20.3. Предельные издержки и переменные издержки

Между различными кривыми издержек существуют и некоторые другие взаимосвязи. Вот одна из них, не столь уж очевидная: оказывается, площадь под кривой предельных издержек вплоть до точки y дает нам величину переменных издержек производства y единиц выпуска. Почему это так?

Кривая предельных издержек показывает издержки производства каждой дополнительной единицы выпуска. Сложив друг с другом издержки производства каждой единицы выпуска, получим общие издержки производства за вычетом постоянных издержек.

Эту аргументацию можно сделать строгой для случая, когда выпускаемый товар производится в дискретных (состоящих из отдельных неделимых единиц) количествах. Во-первых, отметим, что

c_v(y) = [c_v(y) — c_v(y — 1)] + [c_v(y — 1) — c_v(y — 2)] +

 + [c_v(1) — c_v(0)].

Это справедливо, поскольку c_v(0) = 012 и все средние члены сокращаются: второй член взаимно уничтожается с третьим, четвертый член с пятым и т.д. Но каждый член этой суммы представляет собой предельные издержки при различных объемах выпуска:

c_v(y) = MC(y — 1) + MC(y — 2) +  + MC(0)

Таким образом, каждый член этой суммы представляет собой площадь прямоугольника с высотой MC(y) и основанием 1. Суммирование всех этих прямоугольников дает, как показано на рис.20.3, площадь под кривой предельных издержек.

Рис. 20.3

Предельные издержки и средние переменные издержки. Площадь под кривой предельных издержек дает переменные издержки.

ПРИМЕР: Конкретные виды кривых издержек

Рассмотрим функцию издержек c(y) = у² + 11314. Имеем следующие производные от нее кривые издержек:

• кривая переменных издержек: c_v(y) = у² 15

• кривая постоянных издержек: c_f(y) = 1 16

• кривая средних переменных издержек: AVC(y) = у²/y = y17

• кривая средних постоянных издержек: AFC(y) = 1/y 18

• кривая средних издержек: 19

• кривая предельных издержек: MC(y) = 2у. 20

Все эти формулы очевидны, за исключением последней, которая тоже очевидна, если вы знакомы с дифференциальным исчислением. Если функция издержек есть c(y) = у² + F21, то функция предельных издержек задана выражением MC(y) = 2y. Если вам этот факт еще не известен, то запомните его, поскольку придется его использовать в упражнениях.

Как выглядят эти кривые? Самый легкий способ их изобразить состоит в том, чтобы вначале нарисовать кривую средних переменных издержек, представляющую собой прямую линию с наклоном 1. Нетрудно нарисовать также кривую предельных издержек, которая является прямой линией с наклоном 2.

Кривая средних издержек достигает минимума в точке, где средние издержки равны предельным, что записывается в виде уравнения

22,

решив которое, получаем y_min = 123. При y = 1 средние издержки равны 2, и этому равны также и предельные издержки. Итоговый результат показан на рис.20.4.

Кривые издержек. Кривые издержек для функции c(y) = у^2 + 124.

Рис. 20.4

ПРИМЕР: Кривые предельных издержек для двух заводов

Предположим, что у вас имеются два завода с двумя различными функциями издержек c₁(y₁)25 и c₂(y₂)26. Вы хотите произвести y единиц выпуска самым дешевым способом. Вообще говоря, вы хотите произвести одинаковый объем выпуска на каждом заводе. Вопрос: какой именно объем выпуска вы должны произвести на каждом заводе?

Сформулируем задачу минимизации:

min c₁(y₁) + c₂(y₂) 27

y₁, y₂ 28

при y₁ + y₂ = y. 29

Как можно ее решить? Оказывается, при оптимальном разделении выпуска между двумя заводами должно соблюдаться равенство предельных издержек производства выпуска на заводе 1 предельным издержкам производства выпуска на заводе 2. Чтобы доказать это, допустим, что предельные издержки не равны; тогда выгодно перебросить небольшой объем производства с завода с более высокими предельными издержками на завод с более низкими предельными издержками. Если разделение выпуска оптимально, то переключение выпуска с одного завода на другой не может снизить издержки.

A B C

Рис. 20.5

Предельные издержки для фирмы с двумя заводами. Кривая совокупных предельных издержек, показанная справа, есть результат суммирования по горизонтали кривых предельных издержек для двух заводов, показанных слева.

Обозначим через c(y) функцию издержек, соответствующую самому дешевому способу производства y единиц выпуска, а именно, издержки производства y единиц выпуска при условии оптимального разделения выпуска между двумя заводами. Предельные издержки производства добавочной единицы выпуска должны быть одинаковы независимо от того, на каком из заводов ее производят.

На рис.20.5 изображены две кривые предельных издержек MC₁(y₁)30 и MC₂(y₂)31. Кривая предельных издержек для двух заводов, взятых вместе, как показано на рис.20.5C, есть просто результат суммирования по горизонтали этих двух кривых предельных издержек.

При любом постоянном уровне предельных издержек, скажем c, мы будем производить такие объемы выпуска 32 и33, которые соответствуют равенствуMC₁()= MC₁() =c34, и, таким образом, мы произведем +35 единиц выпуска. Следовательно, объем выпуска, произведенный при любых предельных издержкахc, есть просто сумма выпусков, произведенных при условии, что и предельные издержки завода 1, и предельные издержки завода 2 равны c, т.е.,результату суммирования по горизонтали кривых предельных издержек.