Строительная механика учебник
.pdfЭти соотношения показывают, что неизвестные перемещения узлов А1, А2 , р и р («старые» неизвестные) можно выразить через «новые» неизвестные Z1, Z 2 , Z3 , Z 4 , которые представля
ют собой групповые перемещения симметрично расположенных уз лов. Введение в расчет новых неизвестных приводит к значительным упрощениям в расчете. Единичные эпюры усилий от групповых пе ремещений разделяются только на симметричные или обратносим метричные. Такие эпюры обладают свойством взаимной ортогональ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
ности, и поэтому система канонических уравнений распадаетсяУна |
|||||||||
две независимые подсистемы уравнений, одна из которых содержит |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
только симметричные неизвестные, а вторая - обратносимметричТ |
|||||||||
ные. Изложенный способ расчета рам называют способом группи |
|||||||||
ровки неизвестных перемещений. |
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что если на оси симметрии имеется стержень рамы |
|||||||||
(положение его совпадает с осью симметрии), то симметричные не |
|||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
||
известные не вызывают в нем изгибающих моментов и, значит, ре |
|||||||||
зультат “перемножения” симметр чной эпюры на обратносиммет |
|||||||||
ричную будет равен нулю. |
р |
й |
|
||||||
Коэффициенты |
r% и |
свободные |
члены |
RF |
в канонических |
||||
|
|
|
|||||||
уравнениях |
суть |
обобщенные |
еакции, вызываемые смещением |
||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
групповых (парных) неизвес ных. Определяются они статическим |
|||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
или кинематическим сп с б м. |
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Расче ная схема рамы изображена на рис. 9.24,а. |
Полагая изгибные жесткости всех стержней равными E J , постро ить окончательнуюо эпюру изгибающих моментов.
ныена равления групповых неизвестных. Единичные эпюры изги бающих моментов и грузовая эпюра представлены на рис. 9.24,в-ж.
Степенькинематической неопределимости рамы n - ny + nл - - 2 + 3 - 5. На рис. 9.24,б показаны основная система и положитель
РЭпюры M 1 и M 3 являются симметричными, а эпюры M 2 , M 4 и
M 5 - обратносимметричными. Вследствие их ортогональности,
система из пяти канонических уравнений метода перемещений раз деляется на подсистему, содержащую симметричные неизвестные:
311
|
|
|
|
|
r11Z1 + r13Z3 + R1F - |
0, j |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r31Z1 + r33Z3 + R3F - |
0,J |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и подсистему с обратносимметричными неизвестными: |
|
|
У |
||||||||||||||||
|
|
|
|
r22Z 2 + r24Z 4 + r25Z 5 + R2F - |
0, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||
|
|
|
|
Г42Z 2 + Г44Z4 + Г45Z 5 + R4F - 0, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
r52Z 2 + r54Z 4 + r55Z5 + R5F - |
0. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
||
После определения единичных и грузовых реакций (советуем |
|||||||||||||||||||
читателю найти их) эти подсистемы уравнений будут иметь сле |
|||||||||||||||||||
дующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
|
|
5,0Z 1 + |
1 |
Z3 + |
90,0 |
1 |
- |
0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
р |
E J |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
199 |
|
й1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
12 Z1 + |
288 |
Z3 + |
6,0 E J |
- |
0, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
- Z |
5 |
|
|
|
|
- 0, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
— Z4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
4 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199 Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
з |
т |
|
2 z |
|
- |
6,0- |
- |
0, |
|
|||||||
- — Z 2 |
+ |
|
|
5 |
|
||||||||||||||
12 |
2 |
|
288 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|||
- 2 |
z |
2 |
и2 z |
4 |
|
+ |
2 z |
5 |
- |
14,0 |
E J |
- |
0. |
|
|||||
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||
п |
|
|
|
|
E J |
|
|
2 |
|
|
|
E J |
|
|
|
||||
Решив |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оих, олучим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z1 --1 7 ,8 9 1 2 |
|
рад, |
Z2 - 41,1114------ рад, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- |
|
|
|
1 |
|
|
РZ3 - -6,5257---- м,Z4 -108,445---------- м,Z 5 |
294,78---------- м. |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
|
E J |
|
|
|
|
|
E J |
|
312
Окончательная эпюра изгибающих моментов строится по вы ражению:
|
M - M F + M 1Z 1 + M 2Z 2 + M 3Z 3 + M 4Z4 + M 5Z 5. |
|
|||||||||||
|
Она изображена на рис. 9.24,и. |
|
|
|
Т |
||||||||
|
а) 8 к H |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|||
|
|
|
6 к Н |
|
|
|
Н |
У |
|||||
|
10кНIм |
|
|
|
10кН/м s |
|
|
|
|||||
|
|
т |
Z4 |
Z 3 |
I t t |
Z Z•1^‘ t t г |
|||||||
|
|
|
|
± г т т , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 3 Z4 |
||
к Н |
|
Заданная |
|
|
|
|
|
|
Основная |
|
|
||
|
|
|
система |
|
|
|
|
|
|
система |
|
|
|
|
6м |
8 м |
|
|
6м |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
313
Анализируя записанные в этом примере подсистемы уравнений, можно сделать заключение: если на симметричную раму оказывается симметричное воздействие, то свободные члены в системе с обратно симметричными неизвестными будут равны нулю и, значит, обратно симметричные неизвестные будут равны нулю (из решения системы однородных уравнений); если же внешнее воздействие будет обратно
симметричным, то нулевыми становятся симметричные неизвестные. |
|
|
Т |
Как следствие способа группировки неизвестных, отметим, что рас |
|
чет симметричной системы на симметричную или обратносимметрич |
|
Н |
|
ную нагрузки можно выполнять для одной половины расчетной схемы.У |
|
В зависимости от воздействия на второй половине схемы распределение |
|
Б |
|
усилий будет симметричным по отношению к первой или обратносим |
метричным. В частности, если ось симметрии пересекает некоторый стержень, то при расчете на действие симметричной нагрузки в этом сечении необходимо поставить подвижное защемление. Например, для
рамы, показанной на рис. 9.22,а, соответствующая “полурама” пред |
|||||||
ставлена на рис. 9.25,а. При действии обратносимметричной нагрузки в |
|||||||
этом сечении изогнутая ось стержня меет перегиб и, кроме того, пере |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
мещение сечения по вертикали (по нап авлен ю, перпендикулярному |
|||||||
оси стержня) равно нулю. |
|
|
на асчетной схеме “полурамы” |
||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
в указанном сечении ставится ша ни но-подвижная опора (рис. 9.25,б). |
|||||||
|
а) |
|
|
|
|
рб) |
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Рис. 9.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п9.9. Расчет рам на тепловое воздействие |
||||||
асчет ведется на изменение температуры системы по отношению |
|||||||
к температуре ее начального состояния. Принимая линейный закон |
|||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
изменения температуры по высоте сечения стержня, тепловое воздей ствие, как и силовое, можно представить в виде суммы симметрич ной и обратносимметричной составляющих этого воздействия.
314
Пусть, например, для стержня, имеющего симметричное попе речное сечение высотой d (рис. 9.26,а), 11 > ?2 , то есть верхние во
локна стержня являются “холодными”, нижние - “теплыми”. Разложим это загружение на симметричное (рис. 9.26,б), при ко
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
тором температура верхнего и нижнего волокон будет одинаковой и |
||||||||||||||||||
равной t = h + t 2 |
|
(имеет |
место |
равномерный нагрев, удлинение |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стержня равно a |
|
t l ), и обратносимметричное (рис. 9.26,в), для ко- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
торого температура верхнего волокна равна |
|
t1 - 12 |
|
t ' |
|
|||||||||||||
|
= -----, аниж- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
него —. При обратносимметричном нагреве температура по оси |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
стержня равна нулю. Стержень от такого воздействия не удлиняет |
||||||||||||||||||
ся, а только искривляется. Значение перемещения любой его точки |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
определяется по правилам, изложенным в разделе 7.8. |
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
р |
|
|
А + 12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
t2 |
|
□- |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
т |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
l |
|
a t l |
|
||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
-M---jf- |
|
||||||||
|
|
|
|
t |
_ |
t 1 - 1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
о |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.26 |
|
|
|
|
|
|
||
Аналогичное разложение теплового воздействия можно сделать и |
||||||||||||||||||
Рдля стержней с условиями закрепления его концов, соответствующими |
закреплениям стержней в основной системе метода перемещений.
315
При симметричном распределении температур, вследствие уд линения (укорочения) стержней, узлы основной системы переме щаются, что приводит к взаимным смещениям концов стержней и вызывает изгибные деформации их.
|
При обратносимметричном распределении температур узлы ос |
|||||||||
новной системы не смещаются, но так как связи по концам стерж |
||||||||||
ней препятствуют свободному перемещению их, то в каждом из них |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
появляются усилия. Эпюры моментов для таких стержней пред |
||||||||||
ставлены в табл. 9.1 (строки 5, 10, 15). Техника их построения при |
||||||||||
ведена в разделе 9.2 (пример 5). |
|
|
Н |
У |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
Канонические уравнения для расчета рам на изменение темпера |
|||||||||
туры имеют следующий вид: |
|
Б |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r11Z1 + r12Z2 + ‘'' + r1nZn + R1t = 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
, „ , n |
|
|
|
|
r21Z1 + r22Z 2 + ” ' + r2nZn + R2t = 0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
(911) |
|
|
|
|
|
|
Rnt = °., |
|
|
|
|
|
|
|
rn1Z1 + rn2 Z2 + ” ' + rnnZ n + |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Для определения свободных членов канонических уравнений |
|||||||||
R1t , R2t , •", R nt , как следует из п едыдущих рассуждений, необхо |
||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
димо построить в основн й сисреме эпюры изгибающих моментов от |
||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
симметричного воздейс вия (M 't) и от обратносимметричного ( м ; ) . |
||||||||||
Используя их, найдем, ч о: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
о |
Rit = |
Rit + R it, |
i = 1 |
n , |
|
|
|
|
|
п |
R"tз- реакции в i-й дополнительной связи, вызываемые |
||||||||
|
где |
R 'it, |
||||||||
е |
|
этими воздействиями. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р |
Окончательная эпюра изгибающих моментов строится по формуле: |
|||||||||
|
м = M't + м ; +m 1z 1 + м 2 z 2 + - + M nz n . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
П р и м е р |
1. Построить окончательную эпюру изгибающих мо |
ментов в раме (рис. 9.27,а) от указанного теплового воздействия, приняв жесткости стержней одинаковыми и равными 60 MH • м ,
316
высоту сечения d = 0,6 м, коэффициент теплового линейного рас
ширения a = 1,2 -10 5 град-1.
|
Степень кинематической неопределимости рамы равна двум. |
||||||||||||
На рис. 9.27,б показано симметричное распределение температур по |
|||||||||||||
каждому стержню, а на рис. 9.27,в - обратносимметричное. |
|
У |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
||
|
|
|
|
t —t |
|
|
и |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
= - 1 8 |
р |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
Рис. 9.27 |
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система канонических уравнений в этом случае запишется в виде: |
||||||||||||
|
п |
|
|
r11Z1 + r12Z2 + R1t = 0, j |
|
|
|
||||||
е |
|
|
|
r21Z1 + r22Z 2 + R2t = 0.J |
|
|
|
||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
от симметричного воздей |
|||||
|
Для построения эпюры моментов M't |
ствия температур необходимо сначала определить удлинение каж дого стержня по формуле А = a 1 1 , а затем изобразить на схеме ра
мы новое положение узлов и деформированное положение стерж ней в основной системе (рис. 9.27,г). Зная взаимные перемещения
317
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r22 |
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра изображена на рис. 9.30. В скобках указаны значения ор |
|||||||||||
|
|
|
|
|
^ |
|
2 |
a |
|
5 |
|
1 |
динат моментов (в кН • м) при E J = 60 MH • м и |
= 1,2 • 10_ |
град- . |
||||||||||
|
|
|
з |
т68,77EJa |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
(49,51) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
23,23EJa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
(16,73)и |
...Т ТТТгштптг^ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
93,70EJa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
(67,46) |
|
|
|
|
|
72,24EJa |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(52,01) |
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 9.30 |
|
|
|
|
|
|
319
Правильность построенной эпюры изгибающих моментов про веряется с помощью условий равновесия любых фрагментов рамы, в частности, узлов рамы. Как правило, этой проверки достаточно для заключения о правильности эпюры М .
Однако дополнительно к ней можно использовать и другую про |
|||
|
|
|
У |
верку: результат “перемножения” единичной (или суммарной еди |
|||
ничной) эпюры моментов метода перемещений на окончательную |
|||
эпюру должен быть равен нулю, то есть: |
Т |
||
E J |
Н |
|
|
|
|
|
|
9.10. Расчет рам на смещение опор |
|
|
|
й |
|
|
|
Отличительная особенность расчета рам на смещение опор связа |
|||
на с построением в основной системе метода перемещенийБ |
эпюры |
изгибающих моментов. В дальнейшем будем обозначать ее через М c .
При этом построении надо помнить о том, что плавающие заделки в |
|||||||
основной системе препятствуют только повороту жестких узлов, ли |
|||||||
нейные же смещения узлов |
допускают.иПоэтому влияние линей |
||||||
ного (горизонтального или ве тикального) смещения какой-либо |
|||||||
опорной связи может распр с |
раняться на множество элементов ра |
||||||
мы, примыкающих к смещаем й ст йке или смещаемому ригелю. |
|||||||
|
При построен |
|
|
они |
|||
|
|
эпюры M c |
рекомендуется использовать принцип |
||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
независимости действ я с л, т.е. вначале следует построить эпюры |
|||||||
моментов |
смещения каждой опорной связи в отдельности на задан |
||||||
ное значение, а |
|
и |
|
||||
атем - суммарную эпюру M c , с помощью которой |
|||||||
|
|
|
з |
|
|
||
и о ределяются св бодные члены Ric канонических уравнений: |
|||||||
|
|
от |
|
|
|
||
|
п |
|
|
|
R z + Rc = 0. |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Последующий алгоритм расчета остается таким же, как и при |
||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
расчете рам на силовое воздействие. |
|||||||
Р |
Основная |
проверка правильности окончательной эпюры изги |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
бающих моментов сводится к проверке выполнения условий равно весия узлов и других частей рамы.
320