101. Середня кінетична енергія

молекул. Молекулярно-кінетичне

трактування абсолютної температури

Знайдемо вираз для середньої кіне­тичної енергії поступального руху молеку­ли ідеального газу:

Оскільки

То

Отже, середня кінетична енергія посту­пального руху молекул ідеального газу зале­жить тільки від його абсолютної тем­ператури, <_к> прямо пропорційна до Т.

На рис. 39 зоб­ражено залежність <_к> від Т. Якщо T = 0, <_к> = 0, тоб­то припиняється поступальний рух молекул газу, а отже, дорівнює нулю і його тиск.

Отже, абсолютна температура є мі­ра середньої кінетичної енергії поступаль­ного руху молекул.

Однак в області температур, близь­ких до абсолютного нуля, поведінка молекул описується не класичними законами, а за­конами квантової механіки.

102. Розподіл Максвелла молекул

ідеального газу за швидкостями

теплового руху

Внаслідок безперервного хаотичного руху молекул, а також взаємного зіткнення молекул піл час цього руху кожна молекула зокрема може змінювати свою швидкість як за величиною, так і за напрямком. Тому в газі будуть як швидкі, так і повільні молекули. Але, хоча швидкості окремих молекул зміню­ються, властивості газу у стані термодинаміч­ної рівноваги загалом при цьому не змінюють­ся: залишаються постійними параметри систе­ми. Зумовлено це тим, що швидкості газових молекул підлягають певному законові, тобто, незважаючи на повну хаотичність молекуляр­них рухів, розподіл молекул за швидкостями виявляється не випадковим, а цілком визна­ченим. До того ж він є однозначним і єдино можливим.

Дж. Максвелл теоретично розв'язав задачу про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями поступального руху. Він встановив закон, шо дає змогу визначити, яка кількість молекул dn із загальної кількості n молекул ідеального газу в одиниці об'єму мають при даній температурі швидкості, які лежать в інтервалі від v до v + dv. Дж. Максвелл вважав, що газ складається з великої кількості n однакових молекул, тем­пература в усіх частинах посудини з газом теж однакова і відсутні зовнішні дії на газ.

Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, які дорівнюють dv, то на кожний інтервал швидкості при­падатиме деяка кількість молекул dn(v), що мають швидкість в інтервалі dv.

Закон Максвелла описусться деякою функцією f(v), шо називається

функцією розподілу молекул за швидкостями руху.

Ця функція визначає відносну кількість молекул швидкості яких лежать в інтервалі від v до v + dv, тобто

звідси

Застосовуючи методи теорії імовір­ності, Максвелл знайшов функцію f(v) у такому вигляді:

Конкретний вигляд функції зале­жить від роду газу (m₀) і від параметра стану (Т). Графік функції f(v) наведений на рис. 40. Функція f(v) починається від нуля, досягає максимуму, а потім асимптотично пряму до нуля. Крива несиметрична відносно максимального значення f(v). Відносна кількість молекул dn(v)/n, швидкості яких лежать в інтервалі від v до v + dv, числово дорівнює площі заштрихованої ді­лянки на рис. 40.

Вся площа, обмежена кривою роз­поділу і віссю абсцис, числово дорівнює кількості молекул, швидкості яких мають різні значення від 0 до. Оскільки цю умову задовольняють всі n молекул, то площа, що розглядається, дорівнює одиниці:

Швидкість, при якій f(v) максимальна, називається найімовірнішою швидкістю v_i.

Використовуючи умову максимуму виразу f(v), можна знайти вираз для най­імовірнішої швидкості:

оскільки

Середня арифметична швидкість мо­лекул <v> визначається за формулою

Підставляючи сюди f(v) й інтегру­ючи, отримаємо

Отже, є три швидкості, які характе­ризують стан газу (рис. 40):

найімовірніша

середня арифметична

середня квадратична

При збільшенні температури (або зменшенні маси молекул) максимум кривої f(v) зміщується у бік більших швидкостей, а його абсолютна величина зменшується, причому площа, яка охоплена кривою f(v) і віссю v, залишається незмінною.

Закон Максвелла зручно формулювати, ввівши відносну швидкість

де v - дана швидкість, а v_i - найімовірніша швидкість для

молекул даного газу при даній температурі.

Розподіл, який визначає кількість мо­лекул, відносні швидкості яких лежать у межах від u_в до u_в + du_в , має такий вигляд:

Знайдемо середню відносну швид­кість молекул ідеального газу:

де <v> - середня арифметична швидкість.