Планирование эксперимента - лекция06

Лекция №6.

Элементы теории вероятностей

Темы:

o Исторический экскурс

o Аксиоматика Колмогорова o Вычисление вероятностей o Закон больших чисел

Исторический экскурс

Теория вероятностей возникла в начале 18 века, когда маркиз de l’Hospital предложил Иоганну Бернулли для решения следующую задачу.

Задача. Два одинаково искусных игрока играют (и при этом не жульничают!) в

кости до 10 побед. Пусть при счете 9:8 им пришлось прервать игру. Как им разделить деньги, стоящие на кону?

Исторический экскурс

Решение. Для определения выигравшего достаточно сыграть еще две партии, что дает 4 различных исхода:

1)обе партии выигрывает первый игрок;

2)первую партию выигрывает первый игрок, вторую

– второй;

3)первую партию выигрывает второй игрок, вторую – первый;

4)обе партии выигрывает второй игрок.

Шансы игроков на выигрыш относятся как 3 к 1, поэтому первому игроку следует отдать ¾ ставки, а второму – ¼.

Исторический экскурс

Задача. Будем для простоты считать, что вероятности рождения мальчиков и девочек одинаковы и на вероятность рождения ребенка данного пола не влияет то, какого пола были предыдущие дети. Какова доля семей с детьми одного пола среди двухдетных семей?

Как изменится ответ, если известно, что:

1)один из детей – мальчик?

2)по крайней мере один из детей – мальчик?

3)старший ребенок – мальчик?

Исторический экскурс

Решение. Перечислим все возможные варианты: o ММ (все мальчики),

o МД (старший ребенок – мальчик, младший – девочка), o ДМ,

o ДД.

Таким образом, из 4 вариантов два соответствуют однополым детям. Итого имеем вероятность ½.

1)0;

2)⅓;

3)½.

Исторический экскурс

Выводы:

1.При анализе разного рода ситуаций информацию о том, что именно известно, нужно формулировать очень аккуратно, малозаметные уточнения приводят к изменению результата.

2.Для определения вероятности успешного исхода нужно разделить количество успешных исходов n на

общее количество возможных исходов N.

Исторический экскурс

Еще примеры классических задач теории вероятностей: рулетка и «блэк джек».

Равномерность

При описании эксперимента, условий выбора образцов и т.д. часто говорят о случайном независимом равномерном отборе.

Равномерность означает, что вероятность выбора разных вариантов одинакова.

Задача. Круг единичного радиуса пересечен случайной прямой. Какова вероятность того, что длина хорды больше 3?

Равномерность

Решение №1.

Пусть h – расстояние от центра круга до пересечения хорды с радиусом.

o Если h < ½, то длина хорды больше 3 ,

o если h > ½, то длина хорды меньше, чем 3 .

Т.к. h – в пределах от 0 до 1 и равномерно распределена, то искомая вероятность равна ½.

Ответ: ½.

Равномерность

Решение №2.

Рассмотрим длину дуги между точками пересечения прямой и линии. Пусть α – угол, под которым эта дуга видна из центра. Угол α от 0 до 180°.

Сторона равностороннего треугольника видна из центра под углом 120° и длина ее равна 3 . Следовательно, вероятность того, что случайная хорда будет короче 3, равна 120/180 = ⅔. Вероятность того, что хорда будет длиннее 3 соответственно равна ⅓.

Ответ: ⅓.