неопр.ин-л лекции и практики

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Основная задача дифференциального исчисления – найти для заданной функции ее производные (или дифференциалы). Интегральное исчисление решает обратную задачу нахождения функции по заданной ее производной (или дифференциалу).

1.1. Определение неопределенного интеграла

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной (для) функ-

ции f(x) на некотором множестве значений Х, если F΄(x) = f(x) на этом множестве.

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a;b] функция f (x) имеет

на этом отрезке первообразную.

Теорема 2. Если функции F(x) и G(x) являются первообразными одной и той же функции f (x) на некотором множестве, то необходимым и

достаточным условием этого является то, что G(x) = F(x) + C, где С – любая постоянная.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть F(x) – первообразная f (x) , т. е. F΄(x) = f(x). Тогда для любого

числа C (F(x) + C)΄= F΄(x) + C΄= F΄(x) + 0 = f(x), т. е. F(x) + C – первообраз-

ная f (x) .

Необходимость.

Пусть F(x) и G(x) – две различные первообразные одной и той же функции f (x) . Тогда (F(x) – G(x))΄= F΄(x) – G΄(x) = f(x) – f(x) = 0, следова-

тельно, F(x) – G(x) = C (по следствию из теоремы Лагранжа). Теорема доказана.

Таким образом, если функция на данном множестве имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много, причем все они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f (x) на некотором множестве называется ее неопределенным интегралом.

Обозначение: ∫ f (x)dx = F(x) +C .

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – по-

дынтегральным выражением.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.

Например:

∫2x dx = x2 +C , т. к. (x2 +C)′ = 2x или d(x2 +C) = 2xdx .

Сгеометрической точки зрения неопределенный интеграл пред-

ставляет собой однопараметрическое семейство кривых	y = F(x) +C
(C – параметр).
На рисунке изображен неопределенный интеграл x2 +C	от функции
f (x) = 2x , т. е. семейство парабол y = x2 +C .

Кривые семейства [ F(x) +C ] называют интегральными кривыми.

Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Oy .

1.2. Свойства неопределенного интеграла

Укажем основные свойства неопределенного интеграла, вытекающего непосредственно из его определения:

1. d ∫ f (x)dx = d(F(x) +C) = F′(x)dx = f (x)dx.

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

	2		x3		x3		′		2
Например, ∫ x		dx =		+C , т. к.				= x		.
			3			3

2. ∫dF(x) = ∫F′(x)dx = ∫ f (x)dx = F(x) + C.

2

3. ∫( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx.

Действительно, ∫( f (x) + g(x))dx = F(x) +G(x) +C,

а ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx = F(x) + C1 + G(x) + C2 . Но поскольку С1 + С2 – произвольная постоянная, выражения в левой и правой частях равны.

4. ∫kf (x)dx = kF(x) + C1 = k(F(x) + Ck1 ) = k(F(x) + C) = k ∫ f (x)dx.

Замечание. Все перечисленные свойства формулировались и доказывались в предположении, что на некотором множестве существуют первообразные функций f(x) и g(x), равные соответственно F(x) и G(x).

	5. Инвариантность формулы интегрирования.
	Если ∫ f (x)dx = F(x) +C,		то и ∫ f (u)du = F(u) +C,	где u = ϕ(x) – про-
извольная функция, имеющая непрерывную производную.
	Действительно, пусть x – независимая переменная, f (x) – непрерыв-
ная функция, F(x) – ее первообразная. Тогда ∫ f (x)dx = F(x) +C .
	Положим теперь u = ϕ(x) , где ϕ(x) – непрерывно-дифференцируемая
функция.
	Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(ϕ(x)). В силу инвариантно-
сти	формы	первого	дифференциала	функции	имеем

dF(u) = F′(u)du = f (u)du .

Отсюда ∫ f (u)du = ∫d(F(u)) =F(u) +C .

Замечание. Данное свойство утверждает, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимого от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Так, из формулы ∫ x2dx =			x3	+C следуют следующие соотношения:
		3
2	d(sin x) =	sin3 x			2	ln3 x	+ C
∫(sin x)		3			+ C , ∫(ln x) d(ln x) =	3

ит. д.

6.Если подынтегральная функция f (x) четная (нечетная), то первооб-

разная функция будет соответственно нечетной (четной).

Доказательство.

Пусть f (x) – четная функция, т. е. f (−x) = f (x) . Рассмотрим инте-

грал ∫ f (x)dx = F(x) .

Найдем значение F(−x) = ∫ f (−x)d(−x) = ∫ f (x)d(−x) = −F(x) . Таким образом, F(−x) = − F(x) , т. е. первообразная F(x) – нечетная.

3

1.3. Таблица интегралов

Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что таблицу основных интегралов можно получить из таблицы основных производных, считая производные табличных функций подынтегральными функциями, а сами функции – их первообразными.

В приведенной таблице переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству 5 предыдущего пункта).

1.

∫uαdu = uα+1

+C, α ≠ −1.

2. ∫du = ln | u | +C.

α +1

u

3. ∫au du =

au

+ C, a > 0, a ≠1.

4. ∫eu du = eu +C.

ln a

5.

∫sin udu = −cosu + C.

6. ∫cos udu =sin u + C.

7.

∫

du

= tg u + C.

8. ∫

du

= −ctgu + C.

cos2 u

sin 2 u

9. ∫

du

=

1

arctg

u

+ C = −

1

arcctg

u

+ C.

u2 + a2

a

a

a

a

10. ∫

du

= arcsin u +C = −arccos u +C.

a2 −u2

a

a

Можно добавить к этой таблице еще несколько формул, не следующих непосредственно из таблицы производных, но удобных для вычисления многих интегралов, а именно:

du

1

u − a

+ C.

11.

∫

=

ln

u2 − a2

u + a

2a

12.

∫

du

= ln | u +

u2 ± a2 | +C.

u2 ± a2

+ a2

13. ∫

u2

+ a2 du = u

u2

+ a2

ln u +

u2 + a2 + C .

2

2

14. ∫

u2

− a2 du = u

u2

− a2

+ a2

arcsin u

+ C .

2

2

a

Справедливость этих формул следует из того факта, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями. Эти формулы мы докажем в следующем параграфе.

4

2. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.

2.1. Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Примеры:

		1					1		1								−	1							−	1						−		1
1. ∫			+					+										2 dx + ∫ x																4 dx =
						3	x		4			dx = ∫ x														3 dx + ∫ x
		x								x
			1								2									3
									3 x				+ C				+ 4 x								= 2 x + 3 3 x2 + 4 4 x3 + C.
= 2x				2	+ C +							3				2				4	+ C			3
							1		2								3															2					3
2. ∫tg2 xdx = ∫								sin2 x					dx =			∫	1 −cos2 x						dx			= ∫				dx					− ∫dx = tg x −x +C.
								cos		2	x						cos			2	x								cos		2	x
3. ∫			dx				= ∫						dx					=			1	∫							dx						=		1 arcsin	x			+C.
		2 −3x2									3(			2	−x2 )						3						2			2					2		3	2
													3																		− x							3
																											3

2.2. Подведение под знак дифференциала

Данный метод опирается на свойство 5 неопределенного интеграла о его инвариантности: если ∫ f (x)dx = F(x) +C, то и ∫ f (u)du = F(u) +C, где u = ϕ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

При этом необходимо помнить таблицу дифференциалов:

1

1

1

1.

dx = d(x + a)

2. xdx =

2 dx2

3.

x2dx =

3 dx3

4.

x3dx =

4 dx4

5.

dx

= 2d x

6. sin xdx = −d cos x

7.

cos xdx = d sin x

8.

dx

= d tg x

x

cos2 x

5

dx

10.

dx

11.

dx

1

9.

sin 2 x = −d ctg x

x = d ln x

x2 = −d( x)

12.

exdx = dex

13.

a xdx =

1

da x

14.

dx

= d arctg x

ln a

1 + x2

15.

dx

dx

1 + x2 = d arctg x =− d arcctg x

16.

1 − x2 = d arcsin x =− d arccos x

Примеры:

1. ∫

(2x +3)2 dx =

1 ∫(2x +3)2 d(2x +3) =

(2x +3)3

+C.

6

2

1

d(x + 4) = 2 (x +

3

+ C = 2(x + 4) x + 4 + C.

2. ∫

x + 4 dx = ∫(x + 4)

2

4)

2

3

3

3. ∫

x

dx = 1

∫ d(x2 )

= 1 ∫

d(x2 +1) =

1 ln (1 + x2 )+C.

x2 +1

2

1 + x2

2

1 + x2

2

4.∫tg x dx = ∫cossin xx dx = −∫d(coscos xx) = −ln cos x + C.

5.∫sindxx = ∫sinsinxdx2 x = −∫1d−(coscos2x)x = −12 ln 11 +− coscos xx + C.

dx

d( π − x)

2d( π −

x

)

π

x

2

4 2

+ C.

6. ∫

= −∫

= ∫

=− tg

−

1

+ sin x

π

x

4

1

+ cos(

− x)

2cos

2

(

π

−

)

2

2

4

2

2.3. Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема. Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция x = ϕ(t) – на множестве Φ, причем ϕ(t) X t Φ. Тогда, если функция

f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а ϕ (t) дифференцируема на Φ, то

′	(1)
∫ f [ϕ(t)] ϕ (t)dt =∫ f (x)dx.

Доказательство.

Для того чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что производные по х от левой и правой части совпадают.

Производная от левой части (∫ f (x)dx)/x = f (x).

6

dx dt

Производная правой

части

– производная

сложной функции:

′

dt

1

= ϕ (t) , и по правилу дифференцирования обратной функции

=

.

dx

′

Таким образом, имеем

ϕ (t)

dt

′

/

′

/

(∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt)x

=

(∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt)t dx

=

= f (ϕ(t))ϕ′(t)

1

= f (ϕ(t)) = f (x) .

′

ϕ (t)

Теорема доказана.

Замечание 1. Полученную формулу называют формулой интегрирования подстановкой.

Замечание 2. Часто удобно бывает использовать полученную формулу «в обратную сторону»:

∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt ,

т. е. заменять переменную х функцией новой переменной t.

Эта формула носит название формулы интегрирования заменой переменной.

Примеры:

1. ∫ x x −3dx =

= ∫

x −3 =t, x =t2 +3		=
dx = 2tdt
t(t 2 + 3)2tdt =	2∫t 4dt + 6∫t 2dt =

							2				5				6		3						2				5
				=						t			+			t		+ C =						(x −3) 2
							5								3								5
2. ∫			dx		=	ex						=t, x = ln t											=	∫		dt
	1		+ ex								dx = dt							/ t							t(t +1)
				1									1	+ t			−		1							t
			=						ln				2					2				+ C = ln
				2		1							1	+ t			+		1							t +1
						2							2					2

3

+ 2(x −3) 2 + C.

= ∫		dt				=
		1	2
					1
	t +			−
		2			4

+ C = ln	ex
		+ C.
	ex +1

7

2.4. Интегрирования по частям

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует интеграл ∫vdu , то на нем существует и

интеграл ∫udv, причем ∫udv = uv − ∫vdu.

Доказательство.

d(uv)= vdu + udv ,

поэтому

∫d(uv)= ∫(vdu +udv),

или

∫(vdu +udv)= uv , откуда ∫udv = uv − ∫vdu , что и требовалось доказать.

Этот метод применяется чаще всего к интегралам вида ∫Pn (x) f (x)dx,

где Pn (x) – многочлен, а f (x) – любая элементарная функция.

При этом удобно пользоваться следующей таблицей:

Вид интеграла

u

dv

∫Pn (x)ekxdx

Pn (x) ,

ekxdx

∫Pn (x) sin kx dx

каждое применение интегрирования

sin kx dx

по частям понижает степень Pn (x) на

∫P(x)n cos kx dx

cos kx dx

единицу

∫Pn (x) arcsin kx dx

arcsin kx dx

∫Pn (x) arccos kx dx

arccos kx dx

∫Pn (x) ln kxdx

ln kxdx

Pn (x)dx

∫Pn (x) arctg x dx

arctg x dx

arcctg x dx

∫Pn (x) arcctg x dx

∫eax sin bx dx

e

ax

, и после

∫eax cos bx dx

sin bx dx

двукратного применения интегриро-

∫sin(ln x)dx

вания по частям приходим к исход-

cos bx dx

ному интегралу в правой части

∫cos(ln x)dx

с каким-либо коэффициентом

Примеры:

u = x

du = dx

= x sin x −

∫sin xdx =

1. ∫ x cos xdx =

dv = cos xdx

v =sin x

= x sin x + cos x +C.

dx

u = ln x

du =

x

x2

ln x − ∫

x2 dx

2. ∫x ln xdx =

x2

=

=

2

2 x

dv = xdx

v =

2

8

=

x2

ln x −

x2

+C.

2

4

dx

u

= arctg x

du =

x2

x2

x2 +1

dx

3. ∫xarctg xdx =

=

ln x − ∫

=

x2

2

2

x2 +1

dv = xdx

v =

2

x2

1

dx

x2

1

1

=

arctg x −

∫dx − ∫

=

ln x −

x

+

arctg x + C.

2

2

x

2

2

2

2

+1

2

du

2 e3x

2

4. ∫x

2

e

3x

dx

u = x

= 2xdx

= x

−

∫x e

3x

dx

=

=

e3x

3

3

dv = e3xdx v =

3

u = x

du = dx

2 e3x

2

e3x

1

=

=

x

−

2

−

∫e

3x

=

3x

dx

v =

e3x

3

3

x

3

3

dx

dv = e

3

e3x

e3x

= x

2

−

2

xe

3x

+

2

e

3x

+C =

(9x

2

−6x + 2) +C.

3

9

27

27

5. Рассмотрим так называемый возвратный интеграл:

= e

x

du = e

x

dx

J = ∫ex sin xdx = u

=

dv = sin xdx

v = −cos x

= −ex cos x + ∫cos xexdx =

x

du = e

x

=

u = e

dx

dv = cos xdx

v = sin x

= −ex cos x + ex sin x − ∫sin xexdx = −ex cos x +ex sin x − J.

Таким образом,

J = ex (sin x −cos x) − J

2J = ex (sin x −cos x), т. е.

J= 12 ex (sin x −cos x) +C.

6.Получим так называемую рекуррентную формулу для интеграла

Jn = ∫( 2 dx 2 )n : x +a

Jn = ∫

dx

=

1

∫

a2

+ x2 − x2

dx =

1

Jn−1

−

1

∫

x2

dx =

(x2 + a2 )n

a2

(x2 + a2 )n

a2

a2

(x2 + a2 )n

9

u = x

d (x2 + a2 )

du = dx

xdx

1

1

1

1

=

=

dv

=

=

v

=

(x2 + a2 )n

2

(x2 + a2 )n

2

n −1

(x2 + a2 )n−1

1

1

x

1

dx

=

2 Jn−1 −

2

2

n−1

−

∫

2

2

a

2a

2

(1 − n)(x

+ a

)

1

− n

(x

+ a

)

n−1 .

1

1

x

1

=

J

n

−1

−

+

J

n−1

.

2

2

2

2

n−1

a

2a

(1 − n)(x

+ a

)

n −1

Таким образом,

1

x

1

2

J

n

=

+ J

−

,

2

2

2

2

2

2a

(n −1)(x

+ a

)

n−1

n−1

2a

a

(n −1)

или окончательно

x

2n −3

Jn =

+

Jn−1

.

2a2 (n −1)(x2 + a2 )n−1

a2 (2n −

2)

Теперь, начиная с J1 = ∫

dx

=

1

arctg

x

+ C , можем найти

x2 + a2

a

dx

a

x

x

J2

= ∫

=

2 2 −

3

1

arctg

+

1

=

(x

2 + a2 )2

2 (2 −1)a2

2

(2

−1)a2

(x2

+ a2 )2−1

a

a

=

1

arctg

x

+

x

1

+ C;

2a3

a

2a2

x

2 + a2

J3 = ∫

dx

=

(x2 +a2 )3

2 3 −3

1

x

x

x

1

=

arctg

+

+

=

3

2

2

2

2

2

2

3−1

2 (3 −1)a

2

2a

a

2a

(x

+ a

2

(3 −1)a

(x

+ a

)

)

3

1

x

x

x

1

=

arctg

+

+

+C и т.д.

2

3

2

2

2

2

2

2

2

4a

2a

a

2a

(x

+ a

)

4a

(x

+ a

)

10