Исследование операций / ИСО Учебник

ственной переменной ( y3* = 0), которые соответствуют характеристикам недефицитного ресурса;

—ресурс «спрос» используется не полностью, это подтверждается значением дополнительной переменной ( x6* = 6 ) и двойственной переменной ( y4* = 0), которые соответствуют характеристикам недефицитного ресурса.

61

Лекция 1.2.5. Постоптимальный анализ решения линейных моделей с использованием двойственных оценок: аналитический подход (продолжение)

Этап 2. Определение эффективности приращения запасов ресурсов

Напомним, что ранее был определен статус всех ресурсов, участвующих в производстве брюк и юбок. Дефицитными ресурсами оказались ткань и затраты труда, а недефицитными — фурнитура и спрос. Для дефицитных ресурсов представляет интерес определение величины целесообразного прироста запаса, который повлечет за собой увеличение целевой функции (в нашем случае — дохода от реализации). Для недефицитных ресурсов оценивается величина возможного снижения запаса, при котором исходное оптимальное решение сохраняется, а излишние запасы ресурсов сокращаются.

Обозначим как ε1 величину изменения запаса по дефицитному ресурсу «ткань». Тогда запас этого ресурса будет определяться выражением 42 + ε1. Нас будет интересовать в первую очередь определение величины ε1 > 0, поскольку ткань является дефицитным ресурсом. Однако с помощью аналитических таблиц симплекс-процедуры (табл. 1.9) можно выяснить также, на сколько может уменьшиться запас дефицитного ресурса, чтобы производственный процесс мог осуществиться (при возникновении, например, ситуации внезапного срыва поставок ткани).

Вспомним, что элементами столбца Р0 служат значения базисных переменных, которые по условиям исходной ситуации были определены как неотрицательные. Тогда нам нужно выяснить, при каких значениях ε1 выражения, входящие в столбец Р0 оптимальной симплекс-таблицы, будут неотрицательными. Получаем систему неравенств следующего вида:

6 + 23 ε1 ≥ 0,

12 +ε1 ≥ 0,

80 − 53 ε1 ≥ 0,

12 − 2 ε1 ≥ 0.3

62

													Таблица 2.5
							60	50	0		0		0	0
	i	базис	С баз	Р0			Р1	Р2	Р3		Р4		Р5	Р6
	1	Р3	0	42+ ε1			1,5	2	1		0		0	0
	2	Р4	0	60			3	2	0		1		0	0
	3	Р5	0	200			5	5	0		0		1	0
	4	Р6	0	18			1	0	0		0		0	1
	5			0			–60	–50	0		0		0	0
	1	Р3	0	15+ ε1			0	2	1		0		0	– 3
														2
	2	Р4	0	6			0	2	0		1		0	–3
	3	Р5	0	110			0	5	0		0		1	–5
	4	Р1	60	18			1	0	0		0		0	1
	5			1080			0	–50	0		0		0	60
	1	Р3	0	9+ ε1			0	0	1		–1		0	3
														2
	2	Р2	50	3			0	1	0		1		0	− 3
											2			2
	3	Р5	0	95			0	0	0		−	5	1	5
												2		2
	4	Р1	60	18			1	0	0		0		0	1
	5			1230			0	0	0		25		0	–25
	1	Р6	0	6+ 2 ε1			0	0	2		−	2	0	1
				3					3			3
	2	Р2	50	12+ ε1			0	1	1		−	1	0	0
												2
	3	Р5	0	80 −	5	ε1	0	0	−	5	−	5	1	0
					3					3		6
	4	Р1	60	12 −	2	ε1	1	0	−	2	2		0	0
					3					3	3
	5			1320+10ε1			0	0	10		15		0	0

63

В случае исследования возможного увеличения запаса дефицитного ресурса «ткань» мы должны рассматривать случай, когда ε1 > 0. Тогда решением указанной системы неравенств будет ε1 ≤ 18, т. е. целесообразный прирост ткани не должен превышать 18 м в сутки. Если же прирост превысит 18 м, то ткань из разряда дефицитных ресурсов перейдет в недефицитные, и оптимальное решение будет определяться величинами запасов других ресурсов.

Интервально определить величину целесообразного прироста ткани можно следующим образом: 0 < ε1 ≤ 18 или, оперируя полным объемом запаса ткани, 42 < запас ткани ≤ 60.

Определим, на сколько может снизиться запас дефицитного ресурса «ткань», чтобы производственный процесс мог осуществиться. Рассмотрим случай ε1 < 0. Тогда решением приведенной выше системы неравенств будет ε1 ≥ –9, т. е. в случае снижения запаса ткани ниже чем до уровня 33 м линейная модель швейного цеха не будет иметь решения (в силу несовместности системы ограничений).

Проведем аналогичные рассуждения по второму ресурсу — «затраты труда», который также является дефицитным. Обозначим изменение запаса этого ресурса как ε2, тогда исходный запас трудозатрат составит 60 + ε2. Проследим сформированные изменения в ходе решения симплекс-методом в табл. 1.10.

Исходя из элементов столбца Р0 оптимальной симплекс-таблицы, получим систему неравенств:

		2
6	− 3 ε2 ≥ 0,
			1
		−		ε2	≥ 0,
12			2
			5
		−		ε2	≥ 0,
80			6
			2
		+		ε2	≥ 0.
12			3

64

														Таблица 1.10
						60	50	0		0			0		0
i	базис	С	Р0			Р1	Р2	Р3		Р4			Р5		Р6
		баз
1	Р3	0	42			1,5	2	1		0			0		0
2	Р4	0	60 + ε2			3	2	0		1			0		0
3	Р5	0	200			5	5	0		0			1		0
4	Р6	0	18			1	0	0		0			0		1
5			0			–60	–50	0		0			0		0
1	Р3	0	15			0	2	1		0			0		– 3
															2
2	Р4	0	6 + ε2			0	2	0		1			0		–3
3	Р5	0	110			0	5	0		0			1		–5
4	Р1	60	18			1	0	0		0			0		1
5			1080			0	–50	0		0			0		60
1	Р3	0	9			0	0	1		–1			0		3
															2
2	Р2	50	3+ 1	ε2		0	1	0		1			0		− 3
			2							2					2
3	Р5	0	95			0	0	0		−	5		1		5
											2				2
4	Р1	60	18			1	0	0		0			0		1
5			1230+25ε2			0	0	0		25			0		-25
1	Р6	0	6 − 2 ε2			0	0	2		−	2		0		1
			3					3			3
2	Р2	50	12 −	1	ε2	0	1	1		−	1		0		0
				2							2
3	Р5	0	80 −	5	ε2	0	0	−	5	−	5		1		0
				6					3		6
4	Р1	60	12+ 2		ε2	1	0	−	2	2			0		0
			3						3	3
5			1320 +15ε2			0	0	10		15			0		0

65

При определении целесообразного прироста запаса трудозатрат (ε2 > 0) решением данной системы неравенств будет ε2 ≤ 9, т. е. увеличивать трудозатраты имеет смысл до величины 60 + 9 = 69 чел.-ч. Интервал, в котором находится целесообразное увеличение запаса трудозатрат, выглядит так:

60 < запас трудозатрат ≤ 69.

Возможное снижение трудозатрат (ε2 < 0), при котором модель будет иметь решение, определяется четвертым ограничением системы и выглядит как ε2 ≥ –18. Это означает, что объем трудозатрат, меньший чем 42 чел.-ч, не позволит выпускать готовую продукцию.

По приведенным выше расчетам, связанным с анализом дефицитных ресурсов, становится понятным формирование системы неравенств, состоящих из элементов столбца Р0, на которые наложено условие неотрицательности. Элементы столбца Р0 в симплекс-таблице, где рассматриваются возможные изменения запасов ресурсов, состоят из элементов столбца Р0 оптимальной симплекс-таблицы нахождения исходного оптимального плана, к которым добавлено произведение ε на коэффициент столбца матрицы А, соответствующего дополнительной переменной исследуемого ресурса.

Третий ресурс («фурнитура») является недефицитным, поэтому при анализе его изменения нас будет интересовать только величина возможного снижения запаса. Обозначим как ε3 величину возможного снижения запаса фурнитуры и рассмотрим случай ε3 < 0. Система неравенств выглядит следующим образом:

6 +0 ε3 ≥ 0,

12 +0 ε3 ≥0,80 +ε3 ≥0,

60 +0 ε3 ≥ 0.

Очевидно, что решение определяется третьим неравенством системы (ε3 ≥ –80) и состоит в том, что запасы фурнитуры можно снизить на 80 долл. в сутки (до уровня 120 долл.), причем это не нанесет ущерба реализации выбранной производственной стратегии (производить 12 брюк и 12 юбок).

При анализе недефицитного ресурса «спрос» (обозначим величину его целесообразного снижения как ε4, причемε4 < 0) решение будет определяться

66

ограничением-неравенством вида 6 + ε4 ≥ 0, откуда ε4 ≥ –6. Таким образом, величина спроса на брюки, даже снизившись до уровня 18 – 6 = 12 штук в сутки, не отразится на выбранной швейной фабрикой стратегии.

Следует заметить, что проведение анализа по выявлению величин целесообразного снижения запасов недефицитных ресурсов, по сути дела, повторяет сделанные ранее выводы, поскольку найденные величины являются одновременно значениями дополнительных переменных х5 и х6, которые установлены в ходе выполнения этапа 1.

Этап 3. Определение чувствительности оптимального решения к колебаниям цен готовой продукции

Как было показано выше, оптимальное решение производственной задачи швейного цеха — выпуск 12 брюк и 12 юбок в сутки, что обеспечивало цеху получение дохода равного 1320 долл. Рассмотрим, как будет меняться это оптимальное решение, если на рынке будут происходить колебания цен на юбки и брюки.

Обозначим как τ1 величину изменения цены на брюки, причем τ1 может быть как ≤ 0, так и ≥ 0 , поскольку рассматривается как возможное повышение, так и понижение цены на рынке. Определим интервал колебания цены на брюки, при котором найденный ранее оптимальный план сохранит свою устойчивость. Окончательное выражение для цены на брюки с учетом возможных колебаний примет вид: с1 +τ1 или 60 +τ1 . Проследим, как это изменение отразится на таблице симплекс-процедуры (табл. 1.11).

Поскольку цены готовой продукции участвуют в формировании величин оценочной строки, то для сохранения устойчивости исходного оптимального решения необходимо, чтобы все значения оценок j были неотри-

цательны (по критерию оптимальности симплекс-метода).

67

															Таблица 1.11
					60	50		0			0				0	0
	i	базис	С баз	Р0	Р1	Р2		Р3				Р4			Р5	Р6
	1	Р6	0	6	0	0		2				−	2		0	1
								3					3
	2	Р2	50	12	0	1		1				−	1		0	0
													2
	3	Р5	0	80	0	0		−	5			−	5		1	0
									3				6
	4	Р1	60 +τ1	12	1	0		−	2		2				0	0
									3		3
	5			1320	0	0		10 –	2	τ1	15 +		2	τ1	0	0
									3				3
	Оценки 1 , 2 ,			5 , 6 равны нулю,				поэтому нас будут интересовать
только		3 и 4 . Получим систему неравенств

10 − 23τ1 ≥ 0,

15 + 2τ1≥ 0.3

Рассмотрим, когда цена на брюки повышается (τ1 > 0 ). В этом случае решением указанной системы неравенств будет τ1 ≤15. В случае понижения цены на брюки (τ1 < 0) решением системы неравенств будет τ1 ≥ −22,5. Окончательный интервал возможного колебания цен на брюки выглядит следующим образом: − 22,5 ≤τ1 ≤15 или 37,5 ≤ с1 ≤ 75. Интерпретация найденного интервала колебания цен на брюки состоит в том, что если рыночная цена на брюки колеблется в указанных пределах, то швейный цех может попрежнему производить 12 брюк и 12 юбок, что обеспечит ему максимальный суточный доход (величина которого будет отличаться от исходной, но будет наибольшей среди возможных). Как только цена на брюки станет ниже чем 37,5 долл. или выше чем 75 долл., швейному цеху необходимо будет пере-

68

смотреть суточную производственную программу, поскольку прежняя уже не будет обеспечивать максимального дохода. Следует пояснить, что интервальное неравенство рассматривается именно как нестрогое, поскольку в случае равенства цены на брюки в 37,5 долл. или в 75 долл. возникает ситуация неединственности решения (в геометрической интерпретации это одна из граней многоугольника решений), когда исходный план (производить 12 юбок и 12 брюк) сохраняет свой статус как один из возможных оптимальных.

Аналогичным образом определим интервал возможного колебания рыночной цены на юбки. Обозначим как τ2 величину возможного изменения рыночной цены, причем τ2 может быть как ≤ 0, так и ≥ 0 . Тогда выражение

для цены на юбки будет иметь вид: с2 +τ2 или 50+τ2 .

Рассмотрим изменения в последней (оптимальной) симплекс-таблице, если цена на юбки определяется как 50+τ2 (табл. 1.12).

Следуя приведенным выше рассуждениям, когда анализировалась рыночная цена брюк, построим систему неравенств:

10 +τ2 ≥ 0,

15 − 1τ 2≥ 0.2

Рассмотрим, когда цена на юбки повышается (τ2 > 0 ). В этом случае решением указанной системы неравенств будет τ2 ≤ 30. В случае понижения цены на юбки (τ2 < 0) решением системы неравенств будет τ2 ≥ −10 . Окончательный интервал возможного колебания цен на юбки выглядит следующим образом: −10 ≤τ2 ≤ 30 или 40 ≤ с2 ≤80. Интерпретация найденного интервала колебания цен на юбки аналогична предыдущим рассуждениям: если рыночная цена на юбки колеблется в указанных пределах, то швейный цех может по-прежнему производить 12 брюк и 12 юбок, что обеспечит ему максимальный суточный доход (величина которого будет отличаться от исходной, но будет наибольшей среди возможных). Как только цена на юбки станет ниже чем 40 долл. или выше чем 80 долл., швейному цеху необходимо будет пересмотреть суточную производственную программу, поскольку прежняя уже не будет обеспечивать максимального дохода. Здесь также ин-

69

тервальное неравенство рассматривается как нестрогое, поскольку в случае равенства цены на юбки крайним значениям интервала исходный план (производить 12 юбок и 12 брюк) сохраняет свой статус как один из возможных оптимальных.

											Таблица 1.12
				60	50	0		0			0	0
i	базис	С баз	Р0	Р1	Р2	Р3		Р4			Р5	Р6
1	Р6	0	6	0	0	2		−	2		0	1
						3			3
2	Р2	50 +τ2	12	0	1	1		−	1		0	0
									2
3	Р5	0	80	0	0	−	5	−	5		1	0
							3		6
4	Р1	60	12	1	0	−	2	2			0	0
							3	3
5			1320	0	0	10+τ2		15 –	1	τ2	0	0
									2

Следует обратить внимание на то, что в построении системы неравенств каждый раз использовались математические выражения оценок, где неизменной оставалась составляющая, не связанная с τ1 (или τ2 ), а добавля-

лась компонента, состоящая из произведения τ1 (или τ2 ) на коэффициент, соответствующий данному виду производственной деятельности (пошив брюк или юбок) в матрице А оптимальной симплекс-таблицы. При понимании этого факта единственно необходимой информацией для проведения постоптимального анализа является только и единственно расчетная таблица симплекс-процедуры.

70