11

Билет 11

Свойства частных решений линейного однородного уравнения

Теорема 1

Если функция у₁ есть решение линейного однородного уравнения y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y^(n-1)+

+p₂(x)y^(n-2)+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=0 (1) ,т.е. L(y₁)=0, то функция Cy_1, где C-произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

Доказательство

По свойству однородности линейного оператора

L(Cy₁)=C*L(y₁)

Но, по условию теоремы, L(y₁)=0, поэтому L(Cy₁)=0, а это означает, что Cy₁ есть решение уравнения (1).

Теорема 2 Если функции y₁ и y₂ – решения уравнения (1), то их сумма y=y₁+y₂ тоже является решением уравнения (1).

Доказательство

По свойству аддитивности оператора

L(y₁+y₂)= L(y₁)+L(y₂).

По условию теоремы L(y₁)≡ 0, L(y₂) ≡0.

Поэтому L(y₁+y₂) ≡0, т.е. функция y₁+y₂ –решение уравнения (1)

Теорема 3

Если функции y₁, y₂, … , y_n – решения уравнения (1), то их линейная комбинация

Y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n ,

Где C₁,C₂, …, C_n – произвольные постоянные, тоже является решением уравнения (1)

Доказательство

По теореме 1 каждая из функций C₁y₁, C₂y₂, … , C_ny_n – является решением уравнения (1)

По теореме 2 функция y₁=C₁y₁+C₂y₂ есть решение уравнения (1), функция y₂=y₁+C₃y₃ – решение уравнения (1) и т.

2.Формула Грина

Эта формула устанавливает связь между двойным интегралом по плоской области D и криволинейным интегралом по границе этой области.

Теорема.

Пусть D – простая область, ограниченная замкнутым контуром Г. В области D заданы функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывные и имеющие непрерывные частные производные

и . Тогда справедлива формула

(1)

При этом контур Г проходит в положительном направлении.

Доказательство

Рассмотрим сначала область D, правильную вдоль оси Oy (рис2) и укажем, что

(2)

Двойной интеграл преобразуем в повторный и выполним внутреннее интегрирование.

(3)

Каждый из двух определенных интегралов правой части формулы (3) можно рассматривать как криволинейный интеграл по соответствующей дуге

(4)

(5)

Заметим, что (6)

Так как вдоль вертикальных отрезков dx=0

Учитывая равенства (4),(5),(6), из равенства (3) получим

Формула (2) справедлива и для любой области, которую можно разложить на конечное число областей, правильных вдоль оси Oy. Аналогично можно доказать, что

(7)

Для области D, правильной вдоль оси Ox, и, следовательно, для любой области, которую можно разложить на конечное число областей, правильных вдоль оси Ox.

Пусть область D такова, что ее можно разложить как на конечное число областей, правильных вдоль оси Oy, так и, независимо от этого, на конечное число областей, правильных вдоль оси Ox. Будем называть такую область D простой. Для простой области справедливы, как это доказано, формулы (2) и (7). Складывая эти формулы, получим формулу (1)