Аналитическая геометрия

Задания для практических занятий по теме «Аналитическая геометрия»

	Прямая на плоскости
1)	Среди прямых 2x 3y 2 0, 4x 6y 3 0, 4x 6y 1 0,					3x 2y 5 0 указать
	параллельные и перпендикулярные.
	Прямая l задана точкой M0 2,1 и нормальным вектором		2					. Составить уравнение
2)		n		i			j
	этой прямой и привести его к общему виду.

3)Написать уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и 4.

4)Составить уравнение прямой, проходящей через точки A 2, 1 , B 1,8 .

5) Определить угловой коэффициент k и отрезок b для каждой из прямых: 5x y 3 0, 2x 3y 6 0, 2x 5y 0, y 2.

6)Найти уравнение прямой, образующей с осью Oxугол 450 и пересекающей ось Oy в точке

0,4 .

7)Найти расстояние от точки M0 2,1 до прямой 3x 4y 5 0.

8) Найти точки, в которых прямая 3x 2y 6 0 пересекает оси координат.

9)Определить острый угол между прямыми 3x y 7 0 и 2x y 1 0.

10)Составить уравнение прямой, проходящей через точку A 3,4 и параллельной прямой:

	а) x 2y 5 0,		x 1		y 2	,	x 3 t,	г) x 2.
		б)					в)
			2
				3			y 4 7t,

11) Установить, пересекаются, параллельны или совпадают данные прямые:

а) x 3y 2 0 и 2x y 1 0,								б) x 3y 1 0 и 2 2x 6y 0,
в) x y 3 0 и 3x 3y 1 0,								x 1 2t,		x 2 t,
								г)		и
								y 1 t		y 2 t.
12)	При каких значениях a прямые ax 4y 6 и x ay 3:
	а) пересекаются, б) параллельны,							в) совпадают?
13)	Точки A 1,2 , B 3,0 , C 2,1 вершины треугольника ABC. Написать:
	а) уравнение стороны		AB,		б) уравнение высоты CD и вычислить ее длину, в) уравнение
медианы BM стороны CA,					г) найти угол BAC треугольника ABC.
14)	Составить уравнение прямой, проходящей через точку A 3,4									и перпендикулярной прямой:
а) x 2y 5 0,				x 1		y 2	,	x 3 t,	г) x 2.
		б)						в)
			2
					3			y 4 7t,
15)	Найти расстояние от точки A 3,4						до прямой:
а) x 2y 5 0,				x 1		y 2	,	x 3 t,	г) x 2.
		б)						в)
			2
					3			y 4 7t,
16)	Найти угол между прямыми:

а)

в)

2x y 1 0 и y x 2,		б)	x 2		y 1	и	x 2		y 1	,
			3		4
x 3 t,	x 3 t,					1		0
	и
y 4 3t	y 2 2t.

17) Дано общее	уравнение прямой 12x 5y 65 0. Написать: а) уравнение с угловым
коэффициентом,	б) уравнение в отрезках, в) нормальное уравнение.

18) Определить площадь треугольника, образованного прямой 4x 3y 36 0 с осями

координат.

19) Показать, что прямые 3x 2y 1 0 и 2x 5y 12 0 пересекаются, и найти координаты точки пересечения

Плоскость и прямая в пространстве

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 1,2,4 , M2 2, 2,1 ,

M3 3,2, 6 .

2)Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1,2, 3 и перпендикулярной вектору N 4, 3,5 .

3)Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 3,4,2 и перпендикулярной плоскостям x 2y z 0 и 5x 4y 3z 1 0.

4)Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2x 3y 6z 12 0 и координатными плоскостями.

5)Определить расстояние от точки M 2,3, 5 до плоскости 2x 3y 6z 12 0.

6)Найти угол между плоскостями x 2y 2z 4 0 и x 2y z 7 0.

7)Даны две точки М1 3, 1,2 и М2 4, 2, 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно прямой М1М2 .

8)Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 3,4, 5 параллельно двум

векторам а1 3,1, 1 и а2 1, 2,1 .

9)Определить взаимное расположение пар плоскостей:

а) 2х 3у 5z 0 и 4х 6у 10z 2 0; б) 3х у 2z 5 0 и x 9y 3z 2 0; в) 2х 5у z 0 и x 2z 3 0.

10)Найти расстояние от точки М 2, 1,1 до плоскости 2х 3у 6z 14 0.

11)Найти расстояние между параллельными плоскостями:

а) х 2у 2z 12 0 и x 2y 2z 6 0;

б) 2х 3у 6z 14 0 и 4x 6y 12z 21 0.

12)

При

каких значениях

m

и

l плоскости

2x ly 3z 5 0

и

mx 6y 6z 2 0

параллельны?

l

3x 5y lz 3 0

x 3y 2z 5 0

13)

При

каком

значении

плоскости

и

перпендикулярны?

14)

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 1,2,4 :

а) параллельно вектору

3, 1,2 ;

x 3

y 4

z 1

q

б) параллельно прямой

;

6

5

2

x 2 t,

в) параллельно оси Ox;

г) параллельно оси Oy;

д) параллельно прямой y 2t,

z 1 3t.

2x 5y z 3 0,

15) Уравнения прямой

привести к каноническому виду.

x 2y z 2 0

M1 1,3,6 ,

16)

Составить

канонические

уравнения прямой,

проходящей через

точки

M2 4,6, 3 .

2x 3y z 4 0,

17)	Составить канонические и параметрические уравнения прямой
																		3x 5y 2z 1 0.
18)	Найти угол между прямыми	x 3		y 1						z 5			и			x 4		y 1		z 2	.
					2											2
	1								3								3			4
						x y 1 z										3x y 5z 1 0,
19)	Доказать перпендикулярность прямых															и
					1								3
									2							2x 3y 8z 3 0.
20)	Составить канонические уравнения прямой, если она:
а) проходит через две точки B 1, 2,3 и C 2,1,3 ,

б) проходит через точку A 0, 2,1 перпендикулярно плоскости x y 4z 2 0,

2x z 10 0,

в) проходит через точку A 0, 2,1 параллельно прямой

y z 12 0.

21) Определить взаимное расположение прямых:

x

y 1 z

5х у 2z 3 0,

а)

и

1 2 3

3x 2y 5z 2 0;

x 3t,

2х у 4z 2 0,

б) y 2t 2, и

4x y 5z 4 0;

z 2t 1

x 2

y 1

z х у z 1 0,

в)

и

3

2

1 x y 5z 3 0.

х у 4z 5 0,

х 6у 6z 2 0,

22) Найти косинус угла между прямыми

и

2x y 2z 4 0

2x 2y 9z 1 0.

x 2t 3,

x t 5,

23) Показать, что прямые

y 3t 2, и

y 4t 1, пересекаются, найти координаты точки

z 4t 6

z t 4

пересечения.

x 3t 2,

24) Показать, что прямая y 4t 1, параллельна плоскости 4x 3y 6z 5 0.

z 4t 5

25) Найти точку пересечения прямой

x 1

y 1

z

и плоскости 2x 3y z 1 0.

1

2

6

x 3

y 2

z 8

26)

Найти расстояние от точки P 1, 1, 2 до прямой

.

3

27)

Найти расстояние между прямыми:

2

2

а)

x 7

y 4

z 3

и

x 21

y 5

z 2

;

3

4

2

6

4

1

x 3t 1,

x t,

б) y 3t 2,

и y t 3,

z 6t 1

z 2t 3.

x 3t 2,
28) Доказать, что прямая y 4t 1, параллельна плоскости 4x 3y 6z 5 0.
z 4t 5
29) Найти точку пересечения прямой						x 3						y 2				z 1						и плоскости x 2y z 15 0.
							3					1						5
30) Найти точку пересечения прямой						x 1					y 1				z			и плоскости 2x 3y z 1 0.
															6
							1					2
						Кривые на плоскости
1) . Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) a 5, c 4; б) c 3, ε			3			; в) b 3, ε											3			; г) большая полуось равна 3, а расстояние
5															5
между фокусами равно 4		, д) эллипс проходит через точки M1 2, 4																								иM2 1,2		.
	2																								3		15
2) Составить каноническое уравнение гиперболы, если:																							4
а) c 5, b 4; б) a 8, ε					5		; в)			c 10,					y									x – уравнения асимптот; г) мнимая
						4
																						3

полуось равна 1, а расстояние между фокусами равно 210.

3)Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (0,0), если:

а) она расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси Ох и p 0,5;

б) если она симметрична относительно оси Оу и походит через точку М(4,–8); в) если точка F(0,3) – фокус.

4)Найти радиус и координаты центра окружности:

а) x2 y2 5x 5y 12 0;	б) 2x2 2y2 12x y 3 0,
в) x2 y2 4x 8y 16 0,	г) 9x2 9y2 42x 54y 95 0.

5)Определить вид кривой второго порядка, заданной уравнением, найти ее центр, координаты вершин, фокусов и эксцентриситет:

а) 5x2 9y2 30x 18y 9 0,	б) x2 3y2 4x 6y 5 0,
в) 4x2 3y2 8x 12y 32 0,	г) 9x2 16y2 36x 32y 124 0.

6)Дано уравнение эллипса 24x2 49y2 1176. Найти: длины его полуосей, координаты фокусов,

эксцентриситет эллипса, уравнение директрис и расстояние между ними, точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.

7)Дано уравнение гиперболы 5x2 4y2 20. Найти: длины его полуосей, координаты фокусов,

эксцентриситет гиперболы, уравнения асимптот и директрис, фокальные радиусы точки

M3;2,5 .

8)Найти координаты вершины и фокуса, уравнение оси и директрисы параболы

а) y2 4y 6x 7 0,		б) 2x2 y 8x 5 0.
		Полярная система координат
1) Найти прямоугольные координаты					точек			A,B,C,D,E,				для		которых известны полярные
координаты: A 3,0 , B													2
		2,		,C 5,				, D 0,			, E	1,		.
			3										3
						2			4

2) . Найти: а) полярные координаты точек: M0 4,4 ,								M1 2,			, M2	3, 1 ;
										12
б) декартовы координаты точек: M1			7		, M			5		3 3,3 . Построить эти точки.
		2,				2	1,		, M
			6					2

3) Записать уравнения заданных линий в полярной системе координат: а) y x;

б) x y 1 0; в) x2 y2 ax; г) x2 y2 a2 .

4) Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах:

а) rcos 2, б) r 2acos , в) r2 sin2 2a2 .

5)Составить уравнение множества точек, расстояние которых от точки A 0,1 в два раза меньше расстояния от прямой y 4 0, и построить это множество.

6) Найти уравнение множества точек, разность расстояний каждой из которых от точки A 2, 2

иточки B 2,2 равна 4, и построить это множество.

7)Построить кривые, заданные в полярной системе координат уравнениями:

а) r 41 cos ;

б) r 3sin3 .

8) . Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, которая в полярной системе координат задана уравнением:

а) r	9	; б) r	9	; в) r	3	.
	4 5cos		5 4cos
					1 cos

9) . Установить соответствие между уравнениями линии в полярной и декартовой системах координат:

(1)	r 1	sin 2					(а) x	3	y 6
(2)	r 1	5tg 0					(б) x2 y2			8y
(3)	rcos					3	(в) y 6
				3

(4)r 8sin 0

(5)4 r2 sin2 0

(6)r 2 cos 3

(7)6 rsin 0

(г) x2 4 4y

(д) xy 2

(е) 3x 5y 0

(ж) 3 x 1 2 4y2 6

Поверхности второго порядка

1)Найти координаты центра и радиус сферы x2 2x y2 z2 6z 9 0.

2)Определить тип поверхности второго порядка. Сделать схематический чертеж:

	а) 100x2 225y2 36z2 900;	б) x2 y2 6z,	в) x2 2x y2 4y z2 0.
3)	Построить заданные цилиндрические поверхности: а) x2 z2 4; б) z 4 y2.
4)	Построить заданные конические поверхности: а) 2x2 y2		z2 0; б) 25x2 y2 z2.
5)	Построить тело, ограниченное указанными поверхностями:
	а) z 1 y2, x 0, z 0, x 2;	б) 2x2 y2 4y, z2 16 0.