Лабораторная работа № 127

Изучение динамики вращательного движения маховика

Цель работы – экспериментальное определение момента инерции маховика.

1. Теоретические основы работы

Аналогом второго закона Ньютона, справедливого для описания поступательного движения тела массой m

(1)

во вращательном движении, является основное уравнение динамики вращательного движения

(2)

где исоответственно момент инерции и угловое ускорение твердого тела относительно неподвижной оси вращенияz, – алгебраическая сумма моментов сил относительно осиz.

Сравнительный анализ уравнений (1) и (2) показывает, что роль массы в поступательном движении играет момент инерции тела во вращательном движении. А поскольку масса является мерой инертности тела в поступательном движении, то момент инерции является также мерой инертности тела во вращательном движении. В этом заключается физический смысл момента инерции.

Относительно неподвижной оси z момент инерции твердого тела определяется по формуле

(3)

где r является кратчайшим расстоянием от элемента тела массой dm до оси z.

Из формулы (3) следует, что момент инерции зависит от массы тела и от ее распределения относительно оси вращения. Чем больше масса тела и чем дальше она находится от оси вращения, тем больше момент инерции твердого тела и наоборот.

Рассмотрим маховик (рис.1), состоящий из диска, шкива и вала. Предположим, что они обладают общей массой М. Диск и шкив насажены на общий вал, закрепленный в подшипниках. Маховик может вращаться относительно оси z, совпадающей с осью вала (на рис.1 ось z перпендикулярна плоскости чертежа и направлена «от нас»).

Рис.1 Схема системы маховик-груз (вал на схеме не показан)

Вращение маховика осуществляется под действием груза массой m₁, укрепленного на нити, намотанной на шкив, и описывается относительно неподвижной оси z уравнением

(4)

где момент инерции маховика,–его угловое ускорение, – сумма моментов сил, действующих на маховик.включает момент силы натяжения нитиМ(Т₂) и момент силы трения М(F_тр) в подшипниках вала. Моменты сил N и Мg относительно оси z равны нулю. Таким образом

(5)

Поступательное движение груза массой m₁ описывается вторым законом Ньютона

(6)

где а является ускорением центра масс груза, Т₁ – силой натяжения нити, приложенной к грузу. В проекции на ось у уравнение (6) принимает вид

(7)

Так как предполагается, что нить нерастяжима и невесома, то ускорение всех точек нити и груза одинаковы, причем в отсутствии проскальзывания нити линейное (тангенциальное) ускорение обода диска равно ускорению груза. Силы натяжения нити Т₁ и Т₂ равны между собой (Т₁ = Т₂ = Т) по третьему закону Ньютона.

Предположим, нить полностью намотана на шкив и груз находится в крайнем верхнем положении. При отпускании маховика нить под действием груза массой m₁ , будет разматываться. Груз в процессе движения всей системы опустится в крайнее нижние положение, пройдя путь h₁. Тогда с учетом, что

(8)

где  – время движения груза, а

(9)

имеем

(10)

Из уравнения (5) находим

(11)

Силу натяжения Т выражаем из уравнения (7), а угловое ускорение  – из (10). Затем полученные формулы для Т и  подставляем в (11). В итоге получаем

(12)

Для расчета нужно знать все величины, входящие в формулу (12). Они определяются экспериментально:– с помощью штангенциркуля,– с помощью линейки, – с помощью секундомера. Масса груза m₁ изначально задана. Момент силы трения определяется опытным путем. Для этого груз еще раз поднимают на первоначальную высоту(одновременно наматывая нить на шкив маховика), а затем предоставляют его самому себе. Груз сначала опускается наh₁ до нижней точки – нулевого отсчета высоты (нить при этом сматывается со шкива), а затем (когда нить начинает наматываться на шкив) поднимается на меньшую высоту . Спуск и подъем груза происходят в течение некоторого времени₂ . Причиной подъема груза на меньшую высоту является наличие силы трения в подшипниках вала. Потеря механической энергии системы определяется работой силы трения

(13)

Так как начальная и конечная кинетические энергии иравны нулю, то изменение механической энергии системы равно изменению только потенциальной энергии груза

(14)

Работа силы трения выражается через момент силы трения и угловое перемещение маховика :

(15)

Приравнивая правые части уравнений (14) и (15), имеем

или

(16)

Угловое перемещение маховика  равно отношению длины дуги, которую опишут за время поворота ₂ точки обода шкива, к его радиусу:



(17)

Подставляя  в уравнение (16), имеем

(18)

Полученное выражение подставляем для в уравнение (12), получаем формулу для определения экспериментального значения момента инерции маховика

(19)

Экспериментально определенное значение J_zэ можно сравнить с теоретическим значением того же момента инерции J_zт для рис. 2, рассчитанного по формуле

.

Так как материал, из которого изготовлен шкив, обладает гораздо меньшей плотностью, чем плотность стальных диска и вала, то моментом инерции шкива J_{z шкива} можно пренебречь.

Поэтому

,

где

–момент инерции тонкого диска,– момент инерции кольца (здесьМ₁ и М₂ являются соответственно массами тонкого диска и кольца, R₁ – внешний радиус тонкого диска и одновременно внутренний радиус кольца, R₂ – внешний радиус кольца).

Окончательно

(20)

Данные установки представлены в разделе 2.