практическая 7 математика

Практическая работа № 7

Закон распределения и числовые характеристики случайных величин.

Цель работы: Нахождение закона распределения, функции распределения и числовых ха-

рактеристик случайной величины.

Содержание работы:

Основные понятия.

1 Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые зара-

нее не могут быть учтены.

2Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

3Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая мо-

жет принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

4 Заданное соответствие между возможными значениями СВ и их вероятностями называ-

ется законом распределения случайной величины ; его можно задать таблично, аналитически (в

виде формулы) и графически.

5При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности. Эта таблица называется рядом распределения.

6Ряд распределения можно представить графически, если по оси абсцисс отложить воз-

можные значения ДСВ, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Соединив полученные точки отрезками, получим ломаную, называемую многоугольником распределения вероятностей

7 Функцией распределения случайной величины Х (обозначается F(x)) называется функ-

ция, определяемая соотношением F(x) = P(X < x).

8 Математическое ожидание ДСВ Х равно сумме произведений всех ее возможных значе-

n

ний на их вероятности, т.е. М ( Х ) xi P xi

i 1

9 Дисперсией ДСВХ (D(X)) называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ

	n
от ее математического ожидания, т.е. D( Х ) M X M X 2	xi M ( X ) 2 P xi
	i 1

10 Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметиче-

ский корень из дисперсии, т.е. ( X ) D( Х )

Пример выполнения:

исходные данные:

Приживаемость саженцев яблонь составляет 80%. Наудачу выбирают 5 саженцев. Соста-

вить закон распределения числа прижившихся саженцев, функцию распределения, построить мно-

гоугольник распределения и график функции распределения. Найти математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа прижившихся саженцев.

Решение:

Вероятность приживаемости яблони равна 0,8.

Х – случайная величина числа прижившихся яблонь из пяти саженцев:

Возможные значения: х1 = 0 – ни один саженец не прижился;

х2 = 1 – один саженец прижился;

х3 = 2 – два прижились;

х4 = 3 – три;

х5 = 4 – четыре; х6 = 5 – пять саженцев прижились.

Вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:

P(

P(

P(

P(

P(

x1) C50 p0q5		5!				0,8 0	0,2 5	0,00032
			5! 0!
x2 ) C51 p1q4		5!			0,8 1 0,2 4 5 0,8 0,0016 0,0064
		4! 1!
x3 ) C52 p2q3		5!				0,8 2 0,2 3		10 0,64 0,008 0,0512
			2! 3!
x4 ) C53 p3q2		5!				0,8 3	0,2 2	10 0,512 0,04 0,2048
			3! 2!
x5 ) C54 p4q1			5!			0,8 4	0,2 1	5 0,4096 0,2 0,4096 P(x6 ) C55 p5q0	5!		0,8 5 0,2 0 0,32768
									5! 0!
			4! 1!

Таким образом, закон распределения случайной величины:

Х	0	1	2	3	4	5
Р(Х)	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

Многоугольник распределения:

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0	1	2	3	4	5

Вычислим функцию распределения:

0;	если х 0
0,00032;			если 0 х 1
0,00032		0,0064		0,00672;		если 1 x 2
		0,0064		0,0512 0,05792;			если 2 x 3
F ( X ) 0,00032
0,00032 0,0064				0,0512	0,2048 0,26272;			если 3 x 4
		0,0064		0,0512	0,2048 0,4096 0,67232;				если 4 x 5
0,00032
		0,0064		0,0512	0,2048 0,4096 0,32768 1;					если х 5
0,00032

Найдем числовые характеристики случайной величины, для этого составим таблицу:

Х		0		1		2		3		4	5
Р(Х)	0,00032			0,0064		0,0512		0,2048		0,4096	0,32768
Х-М(Х)		-4		-3		-2		-1		0	1
(Х-М(Х))2		16		9		4		1		0	1
			6
Мат. ожидание:			М ( Х ) xi P xi
				i 1
			1 0,0064 2 0,0512 3 0,2048 4 0,4096 5 0,32768 4
			6
Дисперсия:		D( Х ) xi M ( X ) 2 P xi
				i 1
		16 0.00032 9 0,0064 4 0,0512 1 0,2048 0 0,4096 1 0,32768 0,8
Среднее квадратическое отклонение: ( X )
							D( Х ) 0,89

Задания к практической работе.

1 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти функцию распределе-

ния, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить по-

лигон полученного распределения.

2 Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каж-

дого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших эле-

ментов в одном опыте. Построить полигон полученного распределения. Найти функцию распре-

деления, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

3 Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,7. Стрелок делает выстрелы до первого промаха. Составить закон распределения случайной величины Х –

числа патронов, выданных стрелку, если всего имеется пять патронов. Построить полигон полу-

ченного распределения. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

4 Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа гербов при четырех подбрасываниях монеты. Постро-

ить полигон полученного распределения.

5Два носка выбираются случайным образом из ящика, в котором находится 5 коричневых

и3 зеленых. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа коричневых носков. Построить полигон полученного распределения.

6В ящике находится 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Опреде-

лить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче-

ское отклонение количества бракованных деталей среди трѐх наудачу выбранных. Построить по-

лигон полученного распределения.

7 В ящике находится 35 кондиционных и 12 бракованных однотипных деталей. Опреде-

лить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче-

ское отклонение количества кондиционных деталей среди трѐх наудачу выбранных. Построить полигон полученного распределения.

8 В партии из 25 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение коли-

чества дефектных деталей среди трѐх наудачу выбранных. Построить полигон полученного рас-

пределения.

9 В партии из 25 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение коли-

чества качественных деталей среди трѐх наудачу выбранных. Построить полигон полученного распределения.

10 В городе имеются 4 оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсут-

ствует на этих базах, одинакова и равна 0,3. Составить закон распределения, функцию распреде-

ления, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Построить полигон полученного распреде-

ления.

11 В городе имеются 4 оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсут-

ствует на этих базах, одинакова и равна 0,3. Составить закон распределения, функцию распреде-

ления, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа баз, на которых искомый товар имеется в данный момент. Построить полигон полученного распределе-

ния.

12 В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 3 шара. Случайная величина – число вы-

нутых белых шаров. Составить закон распределения, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить по-

лигон полученного распределения.

13 Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий м я ч о м в

корзину при трех бросках, если вероятность попадания равна 0,4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить по-

лигон полученного распределения.
1 4	И з	партии	в	25	изделий,	среди		которых		имеются	6
бракованных,	выбраны	случайным			образом	3	изделия		для	проверки

и х качества. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и

среднее квадратическое отклонение количества бракованных среди выбранных. Построить поли-

гон полученного распределения.

15 В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 3 шара. Случайная величина – число вы-

нутых черных шаров. Составить закон распределения, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить по-

лигон полученного распределения.

16 Построить ряд распределения и функцию распределения числа промахов при трех бросках мячом в корзину, если вероятность попадания равна 0,4. Вычислить математическое ожи-

дание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон

полученного распределения.
1 7	И з	партии	в	25	изделий,	среди		которых		имеются	6
бракованных,	выбраны	случайным			образом	3	изделия		для	проверки

и х качества. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и

среднее квадратическое отклонение количества качественных среди выбранных. Построить поли-

гон полученного распределения.

18 Дискретная случайная величина – число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки найти закон, функцию распределения, математи-

ческое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества мальчиков. По-

строить полигон полученного распределения.

19 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охот-

ник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина – число промахов. Определить закон, функцию распределения, математиче-

ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон полученного распределения.

20 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень, Beроятность попадания для пер-

вого стрелка при одном выстреле 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная величина — число попаданий в мишень. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дис-

персию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон получен-

ного распределения.

21 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу из-

влекаются 3 карандаша. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, равной числу красных ка-

рандашей. Построить полигон полученного распределения.

22 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу из-

влекаются 3 карандаша. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, равной числу некрасных карандашей. Построить полигон полученного распределения.

23 Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение слу-

чайной величины, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в после-

дующих опробованиях не участвует. Построить полигон полученного распределения.

24 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти функцию распределе-

ния, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить по-

лигон полученного распределения.

25 В коробке имеются 10 карандашей, из которых 4 синие. Из этой коробки наудачу извле-

каются 3 карандаша. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дис-

персию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, равной числу синих каранда-

шей. Построить полигон полученного распределения.

26 Дискретная случайная величина – число девочек в семьях с 4 детьми. Предполагая рав-

новероятными рождения мальчика и девочки найти закон, функцию распределения, математиче-

ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества девочек. Построить полигон полученного распределения.

27 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень, Beроятность попадания для пер-

вого стрелка при одном выстреле 0,6, для второго – 0,7. Дискретная случайная величина — число попаданий в мишень. Определить закон, функцию распределения, математическое ожидание, дис-

персию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон получен-

ного распределения.

28 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,8 охот-

ник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина – число промахов. Определить закон, функцию распределения, математиче-

ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон полученного распределения.

29 Построить ряд распределения и функцию распределения числа промахов при трех бросках мячом в корзину, если вероятность попадания равна 0,6. Вычислить математическое ожи-

дание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить полигон полученного распределения.

30 Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий м я ч о м в корзину при трех бросках, если вероятность попадания равна 0,6. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить по-

лигон полученного распределения.

31 Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий м я ч о м в корзину при трех бросках, если вероятность попадания равна 0,7. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Построить по-

лигон полученного распределения.

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА

для проведения практической работы № 7

Тема занятия: закон распределения и числовые характеристики случайных величин.

Цель выполнения задания: нахождение закона распределения, функции распределения и числовых характеристик случайной величины.

Необходимо знать: основные понятия, формулы и правила теории вероятностей

Необходимо уметь: применять основные формулы и правила теории вероятностей

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические реко-

мендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического

занятия

Компьютерные программы: Компьютерные программы не используются

Теория: Для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания: - ознакомиться с теоретически-

ми положениями по данной теме; - изучить схему решения задач; - выполнить задания практиче-

ской работы; - сформулировать вывод

Дополнительные задания: Могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Контрольные вопросы: 1 Что такое случайная величина? 2 Дискретная случайная вели-

чина 3 Непрерывная случайная величина 4 Что такое закон распределения СВ? 5 Способы за-

дания случайной величины 6 Что такое ряд распределения СВ? 7 Что называется многоуголь-

ником распределения вероятности? 8 Функция распределения случайной величины 9 Что такое математическое ожидание? 10 Что называется дисперсией случайной величины? 11 Понятие среднего квадратического отклонения СВ.

Литература:

1Ю.М.Колягин Математика в 2-х книгах, учебник для СПО, 2008, книга 1

2И.Л.Соловейчик Сборник задач по математике для техникумов, -М, 2003

3http://cyberfac.ru

4http://www.matburo.ru

5http://www.toehelp.ru