неопр.ин-л лекции и практики

= x a2 − x2 −∫		a2 − x2 dx +a2 ∫		dx	= x a2	− x2	− I +a2 arcsin x
			a	2 − x2			a
В	результате для искомого			интеграла		мы	получили уравнение
I = x	a2 − x2 − I +a2 arcsin x , решая которое относительно I, получаем
		a

2I = x a2 − x2 +a2 arcsin ax +C .

Поэтому I =

1

x

a

2

− x

2

+

a2

arcsin

x

+C .

2

2

a

Пример 2. Вычислить интеграл I = ∫e2x cos x dx .

Решение:

u = cos x; dv = e2xdx

I = ∫e2x cos x dx =

=

e2x

cos x +

1

∫e2x sin x dx =

du = −sin xdx; v = e2x

/ 2

2

2

u =sin x; dv = e

2x

dx

e

2x

1

2x

1

2x

e

=

=

cos x +

sin x −

∫e

cos x dx =

du

= cos xdx; v = e2x / 2

2

2

2

2

=

e2x

cos x +

e2x

sin x −

1

I .

2

4

4

Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравне-

ние относительно I: I =

e2x

cos x +

e2x

1

I , решение которого

2

4

sin x −

4

I= e52x (2cos x + sin x)+ C .

4.3.Рекуррентные формулы

Пример 1. Вычислить In = ∫cosn x dx .

Решение:

Представим подынтегральную функцию в виде

cosn x = cosn−2 x cos2 x = cosn−2 x (1 −sin 2 x) = cosn−2 x −sin 2 xcosn−2 x .

Интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному со значением параметра (n − 2) ; к интегралу от второго слагаемого применим формулу

интегрирования по частям:

In = ∫cosn x dx = ∫cosn−2 x dx − ∫sin xcosn−2 xsin xdx =

21

=

u =sin x; dv = cosn−2 xsin xdx

=

du = cos xdx; v = −

cosn−1 x

n −1

cosn−1 x

cosn−1 x

= In−2

−

+

−

−sin x

∫

n −1

cos x dx =

n −1

= In−2 + sin xcosn−1 x

−

1

∫cos xn dx = = In−2

+ sin xcosn−1 x

−

1

In .

n

−1

n −1

n −1

n −1

Таким образом,

sin xcosn−1 x

In

= In−2

+

−

1

In .

Теперь, зная

n −1

n −

1

I1 = ∫cos x dx = sin x +C ,

I2 = ∫cos2

1

+cos 2x

1

sin 2x

x dx = ∫

dx =

x

+

+C ,

2

2

мы можем выписать

2

sin x cos3−1 x

sin x cos2 x

I3 = ∫cos3 x dx =

3 −1

I1 +

=

2

sin x +

+C ;

3

3

3

3

I4 = ∫cos4 x dx =

4 −1

I2 +

sin x cos4−1 x

=

3

1

(2x +sin 2x)+

sin x cos3 x

+C ;

4

4

4

4

4

I5

= ∫cos5 x dx =

5 −1

I3

+

sin x cos5−1 x

=

4

1

(2sin x +sin x cos2 x)+

sin x cos4 x

+C

3

5

5

5

5

и т. д.

dx

Пример 2. Вычислить In = ∫

,

n N .

(x2 +1)n

Решение:

Полагая u = (x2 +1)−n ,

dv = dx , получим

In =

x

+

2n∫

x2dx

,

(x

2 +

1)n

(x

2

+1)n+1

но

x2dx

x2

∫

= ∫

+1 −1

dx = In − In+1 .

(x2 +1)n+1

(x2

+1)n+1

Поэтому

x

In =

+ 2nIn − 2nIn+1 ,

(x2 +1)n

22

откуда

x

1

In+1 =

+ 1 −

In .

2n(x2 +

1)n

2n

I1

= ∫

dx

= arctg x + C ,

x2 +1

I2

= ∫

dx

=

x

+

1

arctg x + C ,

(x2 +1)2

2(x2

+1)

2

dx

x

3

x

1

I3 = ∫

+ C

(x

2

+

1)

3

=

4(x

2

+

1)

2

+

4

2(x

2

+1)

+

2

arctg x

и т. д.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти:

2

2

4

3

(x + 2)2

−

1)

∫

8x7 −3x2 +

−

dx ; 2)

∫

dx ; 3)

∫

a 3

− x

3 dx ;

x5

x

x4

x

x

2

dx

dx

4) ∫ sin

+ cos

− cos

x dx ; 5)

∫

;

6) ∫

.

2

3

3

9 − 4x2

3

+12x2

Задание 2. Найти:

1) ∫

(1 +

x )3

dx ; 2) ∫

3

2x −2

3x

dx ;

3) ∫

cos2x

dx ;

3 x

2x

cos2 x sin2 x

4) ∫

dx

; 5)

∫5 (8 −3x )6 dx ;

6) ∫

62x −5

dx ;

(2x −

3)

5

ex dx

2 3x

−5x + 6

7) ∫cos3 x sin 2xdx ; 8) ∫

; 9)

∫

2x dx

;

10) ∫

1 + x

dx .

ex +1

1 −4x

1 − x 2

Задание 3. Найти:

1) ∫

t2dt

;

2) ∫

a2 +b2 x2

x dx ; 3) ∫sin 2x4 x3dx ;

(1

+ 2t3 )2

dx

4) ∫ex 2 +4 x +1 (x + 2)dx ; 5) ∫sin xcos2 xdx ; 6) ∫

.

x ln x

23

Задание 4. Найти:

x dx

dx

ln tg x

1) ∫x (x +1) ; 2)

∫1 + 3 x +1 ; 3) ∫

dx ; 4)

sin x cos x

∫

lg x

x arctg x

dx ; 7) ∫(arcsin x )2 dx ; 8)

5)

dx ; 6) ∫

x 3

1 + x2

9)

∫e x dx ; 10) ∫

x2 arctg x

dx .

1 + x2

Задание 5. Найти:

1) ∫ x exdx ;

2) ∫ x cos 3xdx .

Ответы:

Задание 1:

∫		x 5 dx			;
	(x	2	−4)	5
∫eαx		cos nxdx ;

		8					3				1							1										2			2				8								2		1
1) x			− x						−						+					+ C			; 2)							x		x	+			x x		+8 x + C ; 3) a 3 x −3x3 + C ;
										x4							x3											5							3
4)	3sin					x			− 2cos							x		−		3 sin					2 x + C ; 5)								1 arcsin					2 x + C ; 6)				1 arctg 2x + C .
			3												2					2					3								2					3				6
		Задание 2:
	3		2						18			7						9		5					6			13									2 (1,5)x
1)			x 3 +								x	6			+				x3 +								x 6 + C ; 2)								3x +			ln1,5			+C ;
	2								7									5					13
																									1						1							5			(8 −3x)11 5 +C ;
3)	−ctg x − tg x +C ; 4) −																																	+C ; 5) −
																									8			(2x −3)4											33

6)

3x2 −5x +6 ; 7) −

2 cos5

x +C ; 8) ln(ex +1) +C ; 9)

arcsin 2x

+C ;

ln 2

5

10) arcsin x − 1 − x2 +C .

Задание 3:

3

1

1

1

(a2

+ b2 x2 )2 + C; 3) −

1)

−

6(1 + 3t3 )+C ; 2)

8 cos 2x4 + C;

3b2

4)

1

ex2 +4x+1 +C; 5)

−

cos3 x

+C; 6) ln(ln x)+ C.

2

3

24

			Задание 4:
1) 2 arctg										x +C ;
2)		3				(x +1)						2					+1 +ln 3 x +							1 +1			+C ;
	3											−3 x
								2
3)		(ln tg x)2									+C ;
						2
	1										1									8					16
4)					−											−							−							+C ;
									2					2						2		3			2			4
	2						2(x				−4)							3(x			−4)			4(x		−4)
					1											1
5)	−							lg x +												+C ;
				2x2
													2 ln10
6)		1+ x2 arctg x −ln x +																			1+ x2			+C ;

7)x arcsin2 x + 2 1− x2 arcsin x −2x +C ;

8)n2e+α αx 2 (nsin nx +α cos nx)+C ;

9)2e x ( x −1)+C ;

10) x arctg x −

arctg2 x

+ ln

cosarctg x

+ C =

2

x arctg x −

arctg2 x

−

ln(1

+ x2 )

+ C.

2

2

Задание 5:

x

1 cos3x + C.

1) xex − ex + C; 2)

sin 3x +

3

9

25

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

лов:

J6

В этом параграфе мы рассмотрим вычисление следующих интегра-

J1

= ∫

dx

; J

2

= ∫

Ax + B

dx ;

J3 = ∫

dx

;

ax2 +bx + c

ax2 +bx + c

ax2 +bx + c

J4 = ∫

Ax + B

dx ; J5 = ∫

Ax + B

dx, k ≥ 2;

ax2 +bx + c

(x2 + px + q)k

Pn (x)dx .

= ∫ ax2 + bx + c dx; J7 = ∫

dx

; J8 = ∫

(Mx + N ) ax2 + bx + c

ax2 + bx + c

3.1. Вычисление интеграла

J1 =

dx

2 + bx + c

∫ax

Преобразуем трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:

2

2

b

c

2

b

b

2

c

b 2

ax

+bx + c = a

x

+

a

x +

= a x

+ 2

x +

+

−

=

2a

a

a

2a

2a

b

2

c

b

2

b

2

± k 2

= a x +

+

−

= a x +

,

2a

2

2a

a

4a

где введено обозначение

c

−

b2

= ±k2.

a

4a2

Знак «+» или «–» берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т. е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.

Таким образом,

	J1	= ∫		dx	= ∫
			ax2	+bx +c

b

dx

1

d

x

+

=

∫

2a

.

b

2

a

b

2

± k 2

± k 2

a x +

x +

2a

2a

26

x

b

+ 2a

«+»,

1

arctg

,

если знак "

",

ak

dx

k

J

=

∫

=

b

1

ax

2

+bx +c

1

x

+

−k

2a

ln

,

если

знак "−".

2ak

b

x

+

+ k

2a

dx

J = ∫

Пример 1. Вычислить

.

2x2 +8x + 20

Решение:

dx

= 1

dx

1

dx

J = ∫

∫

=

∫

=

2x2 +8x + 20

2

(x2 + 4x +

4) +6

2

x2 + 4x +10

=

1

∫

(x

dx

=

1

∫

(x

d (x + 2)

=

1

arctg x + 2

+ C.

2

+ 2)2 + ( 6)2

2

+ 2)2 + ( 6)2

2 6

6

Пример 2. Вычислить

J = ∫

dx

.

x

Решение:

2 +3x −10

dx

dx

dx

J = ∫

=

∫

=

∫

=

x2 +3x

3

9

7 2

−10

(x +

)2 −

−10

(x +

3

)

2

−

2

4

2

2

1

2

ln

x +

3

−

7

1 ln

x − 2

=

2

2

+C =

+C .

3

7

x +5

2 7

x

+

+

7

2

2

3.2. Вычисление интеграла J2 =

Ax + B

dx

∫ax2 + bx + c

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции с таким умыслом, чтобы в числителе появилось выражение, равное производной от знаменателя:

			A	(2ax +b)+ B −		Ab
	Ax + B
			2a
J2 = ∫		dx = ∫				2a		dx.
	ax2 +bx + c			ax2 +bx + c

27

Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

A

2ax +b

Ab

dx

J2

=

∫

dx

+

B −

∫

=

2a

ax2 +bx + c

2a

ax2

+bx + c

A

d

(ax2 +bx + c)

Ab

dx

=

∫

ax2 +bx + c

+

B −

∫

=

2a

ax2

+bx + c

2a

(теперь становится понятной наша хитрость с выделением выражения в числителе)

A

ax2 + bx

Ab

=

ln

+ c

+ B

−

2a

J1 + C.

2a

Итак, J2

A

2 + bx + c

Ab

=

ln

ax

+

B −

2a

J1

+ C.

2a

Пример 3. Вычислить J = ∫

x +3

dx.

x2 −2x −5

Решение:

1

1

x +3

(2x −2) +(3 +

2)

J = ∫

dx = ∫

2

2

dx =

x2 −2x −5

x2 − 2x −5

=

1

∫

2x − 2

dx +

4 ∫

dx

= =

1

∫

d(x2 − 2x −5)

dx +

2

x2 − 2x

−5

x2

2

x2 − 2x −5

−2x −5

+ 4∫

dx

=

1 ln x2 − 2x −5 +

4

ln

(x −1) − 6

+ C.

(x −1)2 − ( 6)2

2

2 6

(x −1) + 6

3.3. Вычисление интеграла

J3 =

∫

dx

ax2 + bx + c

Применяя те же преобразования, что и для интегралов J1 , можно по-

казать, что этот интеграл сводится выделением полного квадрата, в зависимости от знака a, к табличным интегралам:

a > 0 : J3 = ∫	2	dx	=	1	∫		dx		2	=
ax		+bx + c		a			b
										± k 2
						x +
							2a

28

d

x +

b

1

1

b

b

=

a

∫

2a

=

ln x +

2a

+

x +

± k 2 +C.

b

2

a

2a

± k 2

x

+

2a

b

dx

1

d

x +

a < 0 : J3 = ∫

=

∫

2a

=

ax2 +bx + c

− a

b

2

k 2

− x +

2a

1

x +

b

=

arcsin

2a

+C.

k

−a

Пример 4. Вычислить ∫

dx

.

x2 + 2x +5

Решение:

∫

dx

= ∫

dx

= ln x +1 + x2 + 2x + 5 + C.

(x +1)2 + 4

x2 + 2x +5

Пример 5. Вычислить ∫

dx

.

−3x2

+ 4x −1

Решение:

2

2

x −

dx

= 1

d(x −

)

1

arcsin

∫

∫

3

=

3

+C =

−3x2 + 4x −1

3

1

−(x

2

)

2

3

1

−

3

1

9

3

=

arcsin(3x −2) +C.

3

3.4. Вычисление интеграла J4

=

Ax + B

dx

∫

ax2 + bx + c

Этот интеграл вычисляется при помощи преобразований, аналогичных разд. 3.2, т. е. выделением в числителе выражения, равного производной от подкоренного выражения, стоящего в знаменателе:

29

A

(2ax + b)+ B −

Ab

Ax + B

dx = ∫ 2a

J4 = ∫

2a dx =

ax2 +bx + c

ax2 + bx + c

=

A

∫

2ax +b

dx

+

Ab

∫

dx

=

2a

ax2 +bx + c

B −

ax2

+bx + c

2a

=

A

∫

d(ax2 +bx + c)

+

Ab

∫

dx

=

2a

ax2 +bx + c

B −

ax2

+bx + c

2a

=

A

Ab

+C .

2a

2 ax2 +bx + c + B −

J3

2a

Итак, J4 =

A

ax2 +bx + c +

−

Ab

a

B

J3 +C .

2a

Пример 6. Вычислить ∫

5x +3

dx .

Решение:

x2 + 4x +10

5

5x + 3

(2x + 4) + (3 −10) dx =

∫

dx = ∫

2

x2 + 4x +10

x2 + 4x +10

= 5 ∫

2x + 4

dx − 7∫

dx

=

2

x2 + 4x +10

(x

+ 2)2 +( 6)2

= 5 x2 + 4x +10 −7 ln x + 2 + (x + 2)2 + 6 +C =

= 5 x2 + 4x +10 −7 ln x + 2 + x2 + 4x +10 +C.

Пример 7. Вычислить ∫

3x + 4

dx .

Решение:

− x2 + 6x −8

3

(−2x + 6) +13 dx =

3x + 4

dx = ∫ −

∫

2

− x2 + 6x −8

− x2 +6x −8

= −

3 ∫

− 2x + 6

dx + 13∫

dx

=

2

− x2 + 6x −8

1 −(x −3)2

= −3

− x2 + 6x −8 +13 arcsin(x −3) + C.

30