4.3. Иерархическая классификация по двум признакам

Довольно часто при практических исследованиях встре­­­чается случай, ког­да один фактор “сгруппирован” внут­­ри другого. Тогда с первым фактором нель­зя срав­ни­вать никакой другой главный фактор, а в пред­по­ло­же­нии, что фактор Вполностью содержится в фак­то­реА, мо­дель процесса будет задаваться урав­нением

.

Так как предполагается, что фактор Вне имеет глав­но­­го воздействия на ре­зультат, то в основное мо­дель­ное урав­нение не надо включать член. Возведя обе стороны в квадрат и просуммировав по i, j, a , по­лу­­чимS = = S₁ + S₂ + S₃. Члены с перекрестными про­из­ве­дениями опять об­ра­ща­ют­ся в нуль при сум­ми­ро­ва­нии. ПеременнаяSимеет (N - 1),S₁ - (p - 1); S₂ - p(q - 1); S₃ - (N - pq) степеней свободы, так как их вы­числяют, ис­­хо­дя из от­кло­не­ний на­блю­де­ний от различных вы­бо­роч­ных сред­них. И таблица дис­­персионного анализа мо­жет быть со­став­лена, как табл. 6.9.

Вторая строка табл. 6.9 представляет собой ва­ри­ацию меж­ду теми ячей­ка­ми двусторонней клас­си­фи­ка­­ционной таб­лицы, которые соответствуют фик­си­ро­ван­ным уровням фак­тора А.Третья строка - это ва­ри­а­ция внутри ячеек, обу­­словленная пов­торением экс­пе­ри­мен­та при фик­си­ро­ван­ных уров­нях факторов А иВ.

Существование главного фактора Аи влияние эф­фек­та фактора ВвнутриАтеперь должны проверяться делением соответствующего среднего квадрата наМ₃и сравнением результата с F-распределением.

Вычислительные формулы в табл. 6.9 можно пре­об­разовать, использовав формулы, приведенные в п. 4.2.

4.4. Многосторонняя классификация с повторениями

Для характеристики общего случая достаточно бу­дет рассмотретьтри фак­тора, которые условно назовемА, В, С.Модель процесса, когда факторы име­ютp,q иrуровней, а в каждой ячейке -nнаблюдений, можно за­пи­сать

.

Здесь F_i , G_j , H_k - главные влияния, обу­слов­ленные со­от­вет­­ству­ю­щи­ми факторами; I_{i j}, J_jk, K_{j k} -лю­бые возможные вза­имодействия меж­ду парами фак­то­ров; L_ijk - отвечает за воз­можные взаимодействия меж­ду все­ми тремя фак­то­ра­ми. При этом полагают, что

.

Нетрудно убедиться, что количество главных влияний и вза­имодействий, от­но­си­тельно которых проверяются ги­­по­те­зы, равно (2^m - 1), где m - предполагаемое ко­ли­чес­тво фак­­­то­ров в экс­пе­рименте. Теперь, как и прежде, раз­ложив об­­щую сум­му квадратов, по­строим таблицу дис­перс­ио­н­ного ана­ли­за (табл. 6.10).

Средние квадраты с М₁по М₈ получают делением со­­­ответствующих сумм квад­ратов на число степеней сво­­бо­ды. В предположении, чтоe_ijka рас­пре­де­ле­но нор­маль­но с ну­левой дисперсией, для проверки су­щес­т­во­ва­ния ка­ко­го-либо главного влияния или вза­и­мо­дей­ст­вия делим со­от­вет­ст­вующие сред­ние квадраты на сред­ний квадрат ошибки и ре­зультаты сравниваем сF-рас­пре­делением с со­от­вет­ст­ву­ю­щим числом степеней сво­бо­ды.

Проверку значимых эффектов следует начинать с вза­имодействий высших по­рядков. При проверке ги­по­тез от­но­сительно взаимодействия трех факторов М₇ де­лит­ся на сред­ний квадрат ошибки со­от­вет­ст­ву­ю­ще­гофактора и рез­уль­­тат сопоставляется сF-рас­пре­д­еле­нием, а при проверке ги­потез относительно взаимодействия двух факторов сред­ние квадраты этих взаимодействий делятся наМ₇. Однако если у экспериментатора нет данных (опыт проведен не

Таблица 6.9

Источник изменчивости	Суммы квадратов	Степени свободы	Средние квадраты
Влияние фактора А		(p - 1)
Различия между ячейками (вну­три фактора А)		p (q - 1)
Различия внутри ячеек		(N - pq)
Сумма по всем ячейкам		(N - 1)

Таблица 6.10

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Степени свободы
Главные влияния:
Фактор А		(p - 1)
Фактор В		(q - 1)
Фактор С		(r - 1)
Взаимодействие двух факторов
А´В		(p - 1) (q - 1)
А´С		(p - 1) (r - 1)
В´С		(q - 1) (r - 1)
Взаимодействие трех факторов А´В´С		(p-1)(q-1)(r-1)
Различия внутри ячеек		(N - pqr)
Сумма по всем ячейкам		(N - 1)

тщательно, ре­зуль­тат предыдущего испытания не под­твер­дил гипотезу, что одно или более взаимодействий двух фак­торов рав­но нулю), то тогда нет точных критериев для про­­вер­ки ги­потезы относительно главных влияний фак­то­ров на ре­зультат эксперимента. Например, чтобы про­ве­рить су­­щес­тво­ва­ние эффекта главного фактора А, сле­ду­ет срав­­нитьМ₁ с величиной, ко­то­рая является не­сме­щен­ной

оцен­кой , но имен­­но в та­ком ви­­­де ее нет в таблице. Однако такую ве­ли­чину мож­но об­ра­­зо­­­вать, если, например, взять М₄ + М₅ - М₇ , но эта ли­ней­ная комбинация не име­ет рас­пре­де­ления среднего квад­ра­та. Приближенно можно счи­тать, что она распределена как сред­ний квадрат с чис­лом степеней свободы, равным

,

где f₄ , f₅ , f₇ - степени свободы, определенные по табл. 6.10 дисперсионного ана­ли­за соответственно дляS₄, S₅, S₇. Та­­ким образом, если оба взаимодействияА´В иА´С су­щест­венны, то для оценки влияния главного фактораАнадо сопоставлять отношениеМ₁/(М₄+М₅- М₇) с F-рас­пре­делением сf₁ и g степенями свободы¹.

Если можно принять, что взаимодействия А´В иА´С рав­ны нулю, то точ­ные критерии для оценки вли­я­нияглав­но­го фактора А получают, сравнив отношениеМ₁/М₅ илиМ₁/М₄ сF-распределением с со­от­вет­ст­ву­ю­щим чис­лом степеней сво­боды, данным в таблице 6.10.