2. Уравнение двухпроводной линии

Процесс распространения эл. энергии вдоль однородной симметричной системы из 2 проводов. Выделим отрезок достаточной малой длины и представим его эквивалентной схемой участка.

r-сопротивление тепловых потерь в проводах на единицу длинны(Ом\м), L-связанные внеш. И внутр. Индуктивностями проводов (Гн\м),g – проводимость потерь в диэлектрике(См\м), С – емскость учитывающая ток смещения между проводами(Ф\м).

Предположим, что по проводам протекает син. Ток не слишком высокой частоты (50Гц). Энергия входящая в провод идет на нагревание проводов и образование маг. Поля. Изменяющиеся маг. И эл. поля в диэлектрике отраженна погонной емкостью.

Наличие продольных сопротивлений и поперечной проводимости приводит к тому, что на участке длинной ΔХ получим приращение тока i+Δi, U+ΔU.Δi=Δx ; ΔU=Δx . Из ур-ий Кирхгофа для контура 1-2-2`-1`-1 узла 2 получим систему уравнений относительно приращений U,i:=r_0i+L₀; - =g₀U+C₀; r₀=r₁+r₂ – погонное продольное сопротивление, ₀=r₁+L₁- индуктивная линия.

3.Уравнения многопроводных линий

Участок трехпроводной линии ,имеющий 2 прямых провода(1 и 2) и один обратный (0), содержит погонные элементы, отражающие электрические процессы. В общем случае к+1 проводной линии (к прямых проводов и 1 обратный) можно записать матричное соотношение

i и U – векторы токов и напряжений, R- диагональная матрица погонных сопротивлений, L,G и C- матрицы собственных и взаимных погонных индуктивностей, проводимостей и емкостей.

Погонные параметры применяемых линий являются паспортными параметрами и приводятся в справочниках. При расчетах необходимо учитывать зависимость погонных параметров от конструктивных и электрофизических. Указанные соотношения могут быть получены только из решений соответствующей краевой электродинамической задачи.

В зависимости от соотношения параметров для линии наряду с полной моделью возможно использование упрощенных моделей:

1)линия без потерь r₀=0, g₀=∞

2)резистивно-емкостная линия g₀=∞, L₀=0

3)Резистивная линия С₀=0, L₀=0

4.Расчет процессов в цепях с распределенными параметрами.

Система уравнений с начальными и граничащими условиями описывает процессы в цепях с распределенными параметрами.

В классическом подходе систему уравнений сводят к 1-му уравнению 2-го порядка, исключив переменную,например,ток.

Начальные и граничные условия так же необходимо формулировать для напряжения u(t,x).

Процессы в линии без потерь(r₀=0, g₀=∞) описывают одномерным волновым уравнением.

+ ,V=-- скорость распространения волны

Его решение - совокупность функций ,т.е сумму прямой и обратной волн.u(t,x)=u_п(t-)+u₀(t+)

Если в точке линии с координатой х₀ наведен импульс напряжения u(t₀,x₀), то значение напряжения u(t_к,x₀) будет иметь место во всех точках линии при хх₀ с запаздыванием во времени.

t_P=, т.е равным времени распространения.Распределение напряжения вдоль линии можно получить заменой аргументаt t-- для прямой волны(хх₀), t t+- для обратной волны(хх₀).Оба импульса распределяются вдоль линии без изменения формы со скоростью V в противоположных направлениях.

Распространение импульса напряжения вдоль линии приводит к возникновению тока (изменение заряда на проводниках).

, i=i_п(x,t)=,Z_B=- волновое сопротивление линии

i(x,t)=i_п

Аналитическое решение телеграфных уравнений можно получить операторным методом.

Рассмотрим процессы в линии при нулевых начальных условиях U=U(x,o), i(x,o)=0.Если в линии в начальный момент времени имеется заряд и напряжение, то можно воспользоваться принципом наложения с рассмотреть 2 режима:

а)переходный процесс в заряженной линии б)установившийся режим в линии без воздействия.

Телеграфные уравнения в операторном виде

U(p,x) и I(p,x)- изображения по масштабу функций времени для каждой координаты х-линии:

Z₀=r₀+pL₀, Y₀=g₀+pC₀

Операторные погонные параметры линии,продольное сопротивление и поперечная проводимость.

Систему уравнений сведем к одному из уравнений:=γ²(p)U(x,p) , =γ²(p)I(x,p)

γ==- постоянное распространение. Решение уравнений имеет вид:

U(x,p)=А₁е^-γх+ А₂е^γх I(x,p)=е^-γх - е^γх, А₁ и А₂ –постоянные,зависящие от граничных условий.Z_B==По аналогии с процессами в линиях без потерь решение можно записать в виде

U(x,p)=U_п+U₀, I(x,p)=I_п-I₀ U_п,U₀, I_п,I₀ –изображение прямых и обратных волн U и I соответственно

Следует иметь ввиду, что название прямой и обратной волн для изображения условны,т.к. реальные процессы в некоторых видах линий не имеют характера распространяющейся волны.

Вид решения для изображений зависит от 2-х операторных величин: вторичных параметров γ(р) и Z_B(p) ,определяющих особенности процессов в различных линиях.

Для линии без потерь γ=p*,Z_B=, причем волновое сопротивление имеет резистивный характер.

Если в линии без потерь существует только прямая волна,то U(x,p)= U(0,p)*е^-γх, I(x,p)= U(0,p)*е^-γх / Z_B

Переход от изображений к функциям времени согласно теореме запаздывания дает

u(t,x)=u(0,t-) i(t,x)=u(0,t-)/ Z_B

Резистивно-емкостная линия характеризуется системой уравнений:,которая сводится к уравнению для напряжения.

Полученное уравнение не является волновым и его решение не может быть представлено совокупностью волн. В операторном виде: U(x,p)=А₁+ А_2.γ=-постоянное распространение