1. Преобразовать исходную выборку в статистический группированный ряд. построить график эмпирических частот (многоугольник распределения) и выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Выдвинуть гипотезы об асимметрии и эксцессе кривой распределения.

2. Вычислить теоретические (гипотетические) частоты для каждого интервала группированного ряда. Построить график теоретических частот и вычислить эмпирическое значение критерия согласия Пирсона.

3. Проверить все выдвинутые гипотезы и дать заключение по результатам анализа.

4. План

5. 1. Преобразовать исходную выборку в статистический группированный ряд, построить график эмпирических частот (многоугольник распределения) и выдвинуть гипотезу о законе распределения генеральной совокупности. Выдвинуть гипотезы об асимметрии и эксцессе кривой распределения.

6. 2. Вычислить теоретические (гипотетические) частоты для каждого интервала группированного ряда. Построить график теоретических частот и вычислить эмпирическое значение критерия согласия Пирсона.

7. 3. Проверить все выдвинутые гипотезы и дать заключение по результатам анализа.

8. Решение

9. n = 100– объем выборки;

10. x_max = 2,37 – максимальный элемент выборки;

11. x_min = -2,42 – минимальный элемент выборки;

12. R = 4,79– размах выборки.

13. Примем k = 10– число интервалов (групп).

14. Вычислим С = R/k =0,479– длина интервала (группы).

16. Таблица 1. Вычисление эмпирических характеристик

    № инт. i	Границы инт. yi	Фиксация частот в интервалах
    1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
    	-2,42
    1		||	2	-2,181	-4,361	-2,213	9,7946	-21,68	47,967
    	-1,941
    2		|||||	5	-1,702	-8,508	-1,734	15,033	-26,07	45,201
    	-1,462
    3		||||||||	8	-1,223	-9,78	-1,255	12,6	-15,81	19,844
    	-0,983
    4		|||||||||||	11	-0,744	-8,179	-0,776	6,6236	-5,14	3,9884
    	-0,504
    5		||||||||||||||||||||	20	-0,265	-5,29	-0,297	1,7639	-0,524	0,1556
    	-0,025
    6		||||||||||||||||||	18	0,2145	3,861	0,182	0,5964	0,1086	0,0198
    	0,454
    7		||||||||||||||||||||	20	0,6935	13,87	0,661	8,7389	5,7766	3,8185
    	0,933
    8		||||||||||||	12	1,1725	14,07	1,14	15,596	17,779	20,269
    	1,412
    9		||	2	1,6515	3,303	1,619	5,2425	8,4876	13,742
    	1,891
    10		||	2	2,1305	4,261	2,098	8,8034	18,47	38,75
    	2,37
    Сумма			100		3,248		84,792	-18,6	193,75

18. Построим график эмпирических и теоретических частот (рис. 1) по данным граф 4 и 5 (табл. 1).

20. 

21. Рис. 1. График эмпирических и теоретических частот

23. Нулевая гипотеза о распределении:

24. Н₀ = {Распределение нормальное}.

25. Числовые характеристики и гипотезы:

26. = 3,248/100 = 0,03248 – оценка математического ожидания (среднее арифметическое);

27. –оценка среднего квадратического отклонения;

28. –оценка центрального момента 3-го порядка;

29. –оценка центрального момента 4-го порядка;

30. –асимметрия эмпирической кривой;

31. Н₀ = {А = 0} нулевая гипотеза об асимметрии;

32. –оценка среднего квадратического отклонения асимметрии;

33. –эксцесс эмпирической кривой;

34. Н₀ = {E = 0} нулевая гипотеза об эксцессе;

35. –оценка среднего квадратического отклонения эксцесса;

36. –эмпирическое значение критерия согласия Пирсона (критерия );

37. –критическое значение критерия Пирсона, полученное для доверительной вероятности 0.95 (т. е. на уровне значимости q = 0.05 = 5%) и числа степеней свободы r = k – 3 = 7.

39. Таблица 2. Вычисление теоретических характеристик

    № инт. i	Границы инт. yi	ti	F(ti)	Pi	ni		- ni
    1	2	-2,65	0,004
    	-2,42			0,012	1,25	2	0,75	0,46
    1		-2,132	0,016
    	-1,941			0,037	3,67	5	1,33	0,48
    2		-1,615	0,053
    	-1,462			0,083	8,31	8	-0,31	0,01
    3		-1,097	0,136
    	-0,983			0,145	14,48	11	-3,48	0,84
    4		-0,58	0,281
    	-0,504			0,194	19,42	20	0,58	0,02
    5		-0,062	0,475
    	-0,025			0,200	20,04	18	-2,04	0,21
    6		0,4555	0,676
    	0,454			0,159	15,91	20	4,09	1,05
    7		0,973	0,835
    	0,933			0,097	9,72	12	2,28	0,53
    8		1,4906	0,932
    	1,412			0,046	4,57	2	-2,57	1,45
    9		2,0082	0,978
    	1,891			0,017	1,65	2	0,35	0,07
    10		2,5258	0,994
    	2,37
    							=	5,11

41. Таблица 3. Сводная таблица проверки гипотез

    № гипотез	Нулевая гипотеза Н0	Условная запись нулевой гипотезы	Проверка гипотез		Заключение по гипотезе
    			tЭ	tT
    1	о распределении	H0=XN(0,03248;0,93)	5,11	14.1	Гипотеза не отвергается
    2	об асимметрии	H0=A=0	0,2346	0.72	Гипотеза не отвергается
    3	об эксцессе	H0=E=0	0,359	1.27	Гипотеза не отвергается

43. Вывод: Анализ результатов проверки статистических гипотез позволяет сделать вывод о том, что рассматриваемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами: математическое ожиданиеM_x= 0,03248, среднее квадратическое отклонение_x=0,93.