4.2. Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдений Хза постоянной физической величинойQкак случайную величину, принимающую различные значенияZ, в различных наблюдениях за ней. Значениябудем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения [1].

Под интегральной функцией распределения результатов наблю-дений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения вi-м опыте окажется меньшим некоторого теку-щего значениях, от самой величиных:

(4)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

На рис.2 показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

(5)

Физический смысл f(x)состоит в том, что произведениеf(x)dxпредставляет вероятность попадания случайной величиныХв интервал отхдох + dx, т.е.

(6)

Свойства плотности распределения вероятности:

 - вероятность достоверного события равна 1; иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

 - вероятность попадания случайной величины в интервал отдо.

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

(7)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (7), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Хили случайная погрешностьпримет при проведении измерения некоторое значение в интервалеили.

В терминах интегральной функции распределения имеем: т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению (7), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:

	(8)
	(9)

Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:

(10)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностьюназывается отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:

(11)

а случайной погрешностью- разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов

(12)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

.

(13)