12

Билет 12 Выпуклая линейная комбинация системы векторов. Теорема о совпадении множества точек ограниченного n-мерного многогранника с множеством выпуклых линейных комбинаций его угловых точек (формулировка).

Пусть x1, x 2, …, xS - векторы, t1 ,t2, … ,tS - некоторые числа.

Условия: 1) ti > = 0

2) ti = 1

тогда Y = ti xi называется выпуклой линейной комбинацией данной системы векторов.

Пример: Y = 1/3 x1 + 5/6 x2 + ½ x3 - линейная, но не выпуклая лин. комбинация. Не является, т.к. сумма чисел больше единицы.

Теорема:

Множество точек ограниченного выпуклого многогранника совпадает с множеством выпуклых линейных комбинаций его угловых точек.

Пояснение: теорема содержит 2 утверждения:

1) если x1, x 2, …, xS - угловые точки ограниченного многогранника М, то любую точку х этого многогранника мы можем представить в виде:

x= (4)

при этом t_i ≥0

(5)

2) если для некот. т. х выполняются (4) и (5), то т. х – принадлежит многограннику М.

Содержание теоремы:

Говорят, что многогранник порождается своими угловыми точками.