4. Уравнения Пуассона и Лапласа

Общая задача электростатики заключается в том, что если неизвестно распределение зарядов, но известны потенциалы проводников, их относительное расположение и форма, то можно определить потенциал в любой точке электростатического поля между проводниками. Зная потенциал , можно найти напряженность поля , что даст возможность указать распределение поверхностных зарядов проводников.

Для нахождения дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция   потенциал, воспользуемся дифференциальной формой теоремы гаусса.

Решив совместно эти уравнения, получим общее дифференциальное уравнение Пуассона  уравнение для потенциала в виде

, (2)

где ²  оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде .

При отсутствии зарядов между проводниками уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа, т. е.

² = 0. (3)

Уравнения Пуассона и Лапласа позволяют решить общую задачу электростатики, решение которой является единственным (теорема единственности).

15. электрический диполь. Энергия диполя.

Электрический диполь

Система из двух равных разноименных зарядов образует электрический диполь, характеристика диполя – вектор электрического дипольного момента, который по определению равен:

(4.1)

где: q – модуль заряда.

–вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному.

В СИ электрический дипольный момент измеряется в кулонах умноженных на метр ( Клм).

Направление электрического дипольного момента совпадает с направлением от отрицательного к положительному заряду. Линии напряженности электрического поля диполя показаны на рис. 1.5в.

Если диполь находится в однородном внешнем электрическом поле, то на него действует пара сил (см. рис. 4.1), вращательный момент которой (см. ч. I (8.4)) равен:

.

Подставляя из (1.5) и учитывая определение электрического дипольного момента (4.1),

получаем значение модуля момента сил:

направление его определяется по правилу правого винта (см. ч. I, лекция 7 § 4).

Следовательно, момент сил равен векторному произведению:

(4.2)

Суммарная сила, действующая на диполь в однородном электрическом поле:

поэтому диполь в электрическом поле поступательно не перемещается, а только поворачивается по полю. При параллельномдиполь будет находиться в устойчивом равновесии.

Диполь в электрическом поле обладает потенциальной энергией, равной алгебраической сумме потенциальных энергий зарядов, образующих диполь. Используя (3.5), получим:

здесь – потенциалы поля в точках расположения положительного и отрицательного заряда, q – модуль заряда. Знак «минус» у учитывает знак заряда.

Из (3.21) имеем: , из рис. 4.1 видно, что, следовательно,потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна скалярному произведению векторов и, взятому со знаком минус:

(4.3)

В положении устойчивого равновесия, когда вектор параллелен, потенциальная энергия диполя минимальна.

16. Полярные и неполярные диэлектрики. Поляризация.