Строительная механика учебник

Как и в примере 3 о расчете балки на смещение опор, перемеще­ ние А1с можно найти, например, с помощью формулы (7.13):

А1с = - £

Rc = - ( - 1

А) = А .

У

A.

Опорная реакция в точке B , равная X,, найдется как

Т

X 1 = -

A1с

3EJ

*11

Г

‘

Н

Б

Эпюра M и значения опорных реакций показаны на рис. 9.11,б,в.

а)

й

и

I

l

4

р

о

т

и

з

о

А

п

Рис. 9.11

Р

П р и м е р 5. В качестве

внешнего воздействия на балку рас­

1/

смотрим тепловое воздействие (рис. 9.12,а).

Каноническое уравнение метода сил для расчета на изменение

етемпературы имеет вид:

*11X 1 + Ат, = 0.

281

Полагая t1 > t2 , изобразим деформированное состояние основ­

ной системы на рис. 9.12,б.

Значение А^ найдем по формуле (7.12). Для изгибаемого стержня:

a t

a t

l

У

A1t = T

n м = - т

Т

где t = t1 - 12.

Н

Решение канонического уравнения дает:

3EJ a t'

X 1 =■

2 h l

й

Эпюра изгибающих моментов и опорные реакцииБпоказаны на

рис. 9.12,в,г.

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 9.12

282

П р и м е р 6. Покажем расчет дважды статически неопределимой балки на поворот защемления в точке A на угол р (рис. 9.13,а).

Основная система, изображенная на рис. 9.13,б, является симмет­

ричной. На рис. 9.13,в,г представлены единичные эпюры изгибаю­

щих моментов, а на рис. 9.13,д - состояние основной системы, вы­

званной поворотом защемления на угол

У

р . Так как *12 = *21 = 0 ,

Т

то канонические уравнения для определения основных неизвестных

представляются в виде:

Н

*11Х 1 + А1с = 0 ,

Б

*22X 2 + А2с = 0 .

Коэффициенты при неизвестных равны:

l3

и

l

„

р

*11 = --------- ;

*22 =й'

11

12E J

6 E J

Вычислим свободные члены у авнений:

т

и

А1с = - ЕоRc = - | - 2 р 1 = 2 р ,

з

о

А2с = - Е Rc = -(1- р ) = - Р.

Решение уравнений дает:

е

X

6 E J

E J

Р

п

X I

= -----2 - P ,

X 2

= ~ Г Р .

l2

l

Эпюры M и опорные реакции балки показаны на рис. 9.13,е,ж.

283

р	Р
а)	Д)
	. А.	А,,

б)

е)

У

J

Т

l

в) 2

ж)

р

Б

J

&

ЬЛ2Ыт

Нf6£J

\6EJ~

1

й

Т

2 Р

Рис. 9.13

р

других балок на различ­

Результаты расчетов рассмотренных

ные виды воздействий приведены в табл. 9.1. Эта таблица будет ис­

моментов

пользоваться при расчете рам методомиперемещений.

т

________________________________________________ Таблица 9.1

№№

Схемы бал к и эпюры

Формулы для опреде­

п/п

зг бающ х

ления реакций

1

з

2

3

и

l

EJ

3i

Ма

i = ----; M A

= —

l

A

l

&

FA

1

п

е

M A

Уа

= Ув = f

Р

о^ГИПТПТПТТПттптт— !

М а = 3i;

2

3i

Уа = Ув = l

284

Продолжение табл. 9.1

1

2

3

M A= ql2

8

У

3

Т

f -

ul

V/

".

Б

М а = F l v(1 - v 2);

’ F

Н

4

Ма^

Уа =

й

Ув =

2

(3- и)

Неравномерный наг ев

3EJat'

и

Ма

l

=

2 d

MA

р

5

d

tj

В

Уа = Ув =

3E Jat'

2 dl

и

t2

a - коэффициент

о

Ув

з

т

\

\

уа

линейногорасширения;

Ма

t1 > t2; ^ = t1 - 12

п

А

l

е

6i

моу

M A

= М в =

l

6

WA

У

12i

Р

Ма Т Ш

т т ^ .

Уа = Ув = ,2

^ ^ Щ

М в

l2

285

Продолжение табл. 9.1

1

2

3

MA

I

M A = 4i;

У

7

M B = 2i;

Т

Уа = Ув = v

'

/ q

' ■ ]

ql2

1 1 1 1 I / / /

M A =M B =

MB

8

Н12

1----------------------------------

q l2

УвП

й

ql

A r N ^

'

/

1

БУа = Ув = ~2

о

и

M a = иv

F l;

т

р

9

MA

M b = u2vFl;

и

yA = v2 (1 + 2u)F ;

MA

Ув = и2 (1 + 2v)F

Неравномерный нагрев

ia? 'l

з

M A = M B

=

_________ l______

d

M Aо

tl

M B

Уа = Ув

0 ;

10

=

Р

п

ti

a

- коэффициент

еM a

линейного расширения;

M B

?1 > ?2; t' = t1 - 12

286

Продолжение табл. 9.1

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

287

Окончание табл. 9.1

1

2

3

ia t'l

MA

l

M A

- M B -

d

d

15

A

В

D

VA - VB - 0;

a

2

- коэффициент

MA

MB

линейногорасширения;

t1 > t2; t - t, -

1

У

'2

'2

9.3. Канонические уравнения

Исследуем изменение усилий в дополнительных связяхТоснов­

ной системы при переводе ее в положение, соответствующее де­

формированному состоянию заданной системы. От заданного воз­

Н

Б

действия в них возникают реакции. Если каждой угловой и линей­

ной связи дать перемещение, равное перемещению заданной систе­

и

мы по соответствующему направлению, то реакции в дополнитель­

ных связях окажутся равными нулю. Следовательно, реакции в свя­

р

F , а

зях являются функциями узловых пе емещенйZ i и нагрузки

о

условие статической эквивалентности основной и заданной систем

сводится к уравнениям вида:

т

i -1 , n ,

(9.1)

Rt (Z1 , Z2, •••, Z n , f ) - 0,

где

и

i -й дополнительной связи, вызванная

Ri - полная реакц я в

перемещен ями Z i и нагрузкой F .

о

Число таких уравнений равно, естественно, общему числу неиз­

п

вестных мет зда перемещений.

На

сн вании принципа независимости действия сил функцио­

нальную зависимость (9.1) можно представить как:

Р

Ri - Ri1 + Ri2 + ''' + Rin + RiF - 0 ,

(9 2)

где Rik -

реакция в i -й связи, вызванная смещением связи

к

{к -1 , n ) на истинное значение перемещения Z k;

R iF - реакция в связи i от нагрузки.

288

(9.5)

289

Величину Rik запишем в виде:

Rik - rik Z k ,

(9.3)

где rik

- реакция в i -й связи, вызываемая единичным смещени­

ем связи k ( Zk -1 );

У

Т

Z k - истинное значение смещения по направлению связи k.

Подставляя (9.3) в уравнение (9.2) и принимая i = 1, 2, ... n, по­

лучим следующую систему линейных уравнений:

r11Z1 +

r12Z 2 +

” • +

r1nZ n +

Б

0,

R1F

-

r21Z1 +

r22Z 2 +

” • +

r2nZ n +

R 2F

Н- 0,

й

(9.4)

rn1Z1 +

rn2Z2 +

” • +

ми

R nF

-

0.

rnnZ n +

р

уравнениями метода пере­

Эти уравнения называют канон ческ

о

мещений. Как следует из п едыдущ х рассуждений, физический

смысл i-го уравнения заключается в том, что суммарная реакция в до­

т

Z1 , Z 2, •••, Z n

полнительной связи i, вызываемая перемещениями

и

и заданной нагрузкой, равна нулю. При расчете на тепловое воздействие

свободные

члены

уравнений заменяются на R^t , R2t, •••,Rnt,

з

, R2 c, • • •,Rnc .

а при расчете на смещен е опор - на R^

Коэффициенты

(реакции)

Гц , r22, •••, rnn,

расположенные на

п

главной диаг нали, называют главными; коэффициенты (реакции)

r^k, i ^k, называюто

побочными, а свободные члены R f

, R2F, ” ', R f -

Р

грузовыми реакциями. При определении реакции в i -й связи ее на­

правл ние принимается совпадающим с направлением перемеще­

ения Z i , принятым в основной системе за положительное.

В матричной форме записи уравнения (9.4) имеют вид:

R Z + RF -

0 ,

'11	12		r1n
где R - r21	r22	"•	r2n - матрица коэффициентов кано-
rn1	rn2	’"	rm

нических уравнений (матрица жесткости системы по направлениям дополнительных связей);

Z -

[

, Z 2, • • •, Z n ] ]

- матрица (при расчете на одно за-

гружение - вектор) неизвестных;

У

Т

RF

-

[/?1F

, R2F , " ', RnF ] ^

- матрица (при расчете на од­

но загружение -

вектор) свободных членов канони­

Н

ческих уравнений (грузовых реакций).

9.4. Статический способ

Б

коэффициентов

и свободных членов канон

ческ

х уравнений

й

Коэффициенты

и

свободные члены канонических уравнений

определения

суть реакции в дополнительных связях. Для определения их необ­

ходимо знать распределение усилий в основной системе от единич­

р

ных перемещений э их связей и

т нагрузки.

Построение эпюр

зг бающих моментов от указанных воздейст­

о

вий покажем на пр мере рамы, изображенной на рис. 9.14,а. При­

мем EJ\ -

2E J,

т

E J

2 - E J .

На эт м же

показано и возможное деформированное со­

стояние рамы,

рисунке

по воляет визуально определить число основных

з

что

п

неизвестных. Найдем, однако, число неизвестных по общим прави­

единице. Возможное направление перемещения узлов на рис. 9.14,б

лам. В раме имеется один жесткий узел, следовательно,

ny

- 1 . Как

сл ду т из кинематического анализа шарнирно-стержневой системы

Р

(рис. 9.14,б), степень линейной подвижности ее узлов тоже равна

показано

стрелкой

-о-. Общее

число

неизвестных

равно

n - ny + пл - 1 +1 - 2. Основная система показана на рис. 9.14,в.

290