§4. Классификация по нескольким признакам
В исследованиях, включающих в себя
много факторов, неэффективно и
неэкономично изучать поочередно
действие каждого из них на
результат. Такой способ не дает
достаточной информации о возможных
взаимодействиях между
соответствующими факторами.
Следовательно, необходимо
рассмотреть эксперименты, в
которых учитывается сразу
несколько факторов. Для логичности
изложения рассмотрим вначале случай
с двумя факторами, затем с
тремя и обобщим на более общий
случай со многими факторами.
Условимся, что когда в
эксперименте действуют два фактора,
то оба они могут имет фиксированные
(модель I) или случайные (модель
II) уровни. Если один фактор имеет
фиксированные уровни, а
другой случайные, то это будет пример
смешанной модели.
Все дальнейшие рассуждения будем
строить относительно
модели I, а затем указывать необходимые
изменения для применения
полученных соотношений в случае
модели II или смешанной. Для
удобства будем пользоваться
теми же обозначениями, что и для
классификаций по одному признаку
(§3).
Пусть теперь два фактора А иВ
имеют соответственноpи qуровней свободы и пустьnнаблюдений составляют двумерную таблицу
размером p ´ qтак, что всего будетN= = npqнаблюдений. Тогда можно записать
наблюдения следующим
образом:
,
(6.5)
где m -
общее среднее;Fi- влияние,
обусловленноеi-м уровнем первого
фактора;Gj- влияние,
обусловленноеj -м уровнем второго
фактора;Iij- член,
соответствующий взаимодействию,
которое представляют собой отклонения
среднего по наблюдениям в (ij)-й
ячейке от суммы первых трех членов
в равенстве (1), аeija- учитывает вариацию внутри
отдельной ячейки. Предположим,
чтоeijaнормально распределено вокруг
нулевого среднего с дисперсиейs2. Также предположим, что математические
ожиданияFi,Gj,Ii.,I.jравны
нулю. Это условие не служит жестким
ограничением, и если оно не
соблюдается, то к нему можно
перейти или с помощью корректировки
других факторов, или применив
специальные методы обработки
экспериментального ряда
(см.§1 и 2).
4.1. Двусторонняя классификация с повторениями
Примем для наблюдений xija
модель I. Пользуясь точечными
обозначениями, как и в
предыдущий раз, запишем
xija
- x...= (xi..-
x...) + (x.j.-
x...) + (xij.-
xi..- x.j.+x...)
+ (xija-
xij.)
и, возведя обе части в квадрат,
просуммировав по i, j,
a, получим
(6.6)
117