3

1. Программа курса

Программа курса "Математические основы теории систем" предусматривает ознакомление студентов с основными понятиями и определениями систем автоматического управления, математического описания объектов управления и исследования систем.

Настоящая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего и профессионального образования по специальности 180400 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», утвержденного Государственным Комитетом РФ по высшему образованию от 27.03.2000 г.

Распределение времени при изучении курса

В соответствии с учебным графиком заочного обучения по специальности 180400, утвержденного проректором ВятГУ по учебной работе26.11.99 г., на изучение курса отводится следующее время.

Курс "Математические основы теории систем":

Очные виды занятий
Зимняя сессия: всего	4 часов:
в т.ч. лекций	4 часов;
Летняя сессия: всего	12 часов;
в т.ч. лекций	6 часов;
практических занятий	6 часов.

Самостоятельная подготовка 80 часов , в т.ч. контрольная работа №1 – 10 часов.

Зачёт –1.

2. Библиографический список

1.Математические основы теории автоматического регулирования: Учебное пособие /Под ред. Б.К.Чемоданова.- М.: Высш. шк., 1971. – 808 с.

2.Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1989. – 304 с.

3.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисле-

ние. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

4.Плис А.И. MathCAD: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999.- 656 с.

3.Содержание курса, методические указания

ивопросы самопроверки

Тема 1. Элементы матричного исчисления и линейной алгебры

Числовые матрицы и действия с ними. Определители. Ранг матрицы. Обратная матрица. Понятие о функциональных матрицах. Векторно-матричная за-

4

пись дифференциальных уравнений. Системы линейных уравнений, метод Гаусса. Правило Крамера. Линейные пространства, размерность и базис линейного пространства. Линейные преобразования линейных пространств. Собственные числа и векторы. Приведение матриц к диагональному виду. Квадратичные формы, их канонический вид, положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Литература: [1, с. 7-99].

Вопросы для самопроверки

1.Числовые матрицы и действия над ними. Свойства матриц.

2.Что такое определитель, и его свойства?

3.Ранг матрицы. Обратная матрица.

4.Функциональные матрицы и их векторно-матричная запись.

5.Как получается линейная система уравнений, как она решается методом Крамера и методом Гаусса?

6.Что понимается под линейным пространством, его размерностью и базисом?

7.Как определяются собственные векторы и собственные числа?

8.Определение и основные свойства квадратичной формы.

9.Канонический вид квадратичной формы.

10.Чем определяется знак квадратичной формы?

Тема 2. Основы теории дифференциальных уравнений

Общие сведения. Нормальная система дифференциальных уравнений. Общее решение линейной однородной системы. Определитель Вронского и формула Лиувилля. Линейная неоднородная система. Общее решение линейной неоднородной системы. Формула Коши. Метод вариации произвольных постоянных. Понижение порядка линейной однородной системы. Нормальная линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами. Фундаментальная матрица однородной системы. Нормальная линейная неоднороодная система уравнений с постоянными коэффициентами. Некоторые методы решения нелинейных дифференциальных уравнений: метод последовательных приближений, метод ломаных Эйлера и метод фазовой плоскости. Фазовые пространства автономных систем и их геометрическая интерпретация. Фазовые траектории автономных систем второго порядка.

Литература: [1, с. 100-186], [3, с. 15-202].

Вопросы для самопроверки

1.Дифференциальные уравнения, их геометрическая интерпретация.

2.Как записывается нормальная система дифференциальных уравнений?

3.Как записывается общее решение линейной однородной системы?

4.Как выглядит определитель Вронского, формула Лиувилля?

5.В чём заключается метод вариации произвольных постоянных?

6.В чём суть метода Коши?

7.Какой вид имеет фундаментальная матрица однородной системы?

8.Как записывается общее решение линейной неоднородной системы?

5

9.В чём суть методов решения нелинейных дифференциальных уравнений?

10.Как выглядят фазовые пространства автономных систем?

11.От чего зависит вид фазовых траекторий?

Тема 3.Элементы теории функции комплексного переменного

Комплексные числа и действия над ними. Понятие функции комплексного переменного. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Производные высших порядков. Функциональные ряды, теорема Вейерштрасса. Ряды Тейлора и Лорана, особые точки. Понятие о вычете. Теорема о вычетах, применение вычетов.

Литература: [1, с. 273-350].

Вопросы для самопроверки

1.Что такое комплексные числа и действия над ними?

2.Что включается в понятие функции комплексного переменного?

3.Как вычисляется производная?

4.Как выглядят условия Коши-Римана?

5.Как берется интеграл от функции комплексного переменного?

6.Как выглядит формула Коши и производная высших порядков?

7.Как раскладывается функция комплексного переменного в ряд Тейлора

ив ряд Лорана?

8.Что положено в основу классификации особых точек? Как зависит разложение в ряд Лорана?

9.Как зависит вычет от полюса?

10.Какие способы служат для вычисления вычета?

Тема 4. Спектральный анализ

Ряды Фурье. Гармонический анализ. Понятие о спектрах. Интеграл Фурье, комплексная форма ряда и интеграла Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье: спектральная характеристика суммы, производной и интеграла; спектральная характеристика смещённой функции, сжатие и растяжение функции; умножение спектральных характеристик, спектральная характеристика произведения функций. Спектральные характеристики единичной ступенчатой функции и дельта-функции. Гармонические колебания.

Литература: [1, с. 351-423].

Вопросы для самопроверки

1.Что такое "гармоника" функции?

2.Как раскладывается в ряд Фурье функция в интервале (0,π) и функция с периодом Т?

3.Каков вид ряда Фурье в комплексной форме?

4.Понятие о спектрах.

6

5.Что такое предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье?

6.Как выглядит комплексная форма интеграла Фурье?

7.Каков вид прямого и обратного преобразования Фурье?

8.Каковы характеристики имеет преобразование Фурье?

9.Какова характеристика единичной ступенчатой функции, дельтафункции?

Тема 5. Операционное исчисление

Основные понятия. Интеграл Лапласа. Понятие "оригинала" и "изображения". Формула обращения. Свойства преобразования Лапласа: линейность преобразования, дифференцирование и интегрирование оригинала; смещение в области оригиналов и в области изображений, изменение масштаба; умножение в комплексной и действительной областях; дифференцирование и интегрирование изображений. Зависимость вида изображения от начального и предельного значения оригинала. Таблица оригиналов и изображений. Определение оригинала по изображению. Решение линейных дифференциальных уравнений. Уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с переменными коэффициентами. Передаточные функции и частотные характеристики системы. Определение процесса регулирования.

Литература: [1, с. 461-515].

Вопросы для самопроверки

1.Что называется "оригиналом" и "изображением"?

2.С помощью чего устанавливается соответствие между функцией и её изображением?

3.Для чего применяется формула обращения?

4.В чём проявляется свойство линейности преобразования, дифференцирования и интегрирования оригинала?

5.Как выглядит смещение в области оригиналов и в области изображений?

6.В чём заключается дифференцирование и интегрирование изображений?

7.По чему можно судить о поведении оригинала при t=0 и при t→∞?

8.Как определяется оригинал по изображению?

9.В чём суть решения линейных дифференциальных уравнений?

Тема 6. Управляемость и наблюдаемость

Особенности многомерных систем автоматического управления. Внутренние и внешние связи. Динамическая система электропривода с перекрёстными связями в механических цепях. Исследование многомерных систем. Метод обратных задач динамики. Частотные методы для многомерных систем. Понятие управляемости и наблюдаемости систем. Теорема Калмана. Оценивание координат состояния систем. Наблюдатель.

Литература: [2, с. 189-225].

Вопросы для самопроверки