состояния обоих газов имеют вид:

	P1V			m1	RT,			(1)
				M1
PV		m2	RT 2			m2	RT,	(2)
2		M2				M1

где P1 и P2 – парциальные давления молекулярного (N2) и атомарного (N1) азота. Давление смеси газов подчиняется закону Дальтона:

P P1 P2.

Сложим уравнения (1) и (2):

		m1		2m2
	P1 P2 V				RT
		M1		M1

31

	PV m1 m2 m2	RT
		M1

Так как m1+m2=m (масса газа), то

				m
	m m		mRT 1	2			mRT 1
				m
PV	2	RT						,
	M1		M1
							M1

Отсюда,

P mRT 1 1,9 105 Па.

VM1

Задача 2. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать температуру воздуха везде одинаковой и равной 10О С.

Решение

Зависимость давления от высоты имеет вид:

p p0 e	mg h h0		p0 e	Mg h h0		.
	kT			RT

Mgh

На уровне моря h0=0, поэтому p e RT . p0

Прологарифмируем обе части

					Mgh		ln	p		.
Отсюда,					RT			p0
h	RT	ln	p			8,31 283			ln0,6 4,22 103 м.
			p0
	Mg					29 10 3 9,81

Задача 3. Найти среднюю продолжительность свобод-

ного пробега молекул кислорода при температуре Т = 250 К и давлении P =100 Па.

32

Решение

Средняя продолжительность свободного пробега

молекул – величина, обратная среднему числу столкновений, происходящих за 1 секунду:

1

.

z

Так как z

d 2n

,

то

2

1

.

2 d2n

Здесь

-

средняя

арифметическая скорость молекул

кислорода

,

v

8kT

8RT

m

M

где n – концентрация молекул кислорода.

Из уравнения состояния идеального газаn p , kT

		k MT .
	4	Rd2 p

Эффективный диаметр молекул кислорода (величина справочная) d = 0,36 нм = 3,6 10 10 м.

			1,38 10 23			29 10 3 250	2,88 10 7 c.
			4 8,31 3,62 10 20 100

Задача 4. Определить отношение удельных теплоёмкостей для смеси газов, содержащей гелий массой m1=8 г и водород массой m2 = 2 г.

33

Решение

Для нагревания смеси газов массой m m1 m2 на T при постоянном объёме ей необходимо сообщить количество теплоты Q c m T,где cv - удельная теплоёмкость смеси.

Часть этого количества теплоты,

Q1 cv m1 T пойдёт на

1

нагревание гелия,

другая часть Q2

cv m2 T -

на нагревание

водорода. Тогда

2

Q c

m1 T cv

m2 T ,

1

2

cvm T c

m1 T cv

m2 T.

Отсюда

1

2

cv1 m1 cv2 m2

c

.

m1 m2

Аналогично находим ср смеси:

cp

cp1 m1 cp2 m2

.

m1 m2

Здесь c

1

,cp

и

c

2

,cp

2

-

удельные

теплоёмкости гелия и

1

водорода соответственно:

c

i1

R

;c

i2

R

;c

i1 2

R

;c

i2 2

R

.

2 M1

1

2

2 M2

p1

2 M1

p2

2 M2

Так как гелий – газ одноатомный, то i1=3, водород – газ

двухатомный, следовательно, i2=5.

Отношение удельных теплоёмкостей:

сp

cp

m1 cp

m2

m m

cp

m1

cp

m2

1

2

1

2

1

2

.

c

m1 m2

cv

m1 cv

m2

m1

cv

m2

cv

1

2

1

2

Подставляя выражение для удельных теплоёмкостей, получим:

34

	i1 2	Rm1		i2		2		Rm2
		M	1					M	2	1,55.
	i	m1R		i	m2R
		M1
1				2		M2

Задача 5. Идеальный газ с =1,4 расширяется изотермически от объёма V1 = 0,1 м3 до объёма V2 = 0,3 м3. Конечное давление газа P2 2 105 Па. Определить приращение внутрен-

ней энергии газа, совершённую газом работу и количество теплоты, полученное газом.

Решение

Так как температура газа не изменится, то приращение его внутренней энергии U=0. Тогда I начало термодинамики запишется в виде:

Q A.

Работа при изотермическом процессе A vRT ln V2 .

V1

Значение vRT найдём из уравнения состояния идеального газа p2V2 vRT.

Тогда A p V	ln	V2	2 105 0,3ln	0,3	6,6 104 Дж.
		V
2 2			0,1
	1

Q A 6,6 104 Дж.

Задача 6. При адиабатном расширении (v = 2 моль) кислорода, находящегося при нормальных условиях, его объём увеличился в n = 3 раза. Определить изменение внутренней энергии газа и работу расширения газа.

Решение

Первый закон термодинамики для адиабатного процесса имеет вид:

U A.

Изменение внутренней энергии газа

35

U vc T v	i	R T T	.
	2	2 1

Конечную температуру найдём из уравнения адиабаты:

TV	1	T V	1				V		1
				; T	2	T		1	.
1 1		2 2				1
							V2

Так как cp и газ двухатомный, то c

i 2 7 .

i5

						1
		i
Тогда	U v		RT		V1		1 4030 Дж	.
	2		1
				V2

A U 4030 Дж .

Задача 7. Вычислить К.П.Д. цикла, состоящего из изобарного, адиабатного и изотермического процессов, если в результате изобарного процесса газ нагревается от Т1=300 К до

Т2=600 К.

			Решение
В	процессе		изобар-
ного нагревания 1-2 газ
расширяется		за	счёт
поступившего от			нагрева-
теля количества тепла Q12,
в процессе		адиабатного
расширения		2-3 dQ=0, в		dQ=0
процессе	изотермического

сжатия газ отдаёт количество теплоты Q31 холодильнику. К.п.д. любого цикла определяется выражением

36

Q12 Q31 ,

Q12

Q v c

p

R T T v

i 2

R T T .

12

2

1

i

2 1

Первый закон термодинамики для процесса 3-1 имеет вид:

Q31 A.

Так как работа при изотермическом процессе равна

A v RT ln

V3

,

то Q

v RT ln

V3

.

Объём газа в состоянии

V

1

31

1

V

1

1

1 найдём из уравнения изобары

V2

T2

; V

V2T1

.

T

V

1

T

2

1

1

Q

v RT ln

V3T2

31

1

V

T

2

1

Отношение объёмов

V3

найдём из уравнения адиабаты

V2

V3

T2

1

1

1

1

T2V2

T3V3

;

V

T

.

Тогда

2

3

1

T2

1

Q31 v RT1 ln

T2

T

T

1

3

и с учётом того, что Т3 = Т1, получим

1

T2

1

T2

1

T2

T2

v RT1 1ln

T .

Q31 v RT1 ln T

T

v RT1 ln T

1

1

1

1

Так как

сp

i 2

,

то

i 2

.

cv

i

1

2

37

Q31 v RT1 i 2ln T2 ;

2 T1

	T	T	T ln	T2
				T
2		1	1
				1		0,307.
		T2	T1

Задача 8. Найти изменение энтропии при следующих процессах:

а) при нагревании 100 г воды от 0О С до 100О С и последующем превращении воды в пар той же температуры; б) при изотермическом расширении 10 г кислорода от объёма 25 л до объёма 100 л.

Решение

а) Полное изменение энтропии S равно сумме изменения энтропии при нагревании воды S1 и изменения энтропии при превращении воды в пар S2:

S S1 S2.

Пользуясь определением изменения энтропии, найдём:

2	dQ		T2	mcdT					T2
S1						mcln				;
	T				T				T
1			T						1
		1
			1	2			Q
S2					dQ			,
			T				T
		2		1		2

гдеQ rm - количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры, r – удельная теплота парообразования.

rm

S2 T2 .

Тогда

38

S mcln		T2			rm	0,1 4,2 103			ln	100 273
		T2
					T2					0 273
	22,6 105 0,1						Дж
				737				.
	100 273
							К
б) при изотермическом							процессе		температура остаётся

постоянной, поэтому 1 можно вынести за знак интеграла:

Т

	2	dQ		1	2	Q
	S				dQ		.
				T
	1	T			1	T

Согласно I начала термодинамики

					Q A		m		RT ln	V2		.
							M			V1
	m	V		2		10 2		0,1						Дж
S		Rln						8,31 ln					3,6		.
	M		V			32 10	3
								0,025						К
		1

3.3.Задачи для выполнения контрольной работы №2

3.01.В баллоне вместимостью V=3 л содержится кислород массой m=10 г. Определить концентрацию n молекул газа.

3.02.Определить количество вещества водорода, заполняющего сосуд объемом V = 3 л, если концентрация молекул газа

всосуде n = 2∙10 18 м-3.

3.03.Определить концентрацию n молекул кислорода,

находящегося в сосуде объемом V = 2 л. Количество вещества ν кислорода равно 0,2 моль.

3.04. Вода при температуре t=4оС занимает объем V=1см3. Определить количество вещества ν и число N молекул воды.

3.05. Определить количество вещества ν и число N молекул азота массой m = 0,2 кг.

39

3.06. Определить число атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода.

3.07. Вычислить плотность ρ азота, находящегося в баллоне под давлением Р = 2 МПа и имеющего температуру Т

= 400 К.

3.08. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением Р = 2,5 кПа и имеющего температуру Т

=250 К.

3.09.В баллоне находится газ при температуре Т1= 400К. До какой температуры Т2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

3.10.Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре Т = 300К, чтобы его плотность

оказалась равной = 500 г/л?

3.11.Плотность смеси азота и водорода при температуре t

=47 С и давлении P = 2.105 Па равна = 0,3 г л. Найти

концентрации молекул азота (n1) и водорода ( n2) в смеси. 3.12. В баллоне емкостью 2 м3 содержится смесь азота N2 и

окиси азота NO. Определить массу окиси азота, если масса смеси равна 14г, температура 300К и давление 0,6 106 Па.

3.13.Найти плотность газовой смеси, состоящей по массе из одной части водорода и восьми частей кислорода при давлении Р = 100 кПа и температуре Т = 300 К.

3.14.В баллоне, объём которого 0,25 м3, находится газ, состоящий из смеси СО2 и паров воды. Температура газа

327 С. Число молекул углекислого газа N1 = 6,6.1021. Найти давление и молярную массу газовой смеси.

3.15. Определить давление и молекулярную массу смеси газов, состоящей из 10г кислорода и 10г азота, которые занимают объём 20 л при температуре 150 С.

3.16. Определите плотность смеси газов водорода массой m1 =8 г и кислорода массой m2 =64 г при температуре Т = 290 К и давлении 0,1 МПа.

40