Kontrolnye_raboty_No3_i_No4
.pdf1.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1.Контрольные работы необходимо выполнять чернилами
вшкольной тетради, на обложке которой привести сведения по следующему образцу:
Контрольная работа № по физике студента ФВЗО, группы РК-031
Шифр251021 Иванова И.И.
2.Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблице вариантов в соответствии с последним номером зачётной книжки (шифром).
3.Условия задач в контрольной работе надо переписывать полностью без сокращений.
4.Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это возможно, даётся чертёж.
5.Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условиях задачи.
6.Все вычисления следует проводить в единицах СИ с соблюдением правил приближённых вычислений.
7.Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых оказалось неверным.
1
2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
2.1.Электростатика
2.1.1.Основные законы и формулы
1.Напряженность и потенциал поля точечного заряда
|
1 q |
1 q |
||||||
E |
|
|
|
r; |
|
|
|
. |
4 0 |
r3 |
4 0 |
r |
2. Принцип суперпозиции электростатических полей
n |
|
n |
|
E Ei ; |
i |
||
i |
1 |
i |
1 |
3.Линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов
|
dq |
|
dq |
|
dq |
|||
|
|
; |
|
|
; |
|
|
. |
dl |
ds |
dV |
4. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
|
|
1 |
N |
1 |
|
|
ФE |
EndS |
qi |
dV, |
|||
0 |
|
|||||
|
|
i 1 |
0 v |
где qi – алгебраическая сумма зарядов, охватываемых поверхностью.
5. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
|
|
|
|
|
El |
|
|
|
||||
E |
|
i |
|
j |
|
k ; |
|
. |
||||
|
|
z |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
y |
|
|
|
l |
6.Циркуляция вектора напряженности
Eldl 0.
7.Работа сил электростатического поля
A12 q 1 2 |
1 |
или A12 q Eldl. |
|
|
2 |
|
2 |
8.Поляризованность диэлектрика
n
PPi / V,
i 1
где Pi – дипольный момент i-ой молекулы; V – объем диэлектрика.
Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля
P 0 E ,
где – диэлектрическая восприимчивость вещества. 9. Вектор электрического смещения
D 0E P, или D 0E,
где = 1 + - диэлектрическая проницаемость вещества. 10. Теорема Гаусса для электростатического поля в
диэлектрике
n
ФD DndS qi,
S i 1
n
где qi – алгебраическая сумма сторонних электрических
i 1
зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности. 11. Условия на границе раздела двух диэлектриков
D2n D1n ; |
E2 |
E1 . |
12. Поле в однородном диэлектрике
E E0 / ; |
D D0 , |
где E0 и D0 - напряженность и электрическое смещение внешнего поля.
13. Напряженность электрического поля у поверхности проводника
E / 0 ,
где – поверхностная плотность зарядов.
3
14.Электроемкость уединенного проводника и
конденсатора C q / ; C q / ( 1 2 ) . 15. Ёмкость плоского конденсатора
C 0 S / d ,
где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.
16. Емкость цилиндрического конденсатора
C 2 0 / ln(r2 / r1 ) ,
где |
- длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы |
||||||||
коаксиальных цилиндров . |
|
|
|
|
|
||||
|
17. Емкость сферического конденсатора |
||||||||
|
|
|
C 4 rr /(r r), |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
1 |
где r1 и r2 - радиусы концентрических сфер. |
|||||||||
|
18. |
Емкость системы конденсаторов при последова- |
|||||||
тельном и параллельном соединении |
|
||||||||
|
|
1 |
n |
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
; |
C Ci . |
|||||
|
|
|
C |
Ci |
|||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|||
|
19. |
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов |
|||||||
|
i - |
|
|
W |
12 qi i |
, |
|||
где |
потенциал, |
создаваемый |
в той точке, где находится |
||||||
заряд qi , всеми зарядами, кроме i – го. |
|
||||||||
|
20. |
Энергия системы |
с непрерывно распределенным |
||||||
зарядом |
|
|
W 12 |
dV. |
|||||
|
21. |
Энергия заряженного конденсатора |
|||||||
|
|
W = CU2 / 2 = qU / 2 = q2 / 2C. |
22. Объемная плотность энергии электростатического
поля
0 E2 . 2
4
2.1.2. Примеры решения задач
Пример 1. Три одинаковых положительных заряда q1 q2 q3 q 1нКл расположены в вершинах равносторон-
него треугольника. Какой отрицательный заряд q0 нужно
поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
Решение
Все три заряда, расположенные в вершинах треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например q3 .
В соответствии с принципом суперпозиции на заряд q3
действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд q3 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:
|
F1 F2 F0 |
F F0 0, |
(1) |
где F1, F2 , F0 – силы, |
с которыми соответственно действуют |
||
на заряд q3 заряды q1, |
q2 и q0 ; |
F – равнодействующая сил |
|
F2 и F1. |
q |
|
|
|
2 |
|
|
r |
q0 |
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
q1 |
F0 |
q |
|
|
3 F |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
F2 |
F |
|
5 |
|
|
Так как силы F и F0 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:
|
|
|
|
|
|
F F0 |
0 |
|
|
или F F0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Выразив F через |
|
F1 |
и F2 |
и учитывая, что F1=F2 , получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F F |
F2 |
F |
2 |
2F F cos F |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
2(1 cos ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Применяя закон Кулона и имея в виду, что q1 q2 |
q3 q, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
q q |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 cos ) , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
0 |
r2 |
|
4 |
0 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
qr |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 cos ) . |
|
|
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из геометрических построений в равностороннем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
треугольнике следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
cos cos600 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
С учетом этого формула (2) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
После подстановки числовых значений получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
0,58 нКл. |
|
|
|
|
|
|
Пример 2. На тонком стержне длиной l =20см находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10 cм от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.
Решение
Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ
6
на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.
При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).
dr |
r |
|
Q1 |
l |
a |
Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,
dF Q1 dr . 4 0r2
Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем
Q a l dr |
Q |
|
|
1 |
|
1 |
|
Q l |
|
|||||
F |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
a r2 |
|
|
|
|
4 0a(a l) |
||||||||
4 0 |
4 |
0 a |
|
a l |
|
|
откуда
4 0a(a l)F . Ql1
Произведём вычисления:
2,5 10 9 Кл/ м 2,5нКл/ м .
Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1 = 1нКл
иQ2 = - 2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см
друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда Q2 на r2= 7 см.
Решение
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в
7
пространстве других зарядов. Напряжённость Е электростатического поля в искомой точке может быть найдена как
геометрическая сумма напряжённостей Е1 и Е2 полей, создава-
емых каждым зарядом в отдельности: Е Е1 Е2 .
Напряжённости электростатического поля, создаваемого
в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Е |
|
Q1 |
|
|
|
(1), |
|
|
Е |
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
(2). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
4 r2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
0 |
r2 |
|
||||||||||
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π- α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
||
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
||
Q1 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|||||||
Е1 направлен по силовой линии от заряда |
Q1, |
|||||||||||||||||||||||
Вектор |
||||||||||||||||||||||||
так как этот заряд положителен, вектор Е2 |
направлен также по |
|||||||||||||||||||||||
силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен. |
||||||||||||||||||||||||
Модуль вектора |
Е |
найдём по теореме косинусов: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
E |
|
E2 |
E2 |
2E E |
2 |
|
|
cos , |
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где α – угол между векторами |
Е1 |
и Е2 , который может быть |
||||||||||||||||||||||
найден из треугольника со сторонами r1, r2 |
и d |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
d2 |
r2 r |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 |
из (2) в (3), получим |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
1 |
|
|
Q12 |
|
Q22 |
2 |
|
|
Q1 |
|
|
|
Q2 |
|
|
cos . |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4 |
0 |
r4 |
r4 |
|
|
r2r2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов
1 2 . (5)
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой
|
|
|
Q |
. |
|
|
(6) |
||||||
4 0r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
Q2 |
|
||||
Согласно формулам (5) и (6) получим |
|
|
, или |
||||||||||
4 0r1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0r2 |
|||
|
1 |
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Q1 |
|
. |
|
|
|
|||||
4 0 |
|
r2 |
|
|
|
||||||||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Произведём вычисления: |
|
φ = - 157 В. |
|
|
|
||||||||
Е = 3,58 В/м, |
|
|
|
|
Пример 4. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда σ1=0,4 мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2. Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Решение
Согласно принципа суперпозиции электростатических полей,
E E1 E2 ,
где, E1 12 0 и E2 22 0 - напряженности электростатиче-
ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответ ственно.
9
Плоскости делят всё пространство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и
следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в
первой и третьей областях равны между собой, противоположно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:
E(I) E(III) E E |
2 |
или |
1 |
|
I |
II |
III |
|
σ1 |
σ2 |
E1
E2
E(I) E(III) ( 1 2) .
2 0
Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй
плоскостями: E(II) |
E |
E |
, или |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
E(II) |
( 1 2) |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 0 |
Подставив данные и произведя вычисления, получим
E(I) E(III) 28,3кВ/ м , |
E(II) 17кВ/ м. |
Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см , r3 = 15 см. Построить график Е(r).
10