Билет 1

Вероятностным пространством называется тройка, где

• - произвольное множество (элементарных исходов),--алгебра подмножеств(события),- вероятностная мера на

Пространство элементарных событий-— множество Ω всех различных исходов случайного эксперимента. Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:Р(А + В)=Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А+В)=Р (А) + Р (В)-Р (АВ).

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, составляющих полную группу, равна единице:

Р(А) + Р(В) + ... + Р(N)=1,где события А, В, ..., N образуют полную группу.

Следствие 2. Вероятность события, противоположного А, равна единице минус вероятность события А: P(-А) = 1 - P(A).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В).

в частности, для независимых событий

Р(АВ)=Р(А)*Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Аксиомы -алгебры

Пусть Ω — множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а — множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями, а Ω — пространством элементарных событий.

Аксиома I (алгебра событий). является алгеброй событий.

Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.

Аксиома III (нормировка вероятности). .

Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

Совокупность объектов , удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством

Аксиомы вероятностей

Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое

его вероятностью и удовлетворяющее условию.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:P(A+B)=P(A)+P(B) (1)

Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то(2)

Билет 2

Классическое определение вероятности.

Вероятность случайного события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов.

Вероятность случайного события A обозначается P(A).

P(A) =,

где m - число элементарных исходов благоприятствующих событию A,

n - общее число элементарных исходов.

Правило суммы для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В – другими m способами, то выбор «или А, или В» можно осуществить n+m способами.

Правило произведения для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами и после этого действия объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары объектов (А, В) можно осуществить способами.

Число сочетаний из n по k элементов определяется следующей формулой:

Число размещений из n по k элементов определяется следующей формулой:

Для того, чтобы вычислить число перестановок, подставим k=n в формулу для нахождения размещений из n по n элементов:

Дискретное вероятностное пространство

Пусть - счетное множество, то есть, бесконечное множество, элементы которого могут быть занумерованы натуральными числами:

а функция , зависящая от, удовлетворяет следующим условиям:

,

В этом случае говорят, что - счетное вероятностное пространство.

Согласно геометрическому определению, вероятность случайного события А равна отношению меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.