Строительная механика учебник

Некоторые особенности вычисления коэффициентов и распреде­ ления изгибающих моментов покажем на примере рамы, изобра­ женной на рис. 9.40,а.

Основная система и положительные направления неизвест­ ных показаны на рис. 9.40,б. Ограничимся рассмотрением эпюр

M 1, N 1

и

M f

(рис.

9.40,

в-д).

Из условия

равновесия

/

\

E J

EA

У

(

X = 0) узла 3 (рис. 9.40,е) найдем

Гц = --------------1--------.

9

6

Естественно,чтотожезначение Гц получитсяпокинематическомуметоду:

Г = - L U з 2 E J + - L E A

6 E A = E J

+ E A

Т

Г11 = E J 2 3

3 3

EA 6

6 =

9

6 .

Для определения свободных членов

Н

следует использо­

вать распределение усилий в узлах, показанное на рис. 9.40,ж,з, или

Б

воспользоваться кинематическим методом. В последнем случае:

R

^ M M F dx ^ N iN 0dx

уравнений

RiF = - ^

EJ—

^

~ ~ Ё Г ~ •

и

где

M i, N i -

функции изгибающих моментов и продольных сил

от

р

смещений узлов в основной системе ме­

тода перемещений;о

M F0 , N F0 - функцтизгибающих моментов и продольных сил

от

аданной нагрузки в основной системе метода сил.

О

единичных

влиянии пр дольных деформаций на распределение усилий в раме

з

можно судить

кончательным эпюрам изгибающих моментов, по-

по

EA • h 2

стро нным

ри соотношении----------= 10 , где h = 1 м (рис. 9.40,и) и

при

п

E J

EA

^

да (отсутствуют продольные деформации) (рис. 9.40,к).

е

„

„

EA • h2

При ----------< 10 результаты расчетов будут еще более отличаться от

Р

E J

да.

тех, которые соответствуют варианту расчета с EA ^

331

а)

2 0 к H /м

Z

J 1

Y \ \

\

3

EJ

4

EJ

EA

EJ

EA

EA

1

4 0 кH

г)

У

Заданная

систем а

2

Т

1= 6 м

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

332

Увеличение податливости стержней на растяжение-сжатие при­ водит к увеличению перемещений узлов, и поэтому расчет таких рам по недеформированной схеме следует рассматривать как при­ ближенный.

ГЛАВА 10		У
	Т
СО ВМ ЕСТН ОЕ П РИ М ЕН ЕН И Е М ЕТОДА СИ Л
И М ЕТОДА П ЕРЕМ ЕЩ ЕН И Й . С М ЕШ АННЫЙ М Е ОД
Н
10.1. Сопоставление метода сил и метода перемещений
Б
И метод сил, и метод перемещений имеют свои достоинства и
недостатки. Каждый из них, с учетом принимаемых в расчете пред­
посылок, является точным. И в том и в другом методе возможен
й

учет влияния, кроме дефоромаций изгиба, продольных и попереч­ ных деформаций. Какой из них следуетудозатратамиприменять для расчета?

При неавтоматизированных выч слен ях поиск лучшего метода расчета заданной системы сводится, в больш нстве случаев, к поиску

варианта расчета с наименьшими т							. При этом наиболее
				метода
часто выбор того или иного						зависит от количества неизвестных.
Расчет рам, узлы кот р й не						бладают линейной подвижностью,
как правило, лучше вып лня ьрмет дом перемещений. Эпюры уси­
		имеют			л кальный характер и, благодаря этому,
лий строятся легко,
система канон ческ			х уравнений получается разреженной. Однако
		связаны
при учете продольныхтдеформаций количество неизвестных по ме­
	о		нач тельно возрастает.
тоду перемещен й
Выб р раци нальной основной системы метода сил и построе­
ние	эпюр			с более сложной логикой понимания струк­
	в ней

туры системы. Д статочно трудоемкой является и операция по вы­ числению коэффициентов и свободных членов канонических урав­ н ний. В методе перемещений эта часть вычислений, выполняемая,

Рнаприм р, статическим способом, является менее трудоемкой. Как достоинство метода сил отметим, что степень статической неопре­ делимости заданной системы не зависит от того, учитывается или нет в расчете влияние продольных деформаций.

Приведенные замечания по обсуждаемым методам представляют собой качественную характеристику их. Отметим, кроме того, что в

333

каждом конкретном случае расчетчик вправе выбирать любой из них, руководствуясь собственным уровнем знаний этих методов расчета.

Принятие решения о выборе метода для автоматизированных вы­

числений связывается не столько с вычислительными процедурами
по каждому из них, сколько с особенностями получения основной
			У
системы. Логика автоматизации процесса выбора основной системы
метода перемещений является более простой. Идеи метода переме­
		Т
щений нашли широкое применение при разработке программных
комплексов расчета и проектирования строительных систем.
	Н
10.2. Совместное использование метода сил
и метода перемещений	Б
Глубокое понимание инженером основных положений метода
й
сил и метода перемещений позволяет ему выбирать рациональные

методики расчетов. В частности, для расчетов как симметричных, так и несимметричных систем возможно совместное использование названных методов.

Рассмотрим вначале особенности асчета с мметричных систем. Нагрузку, действующую на такую с стему, всегда можно разложить

на симметричную и обратн симметичную(иначе, кососимметрич­
ную) составляющие. Как правил , казывается, что расчет на симмет­
ричную составляющую уд	р
	вып лнять одним методом, например,

методом перемещен й, а на действие обратносимметричной состав­
		бно
ляющей - друг м, ме одом сил. Окончательный результат расчета ра­
	т
мы на заданную нагру ку получается суммированием результатов ее
расчета на	составляющие. Теперь обратимся к примеру.
	и
Рама, из браженная на рис. 10.1,а, имеет четыре неизвестные по ме­
	з
тоду еремещений (основная система и основные неизвестные показаны

на рис.п10.1,б)обеи четыре неизвестные по методу сил (рис. 10.1,в). Симм тричная и обратносимметричная составляющие заданной на­ грузки представлены на рис. 10.1,г,д. Расчет на действие симмет­ ричной нагрузки выполним методом перемещений, так как в этом

Рслучаеединственной неизвестной, не равной нулю, будет неизвест­ ная Z 1 . Для расчета рамы на действие обратносимметричной на­ грузки используем метод сил. Из всех четырех неизвестных не рав­ ной нулю будет только X 3 .

334

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

чтобы статически неопределимый фрагмент системы удобно рас­ считывался методом перемещений. В этом случае метод сил являет­ ся основным методом расчета, а метод перемещений - вспомога­ тельным. Если же за основной метод принимается метод перемеще­ ний, то кинематически неопределимый фрагмент рассчитывается методом сил (вспомогательный метод).

Указанные особенности расчета поясним на следующих примерах. Для рамы (рис. 10.2,а) за основной метод расчета примем метод

перемещений, а основную систему выберем по варианту, показан­

ному на рис. 10.2,б,

т.е. заданную

раму

будем рассчитывать Укак

дважды кинематически неопределимую систему.

Т

а)

кН

—Н-

8 м

Т Т

------

15 КМН------ 8 кН

3кН

2EJ

'

11

ом

;

Заданная

E J

тттт

ь.

м

2EJ

2БEJ я---- S

система

E J

E J

8 м

шя

6м

й6м

- 4 —

и

б)

B Основная

Z1

р

♦ l i t

ме

да

перемещен й О

D

о

Ш 7/

Ш 7/

т

система

Рис. 10.2

Для

з

стр ения грузовой и единичных эпюр M необходимо пред­

варительно рассчитать статически неопределимый фрагмент A B C D

о

на д йствие заданной нагрузки и поворот опорной связи в точке D

п

A B C D

является один раз статически неоп­

на угол

Z1

= 1. Рама

ределимой

(по методу перемещений число неизвестных равно

Р

двум), поэтому расчет ее выполняется методом сил, который в этом варианте его использования рассматривается как вспомогательный. Соответствующие окончательные эпюры моментов от упомянутых нагружений приведены на рис. 10.3,а,б.

336

а) б) 30,10

15,10

?У??

Рис. 10.3

Далее, следуя известному алгоритму расчета рам методом переме­

щений, построим в основной системе грузовую эпюру M р

У

(рис. 10.4,а),

Т

единичные M 1 и M 2 (рис. 10.4,б,в) и, в конечном итоге, - оконча­

тельную эпюру изгибающих моментов (рис. 10.4,г).

Н

а)

б)

z = 1

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 10.4

з

Рассм трим другой пример. Рама, изображенная на рис. 10.5,а, со­

семь лишних связей. Однако, расчет ее на действие заданной

нагрузкироведем как системы, содержащей три неизвестные.

Основная система метода сил (этот метод здесь является основ­

п

ным) приведена на рис. 10.5,б. Она включает в себя статически не­

определимый фрагмент A B C

и симметричный ему A 'B 'C '. Что­

держит

Р

бы построить эпюры моментов в основной системе метода сил, не­ обходимо предварительно выполнить расчет этих фрагментов на те нагрузки, которые они воспринимают.

337

б)

У

X3

X 3

Т

основная

в '

Н

система

A

метода сил

Б

Рис. 10.5

й

Рама A B C содержит одну не

звестную метода перемещений.

Эпюры моментов от действия на

инее единичной распределенной

нагрузки и единичного м

п иведены на рис. 10.6,а,б.

р

о

мента

и

з

о

Рис. 10.6

Спих помощью, используя свойства линейно деформируемых сис­

т м, построим грузовую (рис. 10.7,а) и, как пример, вторую единичную

е

(рис. 10.7,б) эпюру моментов в основной системе метода сил.

Две другие единичные эпюры строятся с учетом распределения

Рмоментов на фрагменте A B C

от M = 1

(рис. 10.6,б). Дальнейший

ход вычислений соответствует алгоритму метода сил.

338

										У
									Т
								Н
							и	Б
						р
						Р с. 10.7 й
					о
					10.3. Смешанный метод
					т
	При расчете рамы смешанным методом за основные неизвестные
			и
в одной ее части пр				н маю ся усилия в лишних связях, а в другой,
		з
оставшейся, -			перемещен я узлов, то есть в ходе расчета обе груп­
пы неизвестных (не					вестные метода сил и неизвестные метода пе­
	о
ремещений) находятся одновременно. Выбор неизвестных, естест­
венно, пределяется структурой заданной рамы и, как правило, в
	п
той части, где наблюдается малое число лишних связей, вводятся
уравнений метода сил и метода перемещений.
основные неизвестные метода сил, а в другой - основные неизвест­
ные м тода			еремещений. Система уравнений, из которой опреде­
Р

ляются эти неизвестные, записывается на основании условий, ана­ логичных тем, которые используются для записи канонических

Более полные пояснения по сути смешанного метода дадим на примере расчета рамы, изображенной на рис. 10.8,а.

339

а)

EJ

s

EJ

30 кИ ______ ^

2EJ

30 м

4кН

Заданная

4 м

2EJ D

EJ

E

E J G

2EJ система

Д

IB

EJ

I

У

IC

9м

_4 ----- 6M----J_------ 6M-----T^

”

б)

Т

Н

Рис. 10.8

Б

й

Фрагмент

AD

этой рамы (в узле D

меется защемление) со­

держит только две лишние связи, его удобно рассчитывать методом

и

сил; для расчета остальн й части амы (ее узлы расположены в точ­

ках B, C, D, E , G ) удобнее исп льзовать метод перемещений. Ис­

р

ходя из этих рассуждений, примем

сновную систему такой, какой

она показана на р

с. 10.8,б.о

Единичные

гру оваятэпюры моментов в основной системе показа­

ны на рис. 10.9.

эпюры M i (рис. 10.9,а) видно, что сила X i = 1 вы­

и

зывает в третьей дополнительной связи (ее номер соответствует

Из

(обратите внимание:

номеру неизвестн й) реактивное усилие

вызывается силой).

о

Г31 указывало бы на реак­

В м тоде

еремещений обозначение

п

цию в третьей связи, вызываемую перемещением Z1 = 1, то есть

причины возникновения реакций ^

и

Г31

различные, поэтому и

реакция

обозначаются они по разному. Аналогично необходимо понимать и

Рфизический смысл реакции Г32 .

340