ЛЕКЦИЯ 3.1. Дифференцируемость (1 с.) +

1

ЛЕКЦИЯ 3.1

Математический анализ

Дифференцируемость функций одного переменного

Пример из механики. Рассмотрим сначала пример из механики. Пусть точ-

ка M перемещается в пространстве R3 , описывая с течением времени t (параметра) некоторую траекторию, из положения M1 , соответствующего моменту

времени t1 , в положение M n , соответствующее моменту времени tn . Введём раз-
биение промежутка	изменения параметра		tk ,	точками	tk ,	где
k 1, 2, , n (рисунок 3.1):
n t0 t1 t2 tk 1 tk			tn .		(3.1)
Каждой точке разбиения промежутка изменения параметра tk , соответ-
	R3
ствует в пространстве		положение точки	M k с радиус-вектором		x k	на её

траектории. По определению движение точки – это отображение оси изменения параметра (времени) в пространство R3 , то есть, оператор

W t : , R1	R3 .		(3.2)
	X 3	M k 1	M k

x k

		x k 1
			x k
			x n
	x	1
		O	X 2

X 1	tk 1	tk 1
				t
	Рис. 3.1.

2

Конструкцию движения точки можно описать следующим общим законом,

который называется параметризацией движения:

x t w1

t e1

w2 t e 2

w3 t e 3 ,

(3.3)

, e 2 ,

e

где e1

3

– базис декартовой системы координат. Если все компоненты

wk t k 1, 2, , n как функции одного переменного t

непрерывны на про-

межутке

J

, ,

то образ промежутка

J

, при движении W t на-

.

зывается путь, и обозначается W

J

Если M k 1

и M k – два произвольных близких положения точки на пути,

соответствующие соседним точкам tk 1 и tk разбиения (3.8) промежутка измене-

ния параметра J , , то вектор смещения

	def
x k	x k t x k 1 t
				w3	tk w3 tk 1
w1 tk w1 tk 1 e1			w2 tk w2 tk 1 e1			e1.

(3.4)

Деля обе части (3.4) на длину tk частичного промежутка изменения параметра Jk tk 1, tk , получаем среднюю скорость перемещения точки по пути:

def

x k t x k 1 t

V ср.

x k

tk

tk

w1 tk w1 tk 1

w2 tk w2 tk 1

w3

tk w3 tk 1

e1

e1

e1 .

tk

tk

tk

(3.5)

Переходя в (3.5) к пределу при условии max tk

0, получаем вектор мгно-

венной скорости, или просто вектор скорости, точки:

def

x k

x k t x k 1 t

V

lim

lim

max tk 0 t

k

max tk 0

t

k

t

w

t

3

w

k 1

lim

j

k

j

e j V1 t e1 V2

t

e 2

V3 t e 3 .

tk

max tk 0

j 1

(3.6)

3

Пределы			отношений приращений компонентов вектора смещения
wj M k , соответствующих приращению длины частичного промежутка изме-
нения параметра tk				wj M k ,
v		t	lim
		def
	j
		max tk 0		t
				k

если они существуют, называются производными компонентов радиус-вектора

точки по времени (параметру) и обозначаются

dwj t

v j tk

t tk w j t .

dt

Теперь вектор скорости точки в произвольный момент времени t

можно записать

так:

t

dwj t

d x

3

3

V

e j

v j t e j .

(3.7)

dt

j 1

dt

j 1

Дифференцируемость функции одного переменного. Для строгого опре-

деления понятий дифференцируемости и производной нам потребуется наложить дополнительное условие на множество определения рассматриваемых функций. Дело в том, что дифференциальное исчисление связано с выполнением предель-

ного перехода при x x0 , где x и x0 – точки множества M определения рас-

сматриваемой функции		f . Естественным требованием является отсутствие «раз-
рывов» во множестве M , то есть, это множество должно быть в определённом
ниже смысле слова сплошным, как говорят, континуальным.
	Определение 3.1.	Точка x0 M называется изолированной точкой
множества M , если существует окрестность U x0 этой точки, не содер-
жащая других точек множества M .
	Пример 3.1. Очевидно, что множество
	M x R : a, x0 M , x0 , b M , x0 M
содержит изолированную точку x0 ,			которая «отделена» от	M некоторой	-
окрестностью. Причём число 0			выбрано так, что числа	x0 и x0
принадлежат множеству M .
	Дальше будем рассматривать функции с множеством определения M , не
содержащим изолированных точек.			Таким образом, далее предполагается,		что
каждая точка рассматриваемого далее множества M является предельной, то
есть,	в каждой окрестности произвольной точки x0 M , сколь бы мала она ни
была,	содержится бесконечно много других точек x x0 , x M . Множество

M в этом случае и будет континуальным множеством.

4

Определение 3.2. Множество M R1 называется допустимым (континуальным), если каждая точка x M является его предельной точкой.

В частности, континуальным является множество всех действительных чисел, а также любое его подмножество. Для практических приложений представляет интерес выяснить вопрос о поведении функции в окрестности предельной точки континуального множества.

Пример 3.2. Пусть, например, функция определёна на всём множестве дей-

ствительных чисел	R формулой	f x x3 . Изучим вопрос о поведении этой
функции в малой окрестности произвольной точки x0 R .
Р е ш е н и е.	Для каждой точки x из некоторой окрестности точки x0 R
введём обозначение x x0 x . Тогда имеем:
f x f x x x x 3 x3			3x2	x 3x x 2 x 3
0	0	0	0	0
f x0	D x0 x x ,

где введены обозначения

f x0 x03 , D x0 3x02 , x 3x0 x 2 x 3 .

Видим, что данная функция в малой окрестности указанной точки может быть

представлена суммой постоянной функции, линейной по

x x0 x функции

(бесконечно малой при

x x0

функции первого порядка) и бесконечно малой

при x x0 функции более высокого порядка относительно x x x0 .

Определим понятия дифференцируемости функции, и одно из основных

понятий математического анализа – понятие производной.

Определение 3.3.

Пусть

M R1

– допустимое множество. Действи-

тельная

функция

f : M f M

называется дифференцируемой

в точке

x0 M , если выполняется условие:

U x0 M : x U x0

f x f x0 D x0 x x0 x x0 ,

(3.8)

где

lim

x x0

0 .

x x0

x x

0

Рассмотрим определение дифференцируемости подробнее. Из (3.8) следует,

что

x f x0

o x x0

f

D x

,

x x0

0

x x0

где

lim

x x0

0 .

Отношение

f x f x0

называется

конечно-

x x

x x

x x0

0

0

разностным отношением. Применяя критерий существования предела с беско-

lim

x x0

5

нечно малыми, получаем, что предел при x x0 конечно-разностного отноше-

ния существует и равен

f x f x0 D x0 . (3.9) x x0

Определение 3.4. Пусть f – функция, определённая на множестве

M R1 и дифференцируемая в точке x0 M . Тогда величина D x0 , определяемая предельным соотношением (3.9), называется первой производной функ-

ции f в точке x0 и обозначается

f ' x

f 1 x

df

x .

0

0

dx

0

Из (3.9) следует, что первая производная для дифференцируемой функции

f , вычисленная в каждой точке

x0 M , является

значением непрерывной

функции

f x f

x0

D x

,

x x0

определённой в окрестности точки x0 , то есть x U x0 . Из (3.8) непосред-

ственно следует, что

f x f x x x

D x

x x0

x x D x ,

0

0

0

x x0

0

а в силу непрерывности функции D x , выполняется условие

f x f x0

lim D x lim

lim D x0

x x0 D x0

.

x x0

x x0

x x0

x x0

x x0

(3.10)

Это условие эквивалентно определению 3.3. Поэтому определение дифференцируемой функции можно переформулировать так.

Определение 3.5. Пусть M R1 – допустимое множество.			Действи-
тельная функция	f : M f M называется	дифференцируемой	в точке
x0 M , если существует окрестность U x0 M такая, что:
1) x U x0 определена функция D x , непрерывная в точке x0 ;
2) для любых x U x0 таких, что x x0 , справедливо равенство
f x f x0 x x0 D x .		(3.11)
Если функция	f : M f M дифференцируема в каждой точке x M ,

то она называется дифференцируемой на множестве M . В этом случае основ-

6

ное соотношение, определяющее первую производную функции f , опуская нуль при независимой переменной x и обозначая x x0 x , можно записать так:

	def	f x x f x
	f ' x lim		.	(3.12)
	x 0	x
	Если первая производная функции f			сама является дифференцируемой на

множестве M функцией, то можно найти производную от неё, которая называется второй производной функции f . И вообще, из (3.9), или что то же самое из

(3.12), следует рекуррентное определение производных в точке x M , если они существуют, любого конечного порядка n :

	d n f			d d n 1 f
			x						x .	(3.13)
	dx	n						n 1
				dx dx
Если у функции							f : M f M в точке			x M существуют производ-

ные до порядка n включительно, то она называется n раз дифференцируемой в этой точке. Аналогично определяется n кратная дифференцируемость функции f на всём множестве M .

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3.1. Если функция f , определённая на множестве M , дифференцируема в точке x0 M , то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость утверждения следует из того, что функция в правой части (3.8) непрерывна в точке x0 .

Дифференциал функции. Рассмотрим соотношение (3.8) с несколько дру-

гой точки зрения, переписав его в виде:

f x

f x f x

df

x

x x

2

x x ,

(3.14)

0

0

dx

0

0

0

где 2 x x0 м – бесконечно малая при x x0 функция, второго порядка от-

носительно

x x0 . Из

(3.14) следует, что приращение f x0 f x f x0

функции f

при смещении из точки x0

в близкую точку x отличается от линей-

ной по смещению величины

df

x

x x на бесконечно малую при x x

dx

0

0

0

функцию 2 x x0

второго порядка

относительно приращения

аргумента

функции x x0 .

Определение 3.6. Линейная по смещению x x0

часть

def

df x

df

x

x x

f ' x

x x

(3.15)

0

dx

0

0

0

0

7

в представлении (3.11) приращения f x0 f x f x0 дифференцируемой в точке x0 функции f , называется первым дифференциалом этой функции в

точке x0 .

По аналогии с (3.10) на основе определения (3.12) вводится понятие дифференциалов функции второго, третьего, , n -го порядков.

Лемма 3.2. Производная линейной функции, определённой на множестве действительных чисел R1 формулой

fx x,

влюбой точке x0 R равна 1.

До к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно следует из (3.12). Рассмотрим (3.8) для функции f x x, обозначив x x0 x . Тогда из

(3.8) и леммы 3.2 получаем: dx x x0

x . Отсюда имеем

df x

df

x

dx.

(3.16)

0

dx

0

x0

f ' x0

df

Из (3.16) следует, что обозначение

имеет простой смысл отно-

dx

шения двух величин – дифференциала df x0 функции в точке x0 и приращения

dx x x0

x ,

которое называется дифференциалом независимой переменной x .

Выясним геометрический смысл первого дифференциала функции

f в точ-

ке x

. Очевидно, что

df

x

tg . С другой стороны, очевидно, что

0

0

dx

tg

f x

f

x0

,

x

откуда следует равенство

f x f

x

tg x

df

x

x x

df x .

(3.17)

0

dx

0

0

0

Из последнего равенства видно, что значение дифференциала функции в точке x0 приближённо равно приращению значения дифференцируемой функции

при перемещении из точки x0 в «близкую» к ней точку x .

Схема вычисления производной дифференцируемой функции. Пусть
задана функция f : M f M , дифференцируемая в точке x M .
1) Вычисляем значение f x x функции f в точке	x x , где x –
такое приращение аргумента, что точка x x M .
2) Вычисляем приращение f x x f x функции	f , соответствую-

щее приращению аргумента x x x .

8

3) Составляя конечно разностное отношение

f x x f x

и вычис-

x

ляя его предел

lim

f x x f x

df

x ,

x 0

x

dx

находим производную функцию для функции f .

4) Если

требуется,

вычисляем значения

df

x в заданных точках x

dx

k

k 1, 2, .

Вычисленные производные элементарных функций сводят в таблицу, простейший вариант которой представлен ниже.

	Функция	Производная
	f x c	f ' x c' 0
	f x x	f ' x 1
	f x xn	f ' x n xn 1
	f x ax	f ' x ax ln a
	f x ex	f ' x ex
	f x ln x	f ' x				1
						x
	f x loga x	1
		f ' x
				x ln a
	f x sin x	f ' x cos x
	f x cos x	f ' x sin x
	f x tgx	1
		f ' x
				cos2 x
	f x ctgx	1
		f ' x
					sin2 x

Рациональные операции с производными. Для практического примене-

ния дифференциального исчисления нужно уметь вычислять производные и дифференциалы от различных комбинаций функций.

Теорема 3.1. Пусть функции f , f1, f2 определены на одном и том же множестве M и дифференцируемы в точке x0 M . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) сумма f1 f2 дифференцируема в точке x0 и имеет место формула

9

	f1 f2 ' x0 f1' x0 f2 ' x0 ;					(3.18)
	2) если c R1 , то функция cf		дифференцируема в точке x0			и имеет ме-
сто формула
	cf ' x0 cf ' x0 ;					(3.19)
	3) произведение f1 f2	дифференцируемо в точке x0 и имеет место форму-
ла	f1 f2 ' x0 f1' x0	f2 x0 f1 x0 f2 ' x0 ;
							(3.20)
	4) если f x 0 , то функция			1	дифференцируема в точке	x		и имеет
							0
	0			f

место формула

f ' x0

1

' x0

;

f

f x

2

0

5) если f

x

0,

то частное

f1

дифференцируемо в точке

2

0

f2

место формула

f1 ' x0 f2 x0 f1 x0

f2 ' x0

f1

' x0

.

2

f2

f2 x0

(3.21)

x0 и имеет

(3.22)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение 3, используя определение 3.5. По условию теоремы в некоторой окрестности точки x0 сущест-

вуют такие функции D1	и D2 , непрерывные в точке x0 , что
f1 x f1 x0	x x0 D1 x , f2 x f2 x0 x x0 D2 x .

Тогда получаем:

f1 f2 x f1 x0 x x0 D1 x f2 x0 x x0 D2 x

f1 x0 f2 x0 x x0 f1 x0 D2 x f2 x0 D1 x x x0 D1 x D2 x .

Функция в квадратных скобках непрерывна в точке x0 и принимает в ней значе-

ние	f1 f2 ' x0 f1 x0 D2 x0 f2 x0 D1 x0
	f1' x0 f2 x0 f1 x0 f2 ' x0 ,
что и доказывает утверждение 3.
	Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично, причём утвер-
ждение 5 является следствием утверждения 3.
	Аналогичные правила выполнения рациональных операций с дифференциа-
лами дифференцируемых функций имеют вид:
	1) d f1 f2 x0 df1 x0 df2 x0 ;	(3.23)
	2) d cf x0 cdf x0 ;	(3.24)

10

3)d f1 f2 x0 df1 x0 f2 x0 f1 x0 df2 x0 ;

4)d x x0 ;

f 0 f x0 2

5)d 1 x 1 x0 f2 x0 f1 x0 df2 x0 .

f 0 2

2 f2 x01 dff df

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Заметим, что можно получить формулы для производных высшего порядка от произведения различного числа функций. Однако запоминание этих формул является затруднительным. Поэтому проще, хотя вероятно и несколько более громоздко, получать все соотношения с производными, используя только приведённые правила для производных первого порядка и проводя все выкладки каждый раз заново.

Дифференцируемость композиции функций. Справедлива следующая важная теорема о производной композиции двух функций.

Теорема 3.2.		Пусть M и N – допустимые множества действительных
чисел и	f : M f	M N , g: N g N – некоторые функции. Тогда, если
функция	f дифференцируема в точке x0 M , а функция g дифференцируема в
точке f x0 N ,		то композиция функций g f дифференцируема в точке

x0 M , и при этом

g f ' x0 g' y0 f ' x0 , (3.28)

где y0 f x0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функции f в точке

x0 M , на множестве M определена непрерывная в этой точке функция		D1
такая, что в соответствии с определением f x f x0 x x0 D1 x		при
x U x0 M , или f x f x0 x x0 D1 x . Аналогично, в силу диф-
ференцируемости функции g в точке y0 f x0 N , на множестве N опре-
делена непрерывная в этой точке функция D2 такая, что в соответствии с опреде-
лением
g y g y0 y y0 D2 y
при y f x V y0 N . В результате имеем:
g y g y0 y y0 D2 y g f x0 f x f x0 D2 f x
g f x0	x x0 D1 x D2 f x
g f x0	x x0 D1 x D2 f x .

Полагая

D x D1 x D2 f x ,