Leonidov
.pdf1 Частицы |
1 |
ВВЕДЕНИЕ В СТАНДАРТНУЮ МОДЕЛЬ
А.В. Леонидов
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН1
Наша школа проходит накануне важнейшего события – запуска Большого Адронного Коллайдера (Large Hadron Collider) в ЦЕРНе. Главной целью экспериментов на БАК будет экспериментальное изучение вопросов физики стандартной модели, связанных с механизмом спонтанного нарушения симметрии, снабжающим массами промежуточные бозоны и частицы материи. Особое внимание будет уделено поискам хиггсовского бозона - возбуждения скалярного поля, ответственного за генерацию масс. Большая часть настоящих лекций как раз и посвящена обзору основных положений объединенной теории электрослабых взаимодействий. Вместе с тем, будут обсуждаться инекоторые вопросы физики сильных взаимодействий.
1Частицы
Все известные в настоящее время элементарные частицы можно разбить на два больших класса: частицы материи и частицы-переносчики взаимодействий. Частицы материи - это массивные и безмассовые2 фермионы со спином 1/2: лептоны, кварки, нейтрино и соответствующие античастицы. Известные нам лептоны, нейтрино и кварки и их электрические заряды приведены в (1,2):
e |
μ |
τ |
q = −1 |
(1) |
νe |
νμ |
ντ |
q = 0 |
|
u |
c |
t |
q = 2 |
(2) |
d |
s |
b |
q = −31 |
|
|
|
|
3 |
|
Частицы в (1,2) разбиты на три поколения. В первое поколение входят νe, e, u, d, и т.д. Причина, по которой частицы в (1,2) расположены именно так, как они расположены, не сводится, разумеется, просто к классификации элементарных составляющих материи по их электрическому заряду. Настоящие лекции во многом как раз и посвящены разъяснению структуры, указанной в (1,2).
Массы лептонов, перечисленных в (1,2), приведены в Таблице 1
1Также в Институте теоретической и экспериментальной физики.
2В настоящих лекциях вопрос о массе нейтрино рассматриваться не будет.
1 Частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
me |
|
mμ |
|
mτ |
|
|
|
|
|
|
0.5 МэВ |
100 МэВ |
1.77 ГэВ |
|
|
|
|||
а массы кварков - в Таблице 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
mu |
md |
mc |
|
ms |
mt |
mb |
|
|||
|
5 МэВ |
7 МэВ |
1.3 ГэВ |
150 МэВ |
173.1 ГэВ |
4.8 ГэВ |
|
В таблицах 1,2 бросается в глаза огромный диапазон масс элементарных составляющих материи. Современная теория не может объяснить происхождение масс лептонов и кварков, поэтому за каждой из масс, приведенных в таблицах 1,2, скрывается свободный параметр теории.
Переносчики взаимодействий - это безмассовые и массивные векторные бозоны, число которых определяется размерностью векторного представления одной из калибровочных групп, представленных в стандартной модели SU (3) SU (2) U (1): восемь глюонов g, переносчиков сильного взаимодействия, связанных с группой SU (3); три промежуточных бозона W ± и Z, связанных с группой слабого изоспина SU (2) и группой слабого гиперзаряда U (1) и фотон γ, переносчик электромагнитного взаимодействия, связанный с как с группой слабого гиперзаряда U (1), так и с группой слабого изоспина SU (2). Массы калибровочных бозонов приведены в Таблице 3:
Таблица 3
mγ |
mg |
mW ± |
mZ |
0 |
0 |
80.5 ГэВ |
91.2 ГэВ |
Взаимодействие безмассовых калибровочных бозонов γ, g с полями материи иллюстрируют диаграммы рис. 1. Важнейшим отличием абелевых взаимодействий является сохранение заряда на линии, отвечающей частице материи. В неабелевых взаимодействиях этот заряд, вообще говоря, не сохраняется и, например, на рис. 1 справа кварк меняет свой цвет: i → j.
Взаимодействие безмассовых калибровочных бозонов W ±, Z0 с полями материи иллюстрируют диаграммы рис. 2. На рис. 2) представлены как заряженные токи с участием (электрически) заряженных калибровочных бозонов W ±, так и нейтральные токи с участием нейтрального
2 Калибровочные симметрии |
3 |
e |
qj |
γ |
gij |
e |
qi |
Fig. 1: Электромагнитные (слева) и цветные (справа) токи, взаимодей-
e |
ствующие с фотонами и глюонами |
ν |
u |
W − |
W + |
Z0 |
ν |
d |
ν |
Fig. 2: Заряженные и нейтральные токи, взаимодействующие с промежуточными бозонами.
калибровочного бозона Z0. В дальнейшем мы подробно обсудим физический смысл линий и вершин на рис. 1,2, а сейчас ограничимся наблюдением о том, что заряженным токам отвечает переход нижней частицы дублетов в (1,2) в верхнюю (или наоборот), а нейтральный ток сохраняет исходный тип (аромат) частицы.
2Калибровочные симметрии
В предыдущем разделе мы упоминали различные калибровочные симметрии и связанные с ними переносчики соответствующих взаимодействий, калибровочные бозоны. Настало время определить эти понятия более подробно.
2.1Абелева калибровочная симметрия
Рассмотрим сначала простейшую абелеву калибровочную теорию с группой U (1), описывающую поле материи ψ, калибровочное поле Aμ и их взаимодействие. Соответствующий лагранжиан имеет вид
1 |
(Fμν )2 + | Dμψ| 2, |
(3) |
|
L = − |
|
||
4 |
|||
в котором ковариантная производная |
|
||
Dμψ = (∂μ − ieAμ) ψ |
(4) |
2 Калибровочные симметрии |
4 |
включает вершину взаимодействия полей ψ и Aμ. Потребуем, чтобы наша теория была инвариантна относительно произвольного локального изменения поля ψ:
ψ → eiα(x)ψ |
(5) |
Второе слагаемое в лагранжиане (3) будет инвариантным относительно преобразования поля материи (5), если калибровочное поле Aμ одновременно подвергается калибровочному (градиентному) преобразованию
1 |
|
(6) |
Aμ → Aμ + e |
∂μα |
Действительно, при преобразованиях (5,6) ковариантная производная Dμ преобразуется однородно:
Dμψ → eiα(x)Dμψ, |
(7) |
что и обеспечивает инвариантность члена | Dμψ| 2 в лагранжиане (3). Свойства калибровочного поля Aμ полностью описываются его напря-
женностью Fμν : |
(8) |
Fμν = ∂μAν − ∂ν Aμ. |
Очевидно, что напряженность Fμν инвариантна относительно градиентных преобразований (6), так что исходный лагранжиан (3) действительно инвариантен относительно калибровочных преобразований (5,6).
2.2Неабелева калибровочная симметрия
Рассмотрим обобщение калибровочной симметрии, рассмотренной в предыдущем параграфе, для которого поле материи Ψi является вектором в изотопическом пространстве, принадлежащим к фундаментальному представлению калибровочной группы SU (N ), а калибровочные поля Aaμ принадлежат к присоединенному (векторному) представлению той же группы. Лагранжиан модели, обобщающий выражение (3), имеет вид
L = − |
1 |
|
2 |
¯ |
μ |
|
(9) |
|
Tr (Fμν ) |
|
+ · · · + Ψ (iγμD |
|
− m) Ψ |
||
4 |
|
|
в котором ковариантная производная содержит матричную вершину
Dμ = ∂μ − igAμa T a, |
(10) |
где (T a) - генератор фундаментального представления SU (N ), для которого ненулевой элемент с индексами (i, j) обеспечивает переход фермиона с зарядом i в фермион с зарядом j с испусканием калибровочного бозона Aaμ.
3 Путь к стандартной модели |
5 |
Потребуем, чтобы теория была инвариантна относительно преобразования имеет вид
Ψ → SΨ, S SU (N ), |
(11) |
обобщающего (5), где S(x) - матричная функция точки пространствавремени. Для инвариантности члена с квадратом ковариантной производной в лагранжиане (9) необходимо, чтобы при преобразовании (11) ковариантная производная преобразовывалась однородно:
DμΨ → S (DμΨ) |
(12) |
Легко видеть, что для этого необходимо, чтобы матричное поле Amu преобразовывалось следующим образом (ср. (6):
|
|
|
|
|
|
i |
(13) |
|
|
|
|
Aμ → SAS† + |
|
S∂μS† |
|||
|
|
|
g |
|||||
Неабелево обобщение напряженности F aμν имеет вид: |
|
|||||||
F a |
T a |
= |
|
i |
[Dμ, Dν ] |
|
||
|
|
|
||||||
μν |
|
|
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
∂μAνa − ∂ν Aμa + gf abcAμb Aνc T a |
(14) |
Важнейшей отличительной чертой неабелевой теории является наличие взаимодействия калибровочных бозонов, которому отвечает член gf abcAbμAcν в формуле (14) для Fμνa .
Отметим также, что, в |
отличие от абелевого случая, при калибровоч- |
|
ных преобразованиях (13) |
напряженность F a |
не остается инвариантной, |
|
μν |
|
но подвергается изотопическому вращению |
|
|
|
Fμν → S†Fμν S |
(15) |
Очевидно, что преобразования (12,15) обеспечивают инвариантность лагранжиана (9) относительно неабелевых локальных преобразований (11,13).
3Путь к стандартной модели
В этом разделе мы рассмотрим некоторые ключевые аспекты физики слабых взаимодействий, анализ которых позволяет выявить основные контуры современной объединенной теории электрослабых взаимодействий.
3 Путь к стандартной модели |
6 |
3.1Нарушение четности и зарядового сопряжения
Одной из самых больших неожиданностей в ходе развития физики элементарных частиц было экспериментальное обнаружение максимального несохранения четности в слабых взаимодействиях, обнаруженное в ряде экспериментов в 50-х - 60-х годах XX века.
Напомним, что что четырехкомпонентный дираковский спинор ψ допускает естественное разложение на компоненты с левой и правой киральностями
ψL
ψ = (16)
ψR
Проекции на состояния с определенной киральностью строятся с помощью матрицы γ5:
ψL,R |
= |
|
1 |
|
|
1 |
|
γ5 |
|
|
|
|
|
i |
I |
0 |
|
||||||||
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
0 |
I |
||||
γ5 |
= |
|
|
|
μνρσ γμγν γργσ = |
− |
|
(17) |
Для частиц с нулевой массой компоненты ψL и ψR динамически независимы и отвечают состояниям с определенной спиральностью (проекцией спина на импульс). При этом для левокирального безмассового фермиона ψL спин направлен против импульса, а для правокирального ψR - по импульсу. При пространственном отражении P спин (аксиальный вектор) не изменяется, а импульс меняет направление на противоположное. Поэтому при преобразовании четности P киральность меняется на противоположную: L ↔ R. Отметим, что спиральность античастицы противоположна спиральности частицы.
Дадим теперь количественную формулировку упомянутого выше утверждения о максимальном несохранении четности в слабых взаимодействиях. В отличие от привычной электромагнитной вершины на левом рисун-
¯ μ
ке в рис. 1, которой отвечает ток ψγ ψ, включающий взаимодействие с фотоном как левокиральной, так и правокиральной компонент спинора ψ, вершины слабого взаимодействия, как установили эксперименты, пропорциональны комбинации γμ (1 − γ5). Из определения левокиральных и правокиральных компонент в (17) немедленно следует, что токи на рис. 2 имеют структуру
Jμ = ψ¯L(2,1)γμ 1 − γ5 ψL(1), |
(18) |
отвечающие переходу фермиона с ароматом 1 в фермион с ароматом 2 для заряженных и 1 для нейтральных токов. Таким образом, в слабых взаимодействиях участвуют только левокиральные частицы, т.е. четность действительно нарушена максимально.
3 Путь к стандартной модели |
7 |
Выделенная роль левых фермионов в слабых взаимодействиях мгновенно обостряет вопрос о происхождении массы. Действительно, массовый член в лагранжиане для фермионов смешивает левые и правые ком-
¯ |
|
¯ |
¯ |
. Независимое участие левых компо- |
поненты: mψψ ≡ m |
ψLψR + ψRψL |
|||
нент в слабых |
взаимодействиях требует поэтому более тонкого механиз- |
|||
|
|
|
|
ма смешивания левых и правых компонент, чем явный массовый член. Ниже мы покажем, что в стандартной модели как генерация масс фермионов (или, что то же самое, организация смешивания левых и правых компонент частиц материи), так и генерация масс промежуточных бозонов связана с хиггсовским механизмом спонтанного нарушения калибровочной симметрии слабого изоспина SU (2).
Тем самым мы должны несколько уточнить информацию о частицах материи, приведенную в (1,2). Рассмотрим, например, лептоны первого поколения νe, e. Вместо полного набора киральных состояний. молчаливо предполагавшегося в (1) мы имеем, на самом деле, независимые дублет
левых частиц и синглетный правый электрон: |
|
|||
ee |
→ |
ee L |
eR, |
(19) |
ν |
|
ν |
|
|
и аналогично для других лептонов и кварков. Отметим отсутствие правого нейтрино νe R, обеспечивающее безмассовость νe и, еще раз, максимальное нарушение четности в слабых взаимодействиях.
Максимальное нарушение четности в слабых распадах имеет множество драматических экспериментальных проявлений. Рассмотрим, например, полулептонный распад распад положительно заряженного пио-
¯ |
+ |
→ |
+ |
|
|
на (кварковая структура du) на позитрон и электронное нейтрино π |
|
|
e νe. Пион, частица с нулевым спином, имеет нулевую спиральность. Такую же полную спиральность должно иметь и конечное состояние. Спиральность νe отрицательна, и для одновременного обеспечения сохранения импульса и спиральности импульс позитрона должен быть противоположен импульсу нейтрино, а его спиральность должна быть отрицательной. "Естественная"спиральность позитрона, однако, положительна (такую спиральность имеет безмассовый позитрон). Отрицательную спиральность позитрон может иметь только в меру свой малой массы, поэтому распад π+ → e+νe очень сильно подавлен.
Важно отметить, что в рассматриваемой теории с максимально нарушенной четностью имеются только левые нейтрино νL (и правые антинейтрино ν¯R), но нет левых антинейтрино или правых нейтрино, в которые νL и ν¯R переходят под действием операции зарядового сопряжения C. Это отвечает, очевидно, нарушению инвариантости относительно еще
3 Путь к стандартной модели |
8 |
одной дискретной симметрии, симметрии зарядового сопряжения C, которое также имеет многочисленные яркие экспериментальные проявления.
Один из самых впечатляющих примеров - разность сечений процессов рассеяния нейтрино и антинейтрино на электроне:
σ(¯νe → νe¯ ) = |
1 |
σ(νe → νe) |
(20) |
3 |
Причина этого различия состоит в том, что спин начального состояния в рассеянии νe¯ равен 1, что подавляет рассеяние назад, возможное для рассеяния νe, в котором полный спин начального состояния равен нулю.
Еще один часто упоминаемый пример - асимметрия угловых распределений конечных электронов и позитронов в лептонных распадах мюона и антимюона:
μ− |
→ |
e−ν˜eνμ |
(21) |
μ+ |
→ |
e+νeν˜μ |
(22) |
В самом деле, в распада мюона спин электрона направлен по спину мюона (спин системы нейтрино-антинейтрино равен нулю), а его импульс, соответственно, направлен противоположно спину мюона. Аналогичное рассуждение для распада антимюона показывает, что импульс позитрона направлен по спину антимюона.
3.2 Теория с массивными промежуточными бозонами: предыстория
В этом параграфе мы обсудим некоторые соображения, которые приводят к необходимости построения теории слабых взаимодействий, в которой переносчиками этих взаимодействий являются массивные векторные бозоны. Стартовой точкой для этих рассуждений послужит установленная в результате открытия несохранения четности вектор-аксиальная структура токов (18), описывающая слабые распады при низких энергиях, доступных экспериментаторам в середине XX века, а основным инструментом - анализ возможности построения непротиворечивой теории при асимптотически высоких энергиях. Мы увидим, что на этом пути оказывается возможной полная реконструкция неабелевой теории, описывающей свойства промежуточных бозонов.
3 Путь к стандартной модели |
9 |
3.2.1Массивные промежуточные бозоны в процессах рассеяния при высоких энергиях
Итак, представим себе, что мы обсуждаем свойства теории слабых взаимодействий в середине XX века, когда мы уже твердо знаем, что правильное универсальное описание наблюдаемых слабых распадов таких, например, как распад мюона μ− → e−ν˜eνμ или β-распад нейтрона n → peν¯ правильно описываются токами вида (18), а интенсивность лептонных и полулептонных определяется константой GF 1.166 × 10−5 GeV−2. Разумеется, для слабых взаимодействий можно рассматривать не только процессы распада, но и процессы рассеяния. Рассмотрим простейший пример упругого рассеяния нейтрино на электроне. С учетом имеющейся у нас информации, соответствующий эффективный лагранжиан имеет вид:
LcontactV −A |
GF |
νγ¯ μ(1 − γ5)e eγ¯ |
μ(1 − γ5)ν + h.c. |
(23) |
= √2 |
Соответствующая диаграмма рассеяния, отвечающая контактному взаимодействию (23), приведена на рис. 3 (слева). Используя лагранжиан
e |
ν |
e |
|
ν |
|||
|
|
||
|
|
W |
|
e |
= |
|
|
ν |
|
||
|
e |
ν |
(a) |
(b) |
Fig. 3: Контактные взаимодействия (слева), взаимодействия с обменом массивным бозоном (справа).
(23), легко вычислить интересующее нас сечение:
|
G2 |
|
2 |
(24) |
σ(νe → νe) = |
F |
s, s = (pe + pν ) |
||
π |
|
Таким образом, для рассматриваемого контактного взаимодействия σ|s→∞ s, что противоречит следующему из требования унитарности общему ограничению Фруассара на рост сечений с энергией, согласно которому максимально возможному росту отвечает асимптотика σ|s→∞ log2 s.
3 Путь к стандартной модели |
10 |
Попробуем улучшить высокоэнергетическую асимптотику сечения, "делокализовав" контактное взаимодействие на рис. 3 (a) за счет обмена заряженным массивным векторным бозоном W , см. рис. 3 (b). Легко вычислить соответсвующее дифференциальное сечение
|
dσ |
|
G2 |
|
|
m4 |
|
|
|
|
|
(25) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
W |
|
, t = (pe − pν )2, |
||||
|
dt |
π |
|
|
2 |
+ | t|) |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
(mW |
|
|
|
|
|
|
||
так что для полного сечения получаем ответ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
G |
2m2 |
|
|
|
|
σ = 0 |
d| t| dσd| t| = |
W |
, |
(26) |
|||||||
|
|
|
π |
согласующийся с ограничением Фруассара. Очевидно, что в пределе mW → ∞ для дифференциального сечения (25) сечение (26) переходит в "контактное" сечение (24).
Главный вывод, который можно сделать из рассмотренного примера - это вывод о том, что описание в терминах локальных контактных взаимодействий применимо только при низких энергиях. Более того, можно дать количественную оценку масштаба энергий (т.е. в рассматриваемом контексте по существу порядок величины mW ), на котором вступает в игру новая физика, используя ограничение для парциальных амплитуд, следующее из унитарности. Как уже упоминалось, процесс рассеяния νe идет в канале с фиксированным спином J = 0. Соответ-
ствующее ограничение для реальной части амплитуды M0, отвечающей |
|
упругому рассеянию, имеет вид M0 < 1/2. Из (24) имеем, следовательно, |
|
M0 = GF ·s/(2√2π) < 1/2, т. е. √s < s ≡ |
√2π/GF 600 ГэВ. Масштаб |
энергий порядка s называется, по очевидным причинам, (борновским) унитарным пределом.
3.2.2Симметрия теории промежуточных бозонов. Алгебра.
В предыдущем параграфе мы убедились в необходимости описания слабых распадов с участием заряженных токов в терминах теории с массивными заряженными промежуточными бозонами W ±. Тем самым, в нашем мире элементарных частиц появилось, вместе с фотоном, уже три векторных бозона W −, W +, γ, взаимодействующих с токами J+, J−, Jem соответственно.
LW |
= |
g [˜νeγμ (1 − γ5) e · W μ + h.c.] |
(27) |
Lem |
= |
−e (¯eγμe) Aμ |
(28) |