Исследование операций / ИСО Учебник

Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу:

		1	2	0
A1		1	0	1
	=
		2	1	0

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач:

u1+u2 +u3 → min

v1 +v2 +v3

→ max

u

+u

2

+ 2u ≥1,

v

+ 2v

≤1,

1

3

1

2

2u1 +

u3 ≥1,

v1

+v3 ≤1,

u ≥1,

2v

+v

≤1,

3

1

2

u

,u

2

,u

3

≥ 0,

v ,v

,v

≥ 0.

1

1

2

3

Решим двойственную задачу с помощью симплекс-метода (табл. 2.24).

Таблица 2.24

B	C	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6	λ
Р4	0	1	1	2	0	1	0	0	1/0
Р5	0	1	1	0	1	0	1	0	1/1
Р6	0	1	2	1	0	0	0	1	1/0
	j	0	–1	–1	–1	0	0	0
Р4	0	1	1	2	0	1	0	0	1/2
Р3	1	1	1	0	1	0	1	0	1/0
Р6	0	1	2	1	0	0	0	1	1
	j	1	0	–1	0	0	1	0
Р2	1	1/2	1/2	1	0	1/2	0	0
Р3	1	1	1	0	1	0	1	0
Р6	0	0	3/2	0	0	–1/2	0	1
	j	3/2	1/2	0	0	1/2	1	0

181

Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что (v1, v2, v3) = (0; 12 ; 1), а

из соотношений двойственности — (u1, u2, u3) = ( 12 ; 1; 0). Значит, цена игры с платёжной матрицей А1 равна

w =		1	=			1	= 2	=	1	,
1	v1	+ v2 + v3			1	+1	3		u1 + u2 + u3
					2

а игры с платежной матрицей А —

w = w1 −1 = 23 −1 = − 13 .

При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид

	2				1		2						2			1			2
Х = (х1, х2, х3) = (wv1; wv2; wv3) =						;					1;			0	=			;				; 0			,
	3				2		3						3			3			3
	2						2				1		2			0;			1		;		2
Y = (y1, y2, y3) = (wu1; wu2; wu3) =				0;								;		1	=									.
	3						3				2		3						3
																							3

Принятие решений в условиях неопределенности и риска

Принятие решений, касающихся выбора стратегии поведения субъектов экономики, зачастую сталкивается с ситуациями, когда отсутствует достоверная информация о будущих состояниях среды. Однако и тогда необходимо подходить к принятию решений таким образом, чтобы снизить риск возможных негативных последствий в случае осуществления наихудшего из возможных состояний среды.

Методы принятия решений в условиях отсутствия достоверной информации о возможных последствиях изучаются теорией риска. Одна из наиболее важных сфер применения этой теории — оценка инвестиционных проектов.

182

С точки зрения принятия решений различаются основные типы моде-

лей:

1.Принятие решений в условиях определенности (когда точно известны последствия и исходы любой альтернативы или выбора решения).

2.Принятие решений в условиях риска (когда известны вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения).

3.Принятие решений в условиях неопределенности (когда не известны вероятности наступления исходов для каждого решения).

Если имеет место полная неопределенность в отношении возможности реализации состояний среды (т. е. нельзя даже приблизительно указать вероятность наступления каждого возможного исхода), то обстоятельства, с которыми мы имеем дело при выборе решения, можно представить как вид стратегической игры, в которой один игрок — человек, принимающий решения, а другой — некая объективная действительность («природа»), мотивы проявления которой нам неизвестны. Такие ситуации отличаются от задач классической теории игр, поскольку вторая сторона («природа») не имеет какихлибо интересов, что меняет подход к выбору оптимальной стратегии.

Условия игры с «природой» представляются платежной матрицей, в которой строки соответствуют стратегиям человека (обозначим их А1, А2, …, Аm), а столбцы — стратегиям природы (В1, В2,…, Вn). Элемент платежной матрицы aij, находящийся на пересечении i-й стратегии человека и j-й стратегии природы, соответствует выигрышу человека при реализации пары стратегий (Аi, Bj). Указанная платежная матрица имеет следующий вид

(табл. 2.25):

				Таблица 2.25
			…
Стратегии природы	B1	B2			Bn
Стратегии человека
			…
A1	a11	a12			a1n
A2	a21	a22	…		a2n
			…
…	…	…			…
			…
Am	am1	am2			amn
				183

Элементы платежной матрицы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. В случае, если элементы aij интерпретируются как доход, то элементы матрицы, как правило, положительны (за исключением случаев, когда при сочетании стратегий наносится убыток). Отрицательные значения элементов aij характеризуют, в основном, затраты.

При выборе решения в условиях неопределенности обычно используются критерии, рассматриваемые ниже.

Критерий Лапласа

Великий математик Лаплас рассуждал следующим образом: «Я не знаю ничего о будущих состояниях природы; поэтому я могу считать их равновероятными». Исходя из таких рассуждений, задачей человека является выбор такой стратегии, которая позволит ему максимизировать свой выигрыш.

В математическом виде критерий Лапласа записывается следующим образом:

n

max ∑(1/ n)aij . (2.42)

i j=1

Критерий Вальда

Согласно статистику и экономисту Вальду, «если мне неизвестны состояния природы, я буду поступать самым осторожным образом, из каждой строки таблицы я извлеку самый маленький результат aij и выберу строку, в которой находится наибольшее из этих чисел». В случае антагонистической игры этот критерий переходит в критерий фон Неймана; вторым игроком здесь является природа. Из этого следует, что нужно выбирать строку, для которой мы имеем

max min aij .	(2.43)
i j

184

Критерий Гурвица

Согласно Леониду Гурвицу, неразумно, приняв во внимание самый маленький выигрыш, не учитывать самый большой; следует субъективным образом ввести некоторый коэффициент оптимизма α . Пусть в данной строке α — самое маленькое число и А — самое большое. Вычислим теперь для каждой строки Н = α А + (1 –α )А и выберем строку, для которой Н принимает наибольшее значение. Математическое выражение критерия Гурвица имеет следующий вид:

			−α
H = max α min aij + (1
i		j

		(2.44)
)max aij .
j

Заметим, что для α = 0 снова получается критерий Вальда (критерий законченного пессимиста), в то время как для α = 1 критерий превращается в критерий абсолютного оптимизма.

Критерий Сэвиджа

Л. Дж. Сэвидж рекомендует для каждого из состояний природы найти наиболее благоприятный случай и вычесть соответствующее значение из всех элементов столбца, отвечающего этому состоянию. Такой подсчет дает «сожаление между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы». Величина сожаления определяется как

rij = max aij − aij .	(2.45)
i

В этом случае выбирается стратегия, при которой величина риска rij в наихудших условиях минимизируется, т.е. выбирается стратегия, для которой реализуется

maxmin rij .	(2.46)
i j

185

Пример. Предприниматель планирует построить небольшую гостиницу в парковой зоне, которая будет использоваться для отдыха и лечения. Площадка под гостиницу уже куплена за 250 000 долл., однако предприниматель не знает, сколько комнат нужно оборудовать в этой гостинице: 20, 30, 40 или 50. Обозначим количество построенных комнат как S, а возможные состояния среды (количество занятых комнат) — как R.

Решение. Определим необходимые затраты на строительство и эксплуатацию гостиницы.

1. Ежегодные затраты, не зависящие от числа построенных комнат

Благоустройство территории — 100 000 долл. Допускается, что по-

стройка и благоустройство будут длиться в течение 10 лет, указанные затраты будут также погашаться десять лет. Отсюда годовая часть затрат на первичное благоустройство составляет 10 000 долл.

Затраты па ремонт и содержание. Допускается, что затраты составляют фиксированную величину, не зависящую от числа комнат и пропорциональную важности здания. Эта фиксированная часть затрат в год равна 1500 долл.

Один ночной дежурный — 15 долл. в день. Пусть вместе с различными премиями это составляет 6 000 долл. в год.

Один служащий для уборки — 20 долл. в день. Пусть вместе с дополнительной оплатой это 8 000 долл. в год. Стоимость покупки площадки не учитывается, так как стоимость этой недвижимости полагается примерно равной капиталу, который она собой представляет, вложенному в банк с обычными процентами. Итого, общие фиксированные ежегодные затраты

25 500 долл.

186

2.Ежегодные затраты, пропорциональные числу построенных комнат,

вдолл. (табл. 2.26)

Таблица 2.26

Количество построенных комнат (S)							20	30		40		50
Постройка, благоустройство, мебли-
ровка комнат. Одна комната					стоит
4000 долл., практически амортизация							80 000	120 000		160 000		200 000
длится 10 лет, что дает при различных
предложениях
На 10 комнат полагается одна горнич-
ная; ежегодные затраты, включая до-							12 000	18 000		24 000		30 000
полнительные		расходы, составляют
6000 долл. на одну горничную
Содержание и ремонт (пропорцио-
нальная часть) — 150 долл. в год на							3 000	4 500		6 000		7 500
одну комнату
Страхование на случай пожара —							500	750		1 000		1 250
25 долл. за комнату в год
ИТОГО							95 500	143 250		191 000		238 750
3. Ежегодные		затраты,	пропорциональные					среднему числу				занятых
комнат R (табл. 2.27)										Таблица 2.27.
	Количество занятых			0	10		20	30		40		50
	комнат (R)
	Стирка, уборка —			0	18 000		36 000	54 000		72 000		90 000
	5 долл. в день на комнату
	Электричество, газ
	и вода — 5 долл. в день на			0	18 000		36 000	54 000		72 000		90 000
	комнату
	Итого			0	36 000		72 000	108 000		144 000		180 000

187

Рассмотрим теперь, как будут формироваться доходы предпринимателя от эксплуатации гостиницы. Средняя цена гостиничного номера повышенной комфортности (какие и предполагает оборудовать предприниматель) составляет 60 долл. в день. В зависимости от значений R доходы предпринимателя выражаются в следующих суммах в долл. (табл. 2.28):

					Таблица 2.28
				30
R	0	10	20		40	50
				657000
Доходы	0	219000	438000		876000	1095000

На основании представленных выше значений доходов и затрат можно получить таблицу ежегодного дохода для различных значений R и S. Доход в тыс. долл. (табл. 2.29)

						Таблица 2.29
	R=0	R=10	R=20	R=30	R=40		R=50
S=20	–121	62	245	245	245		245
S=30	–168,475	14,25	197,25	380,25	380,25		380,25
S=40	–216,5	–33,5	149,5	332,5	515,5		515,5
S=50	–264,25	–81,25	101,75	284,75	467,75		650,75

Описанная ситуация характеризуется тем, что неизвестно, сколько комнат может быть реально занято. Если принять решение о строительстве 20 комнат, то на этом предприниматель заработает 245 тыс. долл., но может потерпеть убыток в 121 000; для 30 комнат максимально возможный доход, конечно, выше, но убыток также становится большим и т.д. Как принять решение в условиях неопределенности?

Воспользуемся критериями выбора решения в условиях неопределенности, приведенными выше.

Критерий Лапласа. Согласно этому критерию предприниматель считает вероятность наступления различных значений R (0, 10, 20, 30, 40, 50) равной 1/6. При этих условиях для соответствующих значений S вероятностный доход составит:

S = 20 153,5

188

S = 30 197,25

S= 40 210,5 ←

S= 50 193, 5

Согласно этому критерию предприниматель должен выбрать S = 40. Однако гипотеза о равновероятности не совсем его удовлетворила, поскольку он не считает, что природа к нему враждебна, но все же подозревает, что вероятность среднего числа занятых комнат должна удовлетворять совсем другим законам, а не закону равных вероятностей.

При использовании критерия Вальда в нашем случае доход предпринимателя для разных значений S составит:

S = 20	–121;	←
S = 30	–168,75;
S= 40	–216,5;
S= 50	–264,25.

Выбирая S = 20, предприниматель гарантирован от убытка, превышающего 121 000 долл. Однако критерий крайнего пессимизма скорее приведет к выбору решения ничего не строить, поскольку любое помещение капитала рискованно.

Используя критерий Гурвица, предприниматель вычислил значение Н для различных значений коэффициента α (табл. 2.30):

					Таблица 2.30
	α =0,1	α =0,2	α =0,5	α =0,8	α =0,9
S=20	–84,40 ←	–47,80←	62	171,80	206,4
S=30	–113,25	–58,95	105,75	270,45	325,35
S=40	–143,30	–70,10	149,50	369,10	442,30
S=50	–172,75	–81,25	193,25←	467,75←	559,25←

189

В задаче предпринимателя преобладающее отношение пессимиста приводит к выбору S=20; наоборот, оптимистическое отношение приводит к выбору S = 50.

Для построения матрицы сожалений при использовании критерия Сэвиджа в нашем примере нужно вычесть: 121 из столбца R = 0; 62 — из столбца R=10 и т. д. В результате получим матрицу сожалений (табл. 2.31):

Таблица 2.31

	R=0	R=10	R=20	R=30	R=40	R=50
S=20	0	0	0	–135,25	–270,50	–405,75
S=30	–47,75	–47,75	–47,75	0	–135,25	–270,50
S=40	–95,50	–95,50	–95,50	–47,75	0	–135,25
S=50	–143,25	–143,25	–143,25	–95,50	–47,75	0

Минимальные значения сожаления для различных значений, соответственно, равны:

S = 20 – 405, 75;

S = 30 – 270,50;

S = 40 – 135,25;

S = 50 – 143,25.

Оказывается, что, выбирая S=40, предприниматель будет «иметь сожаление», которое не сможет превысить 135,25 (т. е. быть меньшим чем

–135,25).

В результате применения разных критериев предприниматель должен сделать выбор среди следующих различных решений:

а) согласно критерию Лапласа построить 40 комнат;

б) по критерию Вальда построить только 20 комнат;

в) следуя критерию Гурвица, принять число 20, если он пессимист, и 50, если он оптимист;

г) наконец, если применяется критерий Сэвиджа, построить 40 комнат.

190