2. Определение напряжений в грунтовом массиве от действия местной нагрузки на его поверхности

Действие равномерно распределенной нагрузки [38] в условиях пространственной задачи возникает тогда, когда к поверхности линейно деформируемого полупространства приложена местная нагрузка, распределенная по площади квадрата, прямоугольника, круга, эллипса и др. Значения вертикальных сжимающих напряжений σ_z в любой точке полупространства от действия нагрузки интенсивностью р, равномерно распределенной по площади прямоугольника размером l x b, были впервые получены А. Лявом. Практический интерес представляют значения сжимающих напряжений , проведенных из центра σ_zО и из углов σ_zС загруженной площади (рис. 3).

,

где α – определяется по прил. К, в зависимости от величин n = l/b и m = 2·z/b (l – длинная сторона, b – короткая сторона прямоугольника загружения, z – расстояние от точки до поверхности приложения нагрузки).

,

где α – определяется по прил. Л, в зависимости от величин n = l/b и m = z/b.

Рис. 3. Расчетная схема для определения сжимающих напряжений

под центром и под углом прямоугольника с равномерно распределенной нагрузкой

Для определения сжимающих напряжений в любой точке полупространства М применяют метод угловых точек, используя формулу

.

На рис. 4 представлены различные варианты расположения точки М. В методе угловых точек всегда принимают l ≥ b.

На рис. 4 а и б точка М расположена в пределах площади загружения. Для этих случаев площадь загрузки разбивают, соответственно, на два и четыре прямоугольника так, чтобы точка М была угловой точкой для каждого из них. Тогда напряжение σ_zМ находят суммированием напряжений под угловыми точками площадей загружения. Соответственно для первого и второго случаев

и .

Рис. 4. Схема для расчета напряжений методом угловых точек

На рис. 4 в точка М расположена вне пределов площади загружения. Для данного случая точку М можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения I и II, при этом в пределах площадей III и IV фиктивная нагрузка прикладывается в обратном направлении. Напряжение σ_zМ определяется по выражению

.

Пример 4. Определить напряжение в точке М от распределенной нагрузки, интенсивностью р = 2 кг/см², при b = 1,5 м, l = 3 м, z = 3 м, а₁ = а₂ = 1,5 м. Расчетная схема представлена на рис. 5 а.

По методу угловых точек загруженную площадь делим на два прямоугольника таким образом, чтобы точка М попадала в угол каждого из них (рис. 5 а).

Рис. 5. Расчетные схемы

Далее определяем коэффициенты α для каждого из прямоугольников как функцию значений n и m (прил. Л), учитывая, что прямоугольник 1 и прямоугольник 2 равны (рис. 5 а).

.

Напряжение в точке М определяем как сумму напряжений от прямоугольников 1 и 2, учитывая, что эти прямоугольники равны (рис. 5 а).

кг/см².

Пример 5. Определить напряжение в точке М от распределенной нагрузки, интенсивностью р = 2 кг/см², при b = 3 м, l = 3 м, z = 3 м, а₁ = а₂ = 1,5 м. Расчетная схема представлена на рис. 5 б.

Точка М находится под центром большого (загруженного) и малого (незагруженного) прямоугольников (рис. 5 б).

Далее определяем коэффициенты α для большого и малого прямоугольников как функцию значений n и m (прил. Л).

,

.

Напряжение в точке М, определяем как разность напряжений большого прямоугольника (с фиктивной загрузкой от малого прямоугольника) и малого прямоугольника (фиктивной загрузки) (рис. 5 б):

кг/см².