Лекция №4 Диффузия заряженных частиц

Слайд№1

Диффузия – это процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объёму.

Диффузия электронов и ионов в той или иной степени проявляется во всех видах электрических разрядов в газе. Это обстоятельство делает изучение диффузии заряженных частиц существенно важным для физики электрических разрядов в газах, хотя чисто диффузион­ные токи, т. е. перенос зарядов только вследствие теплового движе­ния частиц, при наличии градиента их концентрации и без участия электрического поля на практике встречается редко. Напомним сначала вкратце формулы диффузии, известные из общего курса физики

Диффузия описывается известными законом Фика

который показывает, что плотность потока веществапропорциональна коэффициенту диффузииDи градиенту концентрации. Второй закон Фика связывает пространственное и временное изменения концентрации:

Коэф­фициент диффузии D, как доказывается в кинетической теории газов, можно найти по формуле

Диффузию электронов или ионов в объеме, заполненном ней­тральными молекулами, можно рассматривать как взаимную диффузию, т.е. как диффузию одного газа в другой. При этом во всех случаях газового разряда концентрация электронов и концентрация ионов много меньше концентрации нейтральных молекул. Уравнение остается верным и для этого случая, и коэффициенты диф­фузии с очень хорошим приближением будут равны

Отрицательными частицами в газе могут быть одновременно электроны и отрицатель­ные ионы, причем в зависимости от давления, температуры и рода газа могут преобладать как одни, так и другие. На определяемом непосредственно из опыта коэффициенте диффузии отрицательных частиц D_eотражается наличие как электронов, так и отрицательных ионов. Легко понять, что присутствие свободных электронов должно увеличивать коэффициент диффузии (совершенно так же как и под­вижное п>) отрицательных частиц. Опыт вполне подтверждает этот вывод.

Найдем связь между градиентом концентрации и подвижностью

Слайд№2

Сначала рассмотрим газ, ограниченный непроводящими стен­ками п содержащий только один род заряженных частиц, хотя бы положительные ионы с зарядами q. Совокупность ионов можно рассматривать как «ионный газ», смешанный с основным газом и имеющий парциальное давление:

В отсутствие поля концентрация ni везде одинаковая; поле Е (на­правленное по х) вызывает дрейф ионов и создает по направлению х градиент концентрациии градиент давления

так же как поле силы тяжести создает градиент плотности и давления в атмосфере. Через некоторое (небольше, конечно) время перераспределение ионов заканчивается и ионный газ приходит в состояние равновесия. Поле Е может быть создано как зарядами, находящимися вне газа, так и полем положительных зарядов, образованных ионами, осевшими на стенках.

Выделим в газе слой ионов толщины dx. Он находится в равновесии под действием, с одной стороны, электрической силы

и, с другой, парциальных давлений ионного газаидействующих с обеих сторон на слой (все силы отнесены 1 см² слоя). Таким образом, из условия равновесия получаем

Слайд№3

Выразив изменение давлени через температуру и концентрацию, получим

Пренося члены с концентрацией в левую часть, а остальные в правую и интергрируя с краевым условием на границе

Формула (25.33) показывает, что распределение ионов по координате х подчиняется закону Больцмана, как это и должно быть для частиц, следующих законам классической статистики.

Ионный ток. при наличии в газе одновременно электрического поля и градиента концентрации сложится из двух частей «полевого тока» и «диффузионного тока»

Общий ток при отсутствии равновесия ( в общем случае) не равен нулю.

Слайд№4

Рассмотрим случай когда у нас есть ранвовесия, т.е. когда общий ток равен нулю. Такое условие может выполнятся, например, на непроводящей стенке, когда току просто некуда деться и потоки заряженных частиц вынуждены выравнятся.

Тогда перенося члены с концентрацией в правую часть получаем выражение для через подвижность.

Приравнивая правые части равенств находим связь между подвижностью и диффузией

Проведя небольшие преобразования получим выражение для, так называемой формулы Эйнштейна, определяющей отношение коэффициенти диффузии к подвижности

Формула справедлива для любых носителей тока, подчиняющихся классической статистике, независимо от того, как Diи bi выражаются через длину пробега, температуру, массу и т.д. Поэтому соотношение Эйнштейна можно использовать в теории полупроводников, где носители тока подчиняются классической статистике.

Данной формулой активно пользуются для определения коэффициент адиффузии заряженных частиц, т.к. измерение коэффициента диффузии очень трудоемкий процесс, поэтому измеряют коэффициент подвижности, а затем с помощью этой формулы вычисляют коэффициент диффузии

Слайд№5

Теперь познакомимся с понятием амбиполярной диффузии

Рассмотрим теперь диффузию в газе, внутри которого непрерывно происходит ионизация, т. е. создаются в равных количествах электроны и ионы. Как уже известно, электроны диффундируют быстрее, чем ионы, и внутренняя область газа заряжается положительно. Если, кроме того, стенки баллона не очень удалены от области, где происходит ионизация, то в началь­ной стадии диффузии они зарядятся отрицательно. В газе возникнет поле, замедляющее дрейф электронов и ускоряющее дрейф ионов по на­правлению к стенкам. Если ионизация идет с постоянной скоростью и электроны и ионы, приходящие к стенкам, там рекомбинируют, то вскоре наступает установившееся состояние, в котором скорости дрейфа электронов u_еи ионовu_iодинаковы. Описанный процесс одновременной диффузии с одинаковой скоростью электронов и ионов из области ионизации называется амбиполярной диффузией. Амбиполярная диффузия имеет большое значение в установлении баланса заряженных частиц во всех видах разряда, особенно в разрядах, происходящих в узких трубках.

Установившемуся состоянию соответствуют одинаковые скорости дрейфа электронов и ионов и, значит, одинаковые токи. Запишем уравнения равновеси на стенке

Учитывая квазинейтральность плазмы и равенсво потоков на стенку получаем, что

Слайд№6

Плотность тока заряженных частиц на стенку получается равной следующему выражению

Уравнение очень похоже на уравнение Фика, поэтому введем следующее обозначение

и назовем это сотношение коэффициентом амбиполярной диффузии.

Следует отметить, что при данное выражение годно как для низкотемпературной, так и для термоядерной плазмы.

Ввиду того что b_e>> b_i можно написать:

и воспользовавшись формулой Эйнштейна получаем следующее выражение для амбиполярной диффудзии

Получается будто бы плазма себя каким то образом изолирует, так для типичного случая, более быстрые электроны убегаю и подтягивают за собой ионы, а те в свою очередь тормозят элетроны, не давая им быстро покинуть плазму

Слайд№7

Теперь рассмотрим каким образом будет влиять магнитное поле на диффузию частиц.

Для это го расмотрим следующую задачу. Возьмем достаточно слабое магнитное поле, т.е. такое, что за время до столкновения электрон не успевает совершить обход по ларморовской окружности и, более того, что длина пути электрона до столкновения в поле и без мало различаются.

Пусть при движении по ларморовской окружности электрон прошел до столкновения λ

(все обозночения видны из поясняющего рисунка)

Смещение из начальной точки в конечную при этом чуть меньше и рано хорде соединяющей эти точки S.

Т.е. иными словами без магнитного поля электрон сместился бы на большее расстояние. Поэтому наложение магнитного поля в данном случае будет эквивалентно увеличению давления.

Слайд№8

Итак, напомню, что мы рассматриваем случай, когда путь пройденный до столкновения в магнитном поле и без него не сильно отличаются, т.е. случай слабых магнитных полей

Тогда разницу можно записать в следующем виде, воспользовавшись также малостью угла повора частицы и разложив его в ряд, ограничившись первыми членами

Подсчитаем на сколько мы должны увеличить давление, чтобы получить результат наложения магнитного поля, для этого сооставим следующую пропорцию:

Так называемое эквивалентное давление равно

Тогда можно записать выражение для диффузии поперк магнитного поля в следующем виде

Отношение представляет собой коэффициент диффузии без магнитного поля, или вдоль магнитного поля.

Слайд №9

Тогда для диффузии поперек магнитного поля можно написать:

Эта формула верна, напоминаю, в предположении слабых полей, и получена из теории эквивалентного давления.

Если переписать данное выражение через циклотронную частоту вращения ω и время между столкновениями τ, то получим известное выражение для диффузии в магнитном поле, которое можно найти в любой книге

Данное выражение применяется также для несильных полей, когда 1 по сравнению с членом ωτ, пренебречь нельзя.

Для сильных полей, когда плазма замагничена единицей в знаменателе данной формулы смело пренеблегают и работают с более простой формулой.

Слайд№10

Для измерения коэффициента диффузии проводят, например, следующим методом. Измереяют распад плазмы при условии наличия амбиполяной диффузии в рападающейся плазмы

Слабо ионизованная плазма создается в резонаторе. Измеряется изменение резонансной частоты резонатора, связанное с присутствием в нем плазмы, которое пропорционально плотности свободных электронов. Высокая точность измерения сдвига частоты позволяет определить относительную плотность электронов, пока они изменяется на несколько порядков. Полученный результат сравнивают с решением уравнения диффузии

при граничных условиях соответсвующих исползуемому резонатору. В результате такого сравнения определяют коэффициент диффузии ионов в газе

Конторльные вопросы к лекции №4:

1. Что такое дифффузия?

2. Какие вы знаете законы Фика?

3. Какое выражение для диффузии известно из газокинетической теории?

4. Каким сотношением определяется связь диффузии и подвижности частиц?

5. В каких плазмах можно пользоваться соотношением для диффузии и подвижности частиц?

6. Что такое амбиполярная диффузия?

7. что такое модель эквивалентного давления?

8. Что происходит с коэффициентом диффузии в магнитном поле?

9. Чем отличается запись коэффициента диффузии сильных магнитных полей и слабых полей?

10. Как можно измерить диффузию?