Lektsii_zubova_1
.pdfНабрал Бабичев Дмитрий©
Огромная просьба, о замеченных опечатках сообщать. По возможности формулировать в стиле - какая-то страница, какая-
то строчка, вместо того-то нужно писать что-то. Более того некоторые места написаны не совсем понятно, так что если
у вас есть что добавить, то пишите тоже. Вместе у нас полу-
чатся действительно качественно проверенные лекции. Также есть хорошая программа, в которой можно рисовать отлич-
ные рисунки. Она тут же в архиве должна лежать. Если будет время и желание, просьба нарисовать эскизы. Это совсем
не сложно, и лекции станут более понятными. Так как это распространится довольно широко, оставляю свою аську для
обратной связи: 494103934.
1
Уравнения математической физики.
Теория некоторых задач с частными производными. Типы уравнений:
1. Гиперболические уравнения (уравнения колебаний)
utt = a2uxx + f (t, x), x R1 - малые колебания струны, стержня.
utt = a2(uxx + uyy) + f (t, x, y) (x, y) R2 - двумерное уравнение колебаний мембраны.
utt = a2(uxx + uyy + uzz) + f (t, x, y, z) (x, y, z) R3
2. Параболические уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ut = a2∆u + f (t, x), x = (x1, . . . , xn) Rn - уравнение теплопроводности. |
|
|
|
||||||||||
3. Эллиптические уравнения (описывают стационарные процессы) |
|
|
|
||||||||||
∆u = f (x) - уравнение Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
Обозначения : α1, . . . , αn - целые, неотрицательные числа: |
αk > 0, k = |
1, n |
|
||||||||||
мультииндекс α = (α1, . . . , αn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|α| = α1 + . . . + αn - модуль мультииндекса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Dj = |
∂ |
; |
Dαj = |
∂αj |
; Dαu = |
∂α1 |
. . . |
∂αn |
= |
|
∂|α| |
||
|
∂xαj |
|
∂xnαn |
∂xα1 |
. . . ∂xnαn |
||||||||
|
∂xj |
j |
|
∂xα1 |
|
||||||||
|
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Ck(Ω) - множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых на множестве Ω :
Dαu C(Ω), |α| 6 k
Ω - çàìûкание области Ω
ïîä Ck(Ω) - понимаем подмножество таких, допускающих непрерывное продолжение себя и производных на границу области.
I Классификация уравнений Приведение к каноническому виду в точке.
Пусть Ω Rn - область.
n |
|
∂2u |
|
|
|
|
|
aij(x) |
|
|
+ F(x, u, u) = 0, x Rn |
(1) |
|
|
∂xi∂xj |
|
||||
старшая |
|
|
| {z } |
|
||
i∑,j |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
младшая |
|
| |
{z |
} |
|
|||
|
|
Дифференциальное уравнение с частными производными 2 порядка, с линейной старшей частью, где aij(x) не зависит от u
aij C(Ω) u(x) C2(Ω)
Пусть u − решение (1), тогда
∂2u |
= |
∂2u |
∂xi∂xj |
∂xj∂xj |
Можно сделать матрицу симметричной, то есть aij(x) = aji(x)
Надо постараться найти замену переменных, чтобы исключить смешанные производные.
Пусть x0 = (x01, . . . , x0n) Ω Пусть y = y(x):
|
.y.1. = y1(x1, . . . , xn) |
|
yn = yn(x1, . . . , xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ищем замену C2(u(x0)) Должно быть невырожденным.
2
|
|
.x.1.= x1(y1, . . . , yn) |
|
2 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn = xn(y1, . . . , yn) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это так называемый |
|
|
|
|
в окрестности |
|
íà |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
(v(y )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
диффеоморфизм класса |
C |
|
|
|
|
|
U(x ) |
|
V(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим uˆ(y) , u[x(y)] = u[x1(y1, ..., yn), ..., xn(y1, ..., yn)] |
|
uˆ(y) C2(v(y0 |
|||||||||||||||||||||
u(x) = uˆ[y(x)] = uˆ[y1(x1, . . . , xn), . . . , yn(x1, . . . , xn)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
∑ |
∂yk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂uˆ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂xi |
= |
|
k=1 |
∂yk |
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k∑l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
||||
|
∂2u |
n |
|
∂2uˆ |
|
∂yk ∂yl |
|
|
n |
|
∂uˆ |
|
∂2 yk |
||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||
|
∂xi∂xj |
|
∂yk∂yl |
∂xi |
|
∂xj |
|
|
|
∂yk |
|
∂xi∂xj |
|
||||||||||
|
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|||
Отсюда, подставляя в (1), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n n |
|
∂yk ∂yl |
|
∂2uˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
k,l=1 [i,j=1 aij(x(y)) |
∂xi |
∂xj |
] |
|
∂yk∂yl |
+ Fˆ(y, uˆ, uˆ) = 0 |
|||||||||||||||||
| |
|
|
{z |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
))
( )
aˆkl(y)
Попытаемся привести к диагональному виду.
|
a11(x0) . . . a1n(x0) |
|
||||
A(x0) = |
. |
.. |
|
|
. |
|
. |
. |
|
. |
|
||
. |
|
|
. |
|
||
|
an1(x0) . . . ann(x0) |
|
||||
|
|
∂y1 |
(x0) . . . |
|||
|
|
|
||||
|
|
∂x1 |
|
|
||
|
J(x0) = |
|
. |
.. |
|
|
|
|
. |
. |
|||
|
|
. |
|
∂yn (x0) . . .
∂x1
|
|
|
|
aˆ11(y0) . . . aˆ1n(y0) |
|||
|
ˆ |
|
|
. |
.. |
|
. |
|
|
|
. |
. |
. |
||
|
A(y0) = |
. |
|
. |
|||
|
|
|
|
aˆn1(y0) . . . |
aˆnn(y0) |
||
∂y1 |
(x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
. |
− |
Матрица Якоби |
|
||||
. |
|
||||||
. |
|
|
|
|
|
∂yn (x0)
∂xn
Åñëè det J(x0) , 0, то преобразование не вырождено. В малой окрестности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
)dx; |
dy = |
. |
; |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = J(x |
. |
dx = . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn |
|
dxn |
ˆ 0 |
|
0 |
0 |
)J |
T |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
A(y |
) = J(x |
)A(x |
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
T |
|
|
ˆ |
0 |
) |
тоже симметричная. |
|
|
|
|||
A(x |
) = A |
(x0) A(y |
|
|
|
|
|
|
[JT(x0)]T A(x0) [JT(x0)] = STA(x0)S
| {z }
S
Некоторые сведения из аналитической геометрии: Пусть есть квадратичная форма Φ(h), и два базиса в Rn.
|
ξ1 |
|
c11 . . . |
c1n |
|
||
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
ξ |
. |
|
. .. |
. |
. |
η = |
|
= . |
|
C = . |
|
. |
|||
| |
ξn |
|
cn1 . . . |
cnn |
| |
||
|
â |
{z |
|
|
} |
||
|
|
|
первом базисе |
|
|
|
|
η1 |
|
cˆ11 . . . |
cˆ1n |
|
|
. |
ˆ |
. |
|
. |
|
. |
. .. |
. |
. |
ξ = Sη |
|
. |
C = |
. |
. |
ηn |
cˆn1 . . . |
cˆnn |
âî |
{z |
} |
|
втором базисе |
|
T |
T ˆ |
T |
|
|
T |
T |
T ˆ |
T |
ˆ |
Φ(h) = ξ |
Cξ = η Cη = (Sη) |
C(Sη) = η |
S |
CSη = η Cη S |
CS = C |
||||
Существует такой базис, что |
ˆ |
будет диагональной, и болле того: |
|||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
3
+1 |
|
|
|
|
|
|
|{z} |
+1 |
|
|
|
|
|
1 |
|{z} |
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
2 |
2 2 |
2 |
|
|
p |
− |
|
|
|
|
C = |
|
1 |
Φ(h) = η1 |
|
|
|
|
|{z} |
+ . . . + ηp − ηp+1 |
− . . . − ηp+q |
|||
|
|
p+1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|{z} |
0 |
|
|
|
|
|
p+q |
|
|
|
Алгоритм:
∑n
1)Φ(h) = ξTA(x0)ξ = aij(x0)ξiξj
i,j=1
2)Находим S.
3)JT(x0) = S, находим J(x0)
4)y = y0 + ST(x − x0) - линейное преобразование
∂2uˆ |
+ . . . + |
∂2uˆ |
− |
∂2uˆ |
∂y12 |
∂yp2 |
∂yp2+1 |
0
− |
∂2uˆ |
ˆ |
, uˆ) = 0 |
∂yp2+q |
+ F(y, uˆ |
- канонический вид уравнения в точке. В окрестности в общем случае привести к каноническому виду
n(n−1)
не удастся. Например, так как функций n, а переменных 2 (Это не доказательство, а всего лишь идея к нему.)
Классификация
1)p = n, ëèáî q = n - эллиптический тип, квадратичная форма положительно знакоопределена.
2)p > 1 è q > 1 è p + q = n - гиперболический тип.
3)иначе - параболический.( 1 < p + q < n)
Более того выделяют отдельно ультрапараболический тип( q = n − 1 è p = 0, ëèáî p = n − 1 è q = 0) и ультрагиперболический тип (q = n − 1 è p = 1, ëèáî p = n − 1 è q = 1)
ˆ 0 |
0 |
0 |
0 |
) |
|
A(y |
) = J(x |
)A(x |
)J(x |
|
|
det Aˆ(y0) = det J(x0) det A(x0) det JT(x0) = det A(x0)[det I(x0)]2 |
sign det Aˆ(y0) = sign det A(x0) |
Далее рассмотрим 2-х мерный случай. 1) Эллиптический случай
|
ˆ |
0 |
) = ± |
1 |
|
0 |
ˆ 0 |
) = 1 > 0 |
0 |
) |
> 0 |
|
A(y |
0 |
|
1 |
det A(y |
det A(x |
|||||
2) |
Гиперболический случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ˆ 0 |
) |
= ± |
1 |
0 |
ˆ 0 |
) = −1 < |
|
0 |
) < 0 |
|
|
A(y |
0 |
− |
1 |
det A(y |
0 det A(x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Параболический случай |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
ˆ 0 |
) = ± |
1 |
0 |
ˆ 0 |
0 |
) = 0 |
A(y |
0 |
0 |
det A(y |
) = 0 det A(x |
Задача Коши и характерестическая поверхность Вспомним сведения из курса дифференциальных уравнений:
|
u(x0) = u0 |
− обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка |
|
|
|
u′′(x) + F(x, u, u′) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ýòà |
задача корректна , так как выполняется 3 условия: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u′(x0) = u1 |
|
1)решение существует для любого набора допустимых задач.
2)решение единственно
3)решение непрерывно зависит от входных данных
Перейд¼м к рассмотрению задачи Коши, для уравнений второго порядка с частными производными.
à) Äëÿ Ω Rn : |
n |
∂2u |
|
|
|
|
|
|
aij(x) |
+ F(x, u, u) |
( ) |
|
|
|
|
||
∂xi∂xj |
|
|
|
|
||||
|
i∑,j |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
б) В Ω задана поверхность S: ω(x) = ω(x1, . . . , xn) = 0; |
ω(x) C2(Ω); |
ω(x) , 0 x S |
||||||
|
|
|
|
→− |
→− |
→− |
, |
0 |
в) Пусть на S задано гладкое некасательное векторное поле ν |
(x) : ( ν |
(x), n (x)) |
|
Задача Коши : В некоторой окрестости U(x0) Ω , x0 S найти решение (*), удовлетворяющее на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности S следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
S u(x0) = u0(x); |
∂u |
|
(x) |
|
|
u(x0)= u1(x), x S, ãäå |
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∩ |
→− |
|
|
|
∩ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∂ v |
|
|
|
|
||
|
|
∂u |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x) = |
|
νk(x) |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂→− |
|
∂x |
k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут может не быть непрерывной зависимости от начальных данных.
|
|
|
|
∂2u |
|
− |
|
|
∂2u |
= 0 |
|
|
|
|
u(x, y) − решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решениями будут u(x, y) = C, u(x, y) = αx + βy, u(x, y) = x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть τ = ( |
|
1 |
; |
|
1 |
); вектор нормали |
|
n |
= ( |
− |
1 |
; |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
= ( n , |
|
u) = |
|
|
|
|
|
1 ∂u |
+ |
|
|
1 ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ n |
|
→− |
|
|
|
|
|
|
− |
√ |
|
∂x |
|
|
|
|
√ |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
→− |
|
|
( |
|
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) |
2 |
|
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
) |
||||||||||||||||||||||||
|
∂ ∂u |
|
|
|
|
τ , |
|
1 |
|
|
∂u |
+ |
1 |
|
|
∂u |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
∂ |
|
|
|
|
1 |
|
∂u |
+ |
1 |
|
∂u |
+ |
1 |
|
∂ |
|
|
|
1 |
|
∂u |
+ |
1 |
∂u |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂τ |
|
∂ n |
= |
|
→− − |
√ |
∂x |
|
√ |
|
∂y |
|
|
|
|
|
√ |
∂x |
|
− |
√ |
∂x |
|
|
|
√ |
∂y |
|
|
√ |
|
∂y |
|
− |
√ |
|
∂x |
|
√ |
∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (− |
∂x2 |
+ |
|
|
∂x∂y − |
|
∂y∂x + |
∂y2 )= |
2 |
|
(− ∂x2 + |
∂y2 )= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∂2u |
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
∂2u |
|
|
1 |
|
|
|
∂2u |
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть функцию u1 задавать можно не произвольно.
5
Пусть теперь: |
uˆ(x, y) = sin( |
|
x + y |
) + e |
2 |
|
x |
− |
y |
|||||||
|
|
|
|
x−y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 + |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)uˆ(x, y = x) = sin x è |
uˆ(x, y = x) = sin x |
|
|
|
||||||||||||
2) |
∂uˆ |
(x, y = x) = − √ |
|
è |
|
|
∂uˆ |
(x, y = x) = − √ |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂ n |
|
|
|
|
∂ n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
→− |
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
3) Обе эти функции удовлетворяют uxx − uyy = 0
uˆ = sin( |
x + y |
) + ( |
x − y |
) |
2 |
2 |
2 |
+(x − y) |
То есть решение не единственно!!
Это были два примера существенных отличий от обыкновенных дифференциальных уравнений.
|
Пусть теперь S - поверхность, а точнее гиперплоскость x |
n |
= 0; |
→− x |
|
|
|
→− |
= (0, 0, . . . , 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ν |
( |
) = n (x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x′ = (x1, . . . xn−1) Σ, Ãäå Σ = S ∩ Ω. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пусть ann(x) ≡ xn, x Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x , . . . , x , 0) = u (x′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
= |
|
|
∂u |
(x , . . . , x , 0) = u (x′) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂→− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn 1 |
|
n−1 |
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u0 |
|
|
|
|
|
|
|
в силу непрерывности |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
(x1, . . . , xn−1, 0) = ∂x1 (x′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, мы знаем градиент на поверхности . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0) = |
|
|
|
|
|
|
(x′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1 |
, . . . , xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn-1 |
|
|
|
|
|
∂xn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∂xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
u (x) |
|
u (x) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åñòü çíàÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u0 |
(x′), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1, . . . , xn−1, 0) = |
|
i, j = 1, n − 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi∂xj |
∂xi∂xj |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u1 |
(x′), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1, . . . , xn−1, 0) = |
|
|
|
|
j = 1, n − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∂xn∂xj |
∂xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aij(x) |
|
|
|
|
+ |
|
|
anj(x) |
|
|
|
|
|
|
+ ajn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ann(x) |
|
|
|
+ F(x, u, |
|
u) = 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i,j=1 |
|
|
∂xi∂xj |
i=1 [ |
|
|
|
|
|
|
∂xn∂xj |
|
|
|
|
|
|
∂xj∂xn ] |
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Это уравнение в точках поверхности, член ann(x) |
∂2u |
|
отсутствует, поэтому в этом случае u0(x) è u1(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
должны быть функционально связаны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Теперь рассмотрим более общий случай, и будем искать преобразование |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
...y1 = y1(x1, . . . , xn) |
|
|
|
в окрестности точки, спрямляющее в гиперплоскость. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
yn = ω(x1, . . . , xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn 1 = yn 1(x1, . . . , xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1)Пусть |
|
e |
|
|
= ( e |
|
, . . . , e |
|
|
), |
|
k = 1, n |
|
|
1 - |
базис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
→− |
|
→− |
k |
|
→−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→−ˆk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) ортогонализируем: (новый базис e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
.y1 = y1(x1, . . . , xn) = (→−e , x − x ) = eˆj (xj − xj ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ω(x , . . . , x ) |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
y = y (x , . . . , x ) = (e−−→− , x x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Åñëè x S, òî yn = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂y1 |
(x0) . . . |
||||
|
|
|
∂x1 |
||||||
|
|
|
. |
|
|
. |
.. |
||
0 |
|
|
.. |
|
|
|
|||
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det J(x |
|
∂yn |
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ) . . . |
|||
|
|
|
∂x1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂yn |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) . . . |
|||
|
|
|
|
∂x1 |
(x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y1 (x0)
∂xn
...
∂yn−1 (x0)
∂xn
∂yn (x0)
∂xn
|
|
|
eˆ11 |
|
. . . |
eˆn1 |
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
. |
.. |
. |
|
|
|
||
|
|
.. |
|
|
.. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
n |
1 |
|
. . . |
n |
1 |
|
|
||
|
|
|
eˆ1 |
− |
|
eˆn− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ω |
|
0 |
|
|
∂ω |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(x |
|
) . . . |
|
(x |
|
) |
||
|
∂x1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂xn |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− число
|
det |J(x |
)| |
|
= |ω(x |
|
)| |
|
|
, 0 |
|
|
по теореме о неявной |
|
|
0, имеем |
|
|
|
|
|
C |
|
||||||||||||||||
0 |
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции это диффеоморфизм класса |
|
2 |
||||||||||||
|
Воспользуемся этим преобразованием в окрестности |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∂2uˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда надо отследить только |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
aˆkl(y) ∂yk∂yl |
|
|
|
|
|
= 0 |
aˆnn(y) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ F(y, uˆ, uˆ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
k∑,l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∂yn ∂yn |
|
|
n |
∂ω ∂ω |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aˆnn(y) = aij[x(y)] |
= |
|
aij[x(y)] |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
∂xi |
|
|
∂xi |
|
∂xi |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i∑,j |
|
|
|
|
|
|
|
|
i∑,j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∂ω ∂ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i∑,j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
aij(x) |
|
|
|
|
= 0 − |
|
характеристическая поверхность |
( ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂xi |
∂xi |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Определение: Поверхность S, задаваемая уравнением ω(x) = ω(x1, . . . , ωn) = 0; ω(x) C2(Ω); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
grad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ω(x) , 0, x S называется характеристической, если в каждой е¼ точке выполнено (**). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Примеры характеристических поверхностей для различных уравнений. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1)Волновое уравнение в R3 : |
|
utt − a2∆xu = f (t, x), x R3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ∂t ) |
|
|
−(a2(∂x1 ) |
|
+a2(∂x2 ) |
|
+a2(∂x3 ) ) = 0 − уравнение характеристики |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ω |
2 |
|
|
|
|
|
∂ω |
2 |
|
|
∂ω |
2 |
|
∂ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е¼ решениями будут:
ω(t, x) = a2t2 − (x21 + x22 + x23) = 0
ω(t, x) = a2t2 − (x21 + x22) = 0 ω(t, x) = at±x1 = const
2)Уравнение теплопроводности ut − a2∆xu = f (t, x), x Rn
S : ω(t, x1, . . . , xn) = 0 t,xω , 0; ω(t, x) C2(Rn+1)
−a2(ω2x1 +. . .+ω2xn ) = 0 если характеристическая поверхность существует, то ωx1 , . . . , ωxn = 0; ωt , 0, например ω(t, x) = t − C
3) Уравнение Пуассона ∆u(x) = f (x), x Rn
a2(ω2x1 + . . . + ω2xn ) = 0 ωx1 , . . . , ωxn = 0 ω(x) = 0, значит не существует действительных характеристик.
Определение: Точка x0 поверхности S : ω(x) = ω(x1, . . . , xn) = 0 ω(x) C2(Ω); gradω(x) , 0, x S
называется характеристической, если в этой точке выполнено:
n |
∂ω |
|
∂ω |
|
|
aij(x0) |
(x0) |
(x0) = 0 |
|||
|
|
||||
i∑,j |
∂xi |
∂xi |
|||
=1 |
|
|
|
|
Определение: Функция u(x) = u(x1, . . . , xn) называется вещественно-аналитической(В-А) в точке x0,
если в некоторой окрестности U(x0) u(x) представима в виде
u(x) = |
uα(x − x0)α, α = (α1, . . . , αn) − мультииндекс, где(x − x0)α = (x1 − x10)α1 · . . . · (xn − xn0 )αn |
|
α: α >0 |
|
∑| | |
Теорема Коши-Ковалевской : Пусть в уравнении
7
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
aij(x) |
|
+ F(x, u(x), xu) = 0, x Rn |
u |
|
= u0(x); |
|
|
|
= u1(x) |
|||||
1) |
|
- ВА в окрестности точки 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i,j=1 |
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ n |
|
x |
|||
|
aij(x) |
|
|
|
|
x |
|
|
∂xn ) |
|
|
|
|
|
|
||
2)F(x, u, u) - ВА функция (x1 |
, . . . , xn, u, ∂x1 |
, . . . , |
в окрестности x0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
3)ω(x) - ВА в окрестности x0 |
(S : ω(x) = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)u0(x), u1(x) - ВА функции в окрестности x0
5)x0 S не является характеристической точкой. Тогда:
а) окрестность точки x0 U1(x0), в которой ВА решение задачи Коши. б) это решение единственно в классе ВА функций.
Доказывать эту теорему мы тут не будем.
Двумерный случай.
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, u, u) = 0
|
A(x, |
y) = |
a(x, y) |
b(x, y) |
; d , det A(x, y) = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) |
|
b(x, y) |
c(x, y) |
|||
{ ξ = ξ(x, y) |
|
|
|
|
|
|
η = η(x, y) |
|
|
|
|
aˆ(ξ, η)uˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
, ξ,ηuˆ) = 0 |
ξξ + 2b(ξ, η)uˆ |
ξη + cˆ(ξ, η)uˆηη + F(ξ, η, uˆ |
ˆ |
aˆ(ξ, η) |
A(ξ, η) = |
ˆ |
|
b(ξ, η) |
ˆ |
|
|
T |
|
|
ξx |
ξy |
bξ, η) |
= J · A[x(ξ, η), y(ξ, η)] · |
J |
; |
J = |
|||
cˆ(ξ, η) |
|
ηx |
ηy |
aˆ(ξ, η) = a[x(ξ, η), y(ξ, η)]ξ2x + 2b[. . .]ξxξy + c[. . .]ξ2y cˆ(ξ, η) = a[. . .]η2x + 2b[. . .]ηxηy + c[. . .]η2y
ˆ ξ, η . . . ξ η . . . η ξ η ξ . . . ξ η b( ) = a[ ] x x + b[ ]( x y + y x) + c[ ] y y
a(x, y); b(x, y); c(x, y) C2(Ω)
|
|
|
I случай. Гиперболический случай (d < 0) в окрестности (x0, y0) |
|
ˆ |
|
, uˆ) |
- вторая каноническая форма |
|
uˆξη + F(ξ, η, uˆ |
|
|||
aˆ(ξ, η) ≡ 0 |
|
|
|
|
cˆ(ξ, η) ≡2 |
0 |
|
|
2 |
a(x, y)ωx |
+ 2b(x, y)ωxωy + c(x, y)ωy = 0 - характеристическое уравнение. |
|
ω(x, y) C2(u(x0, y0)) ω(x, y) , 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξx(x, y) |
|
ξy(x, y) |
тоже характеристика. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
åñëè ω(x, y) = 0 - характеристика, то ω˜ (x, y) = ω(x, y) |
C = 0 - |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det J(x, y) = |
|
ηx(x, y) |
|
ηy(x, y) |
|
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ia a(x0, y0) , 0 ( ëèáî c(x0, y0) , 0), тогда U(x0, y0), в которой a( ëèáî c) , 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ω2 |
+2 |
b |
ω |
ω |
+ |
c |
ω2 |
= ω2+2ω |
|
b |
ω |
+ |
b2 |
ω2 |
+ |
ca − b2 |
ω2 |
= ω |
+ |
b |
ω |
y) |
2 |
b2 |
− ac |
|
ω2 |
= [ω |
+λ (x, y)ω |
][ω |
+λ |
|
(x, y)ω |
] |
||
|
|
|
a2 |
a2 |
a |
− |
|
a2 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
a x |
y |
|
a y |
x |
x a y |
|
y |
|
|
y |
( x |
|
|
|
y |
x |
+ |
y |
x |
|
y |
|
ãäå λ±(x, y) = |
b±√ |
|
|
b2 − ac |
- функции действительного переменного. Более того: |
||
|
a |
||
|
|
|
8
1)λ+(x, y) , λ−(x, y), x, y U(x0, y0)
2)λ±(x, y) C2(U(x0, y0)) (òàê êàê a, b, c C2)
{
ωx + λ+(x, y)ωy = 0
ωx + λ−(x, y)ωy = 0 решения характеристического уравнения.
Вспомним некоторые факты из курса дифференциальных уравнений.
a1(x, y)ωx + a2(x, y)ωy = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1)ω(x, y) C2; ω , 0, ω |
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
dx |
= |
dy |
a2dx − a1dy = 0 |
dy |
= |
a2 |
|||||
a1(x, y) |
a2(x, y) |
|
dx |
a1 |
||||||||
То есть в нашем случае |
dx |
= |
dy |
dy = λ±dx |
||||||||
1 |
λ± |
Утверждение окрестность U(x0, y0) такая, что отображение
{ ξ = ξ(x, y) = ω− |
диффеоморфизм класса C2 |
η = η(x, y) = ω+ |
|
a
Надо посмотреть на Якобиан этого отображения. Имеем:
|
|
|
|
|
{ ηx + λ+ηy = 0 |
|
|
|
в силу выбора ξ è |
η |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ξx + λ+ξy = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ηx(x0 |
, y0) |
ηy(x0, y0) |
|
−λ−ξy |
ηy |
|
− |
|
− |
|||||||||
det J(x0, y0) = |
|
ξx(x0 |
, y0) |
ξy(x0, y0) |
|
= |
|
−λ+ξy |
ξy |
|
= [λ |
|
(x0, y0) λ+(x0, y0)]ξy(x0, y0)ηy(x0, y0) , 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè |
0 |
, y |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
) = 0 |
|
|
|
ω = 0 |
- противоречие |
|
|||||
|
ηy(x |
) = 0 |
|
ξx(x |
, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0
a(x, y)· dy· dy − 2b(x, y)· dy· dx + c(x, y)· dx· dx = 0 − уравнение характеристик
dy = λ±dx
dy − λ+dx = 0; dy − λ−dx = 0 (dy − λ+dx = 0)(dy − λ−dx = 0) = dy2 − (λ+ + λ−)· dx· dy + λ+λ−dx2 = 0
|
|
= |
2b |
|
|
|
|
||
λ+ + λ− c |
a |
получаем, что это действительно уравнение характеристик |
||
|
λ+λ = |
|
|
|
|
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравниния для aˆ è cˆ совпадают с уравнениями характеристик, поэтому при указанном отображении aˆ = cˆ ≡ 0. То есть данное отображение действительно приводит к желаемой форме.
Заменой α = ξ + η и β = ξ − η можно привести к I канонической форме.
Iá a(x, y) = c(x, y) ≡ 0 в некоторой окрестности (x0, y0), тогда желаемое уже достигнуто.
Iâ a(x0, y0) = c(x0, y0) = 0, но в окрестности (x0, y0) (x , y ), такая что a2(x , y ) + c2(x , y ) , 0
{ η = x − y |
- поворот, тогда aˆ(x0, y0) = 2b(x0, y0) , 0 свели к случаю Ia |
ξ = x + y |
|
|
II Параболический случай |
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0
d = ac − b2 = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) ≡ 0 в некоторой окрестности (x0, y0)
a(x0, y0) , 0, ëèáî c(x0, y0) , 0
|{z }
не умаляя общности
9
a(x, y)ω2x + 2b(x, y)ωxωy + c(x, y)ω2y = 0 - уравнение для характеристик.
(ωx + λ+ωy)(ωx + λ−ωy) = 0, ãäå
λ± = |
b±√ |
|
|
|
|
|
|
b2 − ac |
, и мы имеем только |
|
|||||
|
a |
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
||
ωx + λωy = 0; λ |
= |
( ) |
|
||||
a |
|
|
|||||
η(x, y) = ω(x, y) C2(U(x0, y0)) |
η , 0 (x, y) U(x0, y0) |
0 y0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x, |
{
ξ = ξ(x, y) − произвольным образом, чтобы был диффеоморфизм в C2
η= η(x, y) − решение ( )
Àможно ли так выбрать? Можно, но здесь мы опустим доказательство этого факта.
1)cˆ(ξ, η) ≡ 0 при этом преобразовании.( так брали |
|
|||||||||
|
ˆ |
|
|
, докажем это: |
|
|
|
|
|
|
2)b(ξ, η) ≡ |
0 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
= J· A· J |
T |
|
|
|
2 |
2 |
)(det J) |
2 |
|
A |
|
det A = det A(det J) |
|
= (ac − b |
|
|||||
|
|
|
|
ˆ |
= 0 |
, |
|
|
|
|
aˆ(ξ, η)uˆξ,η + F(ξ, η, uˆ, ξ,ηuˆ) |
|
|
|
|
|
η)
|
ˆ |
ˆ2 |
ˆ |
det A ≡ 0 |
= aˆcˆ − b |
b(ξ, η) ≡ 0 |
ïðè÷¼ì aˆ(ξ, η) . 0, так как иначе уравнение будет 1-ого порядка, а понижение порядка при диффеоморфизме невозможно. Упрощая, имеем:
ˆ ξ, η, ,
uˆξξ + F( uˆ ξ,ηuˆ) = 0
III Эллиптический случай a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0
d = ac − b2 = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) > 0 в некоторой окрестности (x0, y0)
Тогда a(x, y) , 0 è c(x, y) , 0 в окрестности (x0, y0) .
Действительно, если a(x , y ) = 0, òî d = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) > 0, íî d = −b2(x , y ) 6 0.
√
λ± = b ± b2 − ac = µ(x, y) ± i ν(x, y) a
ωx + λ±(x, y) = 0, решениями будут:
|
{ ξ(x, y) , 0, |
η(x, y) , 0 |
|
− |
из теоремы Коши-Ковалевской |
|
||||||||||
|
ω(x, y) = ξ(x, y) + i η(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ξx + µξy − νηy = 0 |
− |
несложно проверить |
|
|
|
|
|||||||||
|
{ ηx + νξy + µηy = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сделаем замену переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{ |
ξ = ξ(x, y) |
det J(x, y) = |
ξx |
ξy |
= |
(−µξy + νηy) |
ξy |
= ν[ξ2 |
+ η2 ] , 0, òàê êàê |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
η = η(x, y) |
|
|
|
|
ηx |
ηy |
|
|
|
(−νξy + µηy) |
ηy |
|
y |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1)ν , 0
2)Åñëè ξy = ηy = 0 ξx = ηx = 0 ξ = 0
(aξ2x + 2bξxξy + cξ2y) − (aη2x + 2bηxηy + cη2y) = 0 aˆ = cˆ
( ξxηx + (ξxηy + ξyηx) + ξxηy) = 0 ˆ = 0 a b c b
Эти равенства мы получили, подставив ω в уравнение характеристик.
òî åñòü |
aˆ(ξ, η)uˆξξ + aˆ(ξ, η)uˆ |
ˆ |
, ξ,ηuˆ) = 0 |
, и окончательно имеем: |
|||
|
|
|
ηη + F(ξ, η, uˆ |
|
|||
uˆ |
ξξ + uˆ |
|
ˆ |
, ξ,ηuˆ) = 0 |
|
|
|
ηη + F(ξ, η, uˆ |
|
|
10