- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 39. Матрицы Паули и их свойства
Рассмотрим электрон со спином . Тогда матрицы, которые будут представлять спиновые моменты имеют размерность
.
Рассмотрим представление (или- представление). Рассмотрим в этом представлении матрицуЭто оператор в матричном представлении.
Мы помним, что в матричном представлении ядро оператора имело вид
.
Тогда для нашего представления имеем:
Аналогично матрицы
,
,
.
ине диагональные матрицы, тогда эти величины содновременно не измеримы. По главной диагонали стоят собственные значения.
Вводятся матрицы . Это матрицы Паули.
Тогда
,
,
.
Легко показать, что
.
Или на языке операторов
А коммутаторы:
,
.
Тогда так как , то получим
При :
Тогда
При получаем
.
§ 40. Принцип тождественности
Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.
Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.
Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m,e,s, …). Мы не можем в квантовой механике ввести траекторию, тогда не можем различить одинаковые частицы.
Например, в электронном газе не отдельные частицы, а целый ансамбль. В такой системе – тождественные частицы.
В ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.
Т. к. частицы идентифицировать невозможно, то мы не можем различить состояния, которые вызваны перестановкой частиц.
§ 41. Оператор перестановки и его свойства
Введем обозначениеоператор, который осуществляет перестановкуa-ой иb-ой частицы из ансамбля одинаковых частиц.
Оператор для таких систем из одинаковых частиц обладает симметрией.
Так как частицы одинаковые, то они имеют одинаковую энергию взаимодействия, т. е. она инвариантна относительно перестановки.
Т. е. можно записать
(50.1)
Так как оператор явным образом от времени не зависит, то из (50.1) следует, что он является интегралом движения. Его собственные значения сохраняются.
Найдем собственные значения оператора .
Запишем задачу на собственные функции и собственные значения:
(50.2)
При повторном действии оператора , получим:
(50.3)
С учетом (50.2):
Тогда из (50.3)
,.
Получаем частицы с симметричными и антисимметричными волновыми функциями: бозоны и фермионы.
Кроме того, оператор - это интеграл движения. Тогда его собственные значения сохраняются во времени. Т. е. свойства волновых функций, связанных с действием этого оператора тоже сохраняются.
Функции отвечающие собственному значению +1 называются симметричными, описывают симметричные состояния.
Аналогично
Это антисимметричная функция.
Свойства симметричности и антисимметричности называются интегралами движения, т. е. сохраняются. Ансамбль не может переходить из одного состояния в другое (т. е. из симметричного в антисимметричное и наоборот).
Симметричные функции описывают состояние систем с целым спином, т. е. ансамбль бозонов.
Антисимметричные функции – ансамбль фермионов.
Пусть
,
где
,
,.
Мы будем рассматривать стационарные состояния, т. е.
,
где
.
Стационарные функции удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера
,
так как операторы икоммутируют, то
.
Мы имеем
Если всего Nчастиц, то можно осуществитьN! перестановок, тогда имеемN!возможных функций .
Так как все удовлетворяют уравнению Шредингера при одной и той же энергии , то мы получили вырождение. Оно носит фиктивный характер. Для того чтобы избавиться от этого вырождения проведем симметризацию функций.