Математический анализ. Методичка

5π

x

4.29.

cos x +

tg x

б) lim

2

−1

.

а) lim

2

;

x→0 ln

(1

+ 2x)

arcsin 2x

x→0

(1+ 2x)

6

− (1+ x)

7

б) lim

eπ x −1

4.30.

а) lim

;

.

1

+ arcsin x

)

x→0

sin 2x

x→0 ln

(

1.3 Неперервність функції

Неперервність функції у точці. Властивості функції, неперервних у точці та на відрізку. Розриви та їх класифікація.

1.3.1 Вправи до аудиторної і самостійної роботи

1. Доведіть за визначенням, що функція y = cos x неперервна в будьякій точці числової осі.

2. Дослідіть функції на неперервність. У точках розриву знайдіть лівосторонню та правосторонню границі функції. Визначте характер точок розриву. Зробіть схематичний графік в околі точок розриву:

f (x) =

x2 + x − 6

2.2.

f (x) =

x −1

1

2.1.

.

.

2.3. f (x) = 5

x+2

.

x −1

x2 − 6x + 8

2.4.

f (x) =

x

2.5.

f (x) = arctg

x

.

2.6. f (x) = ln

x −1

.

.

x − 6

sin x

x

Відповіді:

2.1.х = 2 – точка усувного розриву; х = 4 – точка розриву другого роду.

2.2.х = 1 – точка розриву першого роду. 2.3. х = 2 – точка розриву першого роду. 2.4. х = 0 – точка розриву усувного роду; х = π – точка розриву другого роду. 2.5. х = 6 – точка розриву першого роду. 2.6. х = 0; 1 – точки розриву другого роду.

1.3.2 Індивідуальні завдання

1. Дослідіть функцію f ( x) на неперервність. У точках розриву знайдіть лівосторонню й правосторонню границі функції. Визначте характер точок розриву. Зробіть схематичний графік в околі точок розриву.

21

1.1а) f (x) =

1.2.а) f (x) =

1.3.а) f (x) =

1.4.а) f (x) =

1.5.а) f (x) =

1.6.а) f (x) =

1.7.а) f (x) =

1.8.а) f (x) =

1.9.а) f (x) =

1.10.а) f (x) =

1.11.а) f (x) =

1.12.а) f (x) =

1.13.а) f (x) =

1.14.а) f (x) =

1.15.а) f (x) =

2x2 − x −1 ;

3x2 − x − 2

5x2 − 3x − 2 ; x2 + x − 2

5x2 − x − 4 x2 + 2x − 3 ;

3x2 + 5x − 8 ; x2 + 4x − 5

2x2 − 5x + 3 ;

2x2 + x − 3

x2 − 4x + 3 ; 2x2 + 5x − 7

5x2 − 4x −1; x2 + 5x − 6

2x2 + 7x − 9 ; x2 + 3x − 4

4x2 − 3x −1

2x2 + 3x − 5 ;

2x2 − 7x + 5 ; x2 − 3x + 2

3x2 − 7x + 4 ; x2 − 4x + 3

4x2 − 7x + 3 ; x2 − 5x + 4

5x2 − 7x + 2 ; x2 − 6x + 5

2x2 − 9x + 7 ; x2 − 7x + 6

3x2 − 5x + 2 ; x2 + 3x − 4

1.16.а) f (x) = 2x2 − x − 3 ;

x2 − x − 2

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

f (x) =	3			.
	1
	2 + 5
		x−2

f (x) = arctg														x −1										.
														x +1
		2
f (x) = 7											.
					x+3
f (x) =		5																		.
		lg						x +1
		1										−1
f (x) =		5			x−1
																.
		1
		5							+1
				x−1
		1				−							1
f (x) =		x x +1																					.
		1											−		1
		x −1
																	x
f (x) =		6																			.
		3 + 2											1
													x+ 4

f(x) = 1 ln 1+ x . x 1− x

f (x) = ( x +1)arctg 1 . x

f (x) =	1																.
	1							+ 3			1
	3
				x+2								x−2
	3
f (x) = 2							.
			x−7
f (x) =	6												.
		1
	6 + 6
									x−6
f (x) =	1															.
	1										1
		4				+ 4
					x+1							x−1

x

f (x) = 2 x2 −9.

f (x) = (2x + 3)arctg 2 . x

f (x) = ( x ) . lg 1+ x

22

1.17.а) f (x) =

1.18.а) f (x) =

1.19.а) f (x) =

1.20.а) f (x) =

1.21.а) f (x) =

1.22.а) f (x) =

1.23.а) f (x) =

1.24.а) f (x) =

1.25.а) f (x) =

1.26.а) f (x) =

1.27.а) f (x) =

3.1.28. а) f (x) =

1.29.а) f (x) =

1.30.а) f (x) =

2x2 − 7x − 9 ; x2 − 3x − 4

2x2 − 5x − 7 ; x2 − 4x − 5

3x2 − 4x − 7 ; x2 − 2x − 3

4x2 − x − 5 x2 − 4x − 5 ;

5x2 − x − 6 x2 − 5x − 6 .

6x2 − x − 7 ; x2 − 5x − 6

4x2 − 3x − 7 ; x2 − 6x − 7

4x2 − 5x − 9 ; x2 − 7x − 8

6x2 − x − 7 ; x2 − x − 2

7x2 − x − 8 x2 − 7x − 8 ;

4x2 − 7x −11; x2 − 3x − 4

4x2 + x − 3 x2 + 4x + 3 ;

3x2 + x − 2 ; x2 + 3x + 2

5x2 + x − 4 ; x2 + 5x + 4

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

f (x) =	2					.
	1
	3 + 4
			x−5
f (x) = 3		x
		x2 −4		.

f (x) = ( x + 4)arctg 1 . x

x−2

f (x) = 5 x−1.

		1										−1
f (x) =		4					x+3
																		.
		1
		4									+1
						x+3
		1										−1
f (x) =		3			x+2
																	.
		1
		3							+1
				x+2
		1
f (x) =							7 x															.
		4 + 2											x
												x−2
f (x) =												x															.
			lg (2 − x)
f (x) =		3																					.
		2 + 4											1
												2− x
f (x) =												x −1																.
			arctg										(		)
															x -1
		1
f (x) =							3x																		.
			4 + 2											x
													x−5
		1
f (x) =							2	x−2													.
		1+ 3											x
												x+1

3

f (x) = 6 x2 −1.

f(x) = 1 ln 2 − x . x 2 + x

23

1.4 Похідна функції

Похідна функції, її геометричний, механічний і фізичний зміст. Дотична та нормаль. Диференційовність і неперервність. Правила диференціювання. Похідні елементарних функцій. Похідна складеної функції. Похідна оберненої функції. Похідна функцій, заданих неявно або параметрично. Логарифмічне диференціювання. Похідні вищих порядків функції, заданих явно, неявно або параметрично. Формула Лейбніца.

1.4.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи

1.Знайдіть похідні функцій:

1.1.y = 2 + x − x2 .

1.3. y = 3 +

2

− x2 .

x

1.5. а)

y = 3x arccos x

; б)

y =

10x

.

x

1.7. а)

y =

cos

x

; б) y =

sin x

.

x

3

x2

1.9. y = 2x

x4 tg x .

1.11. y = (3x + x )(x − x).

1.13. y = (x2 −1)(x2 +1)(x4 +1).

1.15. y =	x	x		.
1+			x

1.17. y = (x2 − 3x + 2)(x2 − 5x + 3).

1.19. y = log2	x +	1	.
		ln x

1.2. а) y = 34

; б) y =

2

−

3

.

x

x2

x4

1.4. y =

1

+

3

− x ln x.

sin x

x

1.6. y = 4 6

tg x .

x5

1.8. y = arcsin x . arccos x

1.10. y = arctg x + arcctg x.

1.12. а) y =

1− x5

;

б) y =

2

− 7

x2

.

x5 +1

+ 2

7 x2

1.14. y = (1+ x )(1+ 3 x ).

1.16. y =

3

)(

)

(

x3

.

−1

1− 2x4

x3 −

4

3

+1

.

1.18. а) y =

; б)

y =

x

x +

x

3 x2 −1

1.20. y = tg x arctg x 3arccos x.

2. Знайдіть похідні складених функцій:

2.1.	y = (3x + 2)5 .	2.2.	y = cos4 x.			2.3.	y = tg log3			x.
2.4.	y = arcsin(ln x).	2.5.	y = arccos		.	2.6.	y = 3x+		.
				x				x
2.7.	y = 2arctg x.	2.8.	y = x ln sin 2x.			2.9.	y = ex tg ( 3				).
										x +1

24

2.10. y = 4сtg x .

=1 − x

2.13.y arccos + x .1

x

2.16. y = sh cos

.

1+ x

2.19. б)

y =

x2

+1

.

arccos

x

2.22. y =

sin x

.

3 cos x

2.25. y =

3

.

3arccos 4x

2.28.y = 4 sin 1 cos 1 .

xx2

2.31.

y = 3 x2 − 4 + 4 log53 cos 2x.

4 x3 −1

2.11. y = sin6 (cos 3x).

2.14. а) y = arctg 1− x ; 1+ x

2.17. y = earccos(ln x) .

2.20. y = ln(ln2 x).

2.12. y = cos5(log32 x).

2.15. б) y =		arctg x		−1
					.
			+1
		arctg x

2.18. а) y = (x2 −1) arccos 1 ; x

2.21. y = cos ln ex −1. ex +1

2.23. y = tg x − x ;

4x

2.26. y = sin3 x .

cos4 x

2.29. y = sin(cos x) cos(sin x).

2.32.

y = ln(e3x + x2 −1)+ arccose−3x

2.24. y = ln ( x + arctg x) . arctg ln x

2.27. y = 3sin 5x cos4 x.

2.30. y = ln(x + x2 −1).

.2.33. y = (1+ x2 ) 1− x2 .

	3. Знайдіть похідну			dy	за правилом диференціювання оберненої
				dx
	функції, якщо:
	3.1. x = y2 +				3.2. x = y ln y + sin y.
		y2 +1.
	3.3. x = lg cos y + cos ln y.				3.4. x = earccos y .

4. Знайдіть похідну y′ неявно заданих функцій:

4.1.	3x+ y = 3x − 3y.	4.2.
4.4.	x3 + y3 = 3xy.	4.5.

5.Знайдіть похідну y′x

5.1.x = a cos2 t, y = b sin2 t.

5.3. x =	3at	, y =	3at 2	.
1+ t3		1+ t3

5.5. x = e′ cos t, y = et sin t.

				y	=			.	4.3. x y = yx .
	arctg						x2 + y2
				x
	x2	+	y2			= 1.
	a2		b2

для параметрично заданих функцій:

5.2. x = t , y = 3t .

5.4. x = et , y = e2t .

5.6. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t).

25

5.7. x = t 2 , y =	t3	- t.	5.8. x = e2t cos2 t,			y = e2t sin2 t.
3
5.9. x = t cos t, y = t sin t.			5.10. x =		cos3 t	, y =		sin3 t	.
					cos 2t			cos 2t

6. Знайдіть похідну y′ , використовуючи логарифмічне диференціювання:

6.1. y = (ln x)x .

6.2. y = (2x +1)2 x−1 .

6.3. y =

2x

tg x × 5

x

.

3x - 4

6.4. y = ( x - 4) ×

6.5. y = (x5 + 5

)arctg x .

3 x3

+

3 .

6.6. y = xln x + (ln x)x .

x

( x - 2)

× x

6.7. y = (sin x)cos x (cos x)sin x .

6.8. y =(x5 + 5

)arctg x .

6.9. y = xxx .

x

7. Складіть рівняння дотичної та нормалі до кривих, заданих параметрично:

7.1. x = t − sin t, y = q − cos t, у точці t = π . 2

7.2. x = cos3 t, y = sin3 t, у точці t = π . 4

7.3. x = 2 cos t − cos 2t, y = 2 sin t − sin 2t, у точці t = π . 2

7.4. x = tet , y = te−t , у точці x0 = e.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці М:

8.1.4x4 + 6xy - y4 = 0, M (1; 2).

8.2.x2 (2x - y) = 2x - y3 , M (1;1).

22

8.3.x 3 + y 3 = 8, M (8;8).

9.Знайдіть похідну другого порядку функцій:

9.1. y = (x3 - 2)4 .

9.2. y =

9.3. y = ex sin 2x.

x4 +1.

9.4. y = 4x

(

x +1 .

9.5. y = x

x

.

9.6. y = ln tg x.

)

9.7. y =

x

.

9.8. y =

x4

.

9.9. y = (ln x)x .

x

2

+1

2x -1

9.10. y = sin3 x.

9.11. y = 4 cos3 x - 3cos x.

26

10. Знайдіть похідні n-го порядку функцій:

10.1. y = 3− x.

10.2.

y = ln x.

10.3.

y = sin kx.

10.4. y = sin x sin 2x.

10.5. y =

xn

- xn tg2 x.

10.6. y =

1

.

10.7. y =

x − 5

.

cos2

x2

+ 3x + 2

x2

x

- 4x + 3

11. За формулою Лейбніца обчисліть похідні n-го порядку для функцій:

11.1. y = (x3 - 2x + 5)sin x, n = 10.		11.2. y = (x2 + 4x - 3)2x , n = 8.
11.3. y = x ln (x2 - 3x + 2), n = 6.
12. Знайдіть другі похідні для функцій, заданих неявно:
12.1. x3 + y3 = 3xy.	12.2. ex + x = e y + y.		12.3. cos ( x + y ) = x.
12.4. y2 = 2 px.	12.5. y = sin(x + y).		12.6. ln(x + y) = y − x.

13. Знайдіть похідні другого порядку d 2 y

dx2

для функцій, заданих

параметрично:

13.1. y = 3t - t3 , x = 2t - t 2 .																																			13.2. y = et										sin t, x = et									cos t.
13.3. y = ln t, x = t6 .																																			13.4. y =						t2					, x = arctg t.
																																				2
13.5. y = cos 2t, x = sin																			2	t.															13.6 y = ln										1+ t					2	)	, x = arcctg t.
																																												(
			Відповіді:
1.1. 1− 2x.																1.2. а)					3					;									б) y = -			4				+					12	.							1.3. -		1							- 3x2 .
																					4 4 x3																	x3									x5										x		x
1.4. -			1			- 3		cos x							- ln x -1.														1.6.			12x + 5sin				2	x		.														1.7. а)		-	2x sin x				+				cos x			.
			x2																															3cos2 x 6
								sin2 x																												x																					x			x
1.8.								π									.				1.9. 2 x x3 (ln 2 × x sin x + x cos x + 4 sin x).																																			1.10. а)									0.
	2	1				- x2 arccos2 x
1.11. 3							- 6x +1.												1.12. а)							-10x4					.				1.13. 8x7 .															1.14. 4x3 - 24x2 + 40x -19.
						x
																									(x5 +1)2
			2x + 3																		1								1
1.15.												x		.		1.19.											-							.	2.1. 15(3x + 2)4 .																			2.2. -4 cos3 x sin x.
		(										)	2																	x ln2 x
																						x ln 2
		2 1+								x
2.3.									1									.		2.4.									1						2.6.	2arctg x ln 2																	2.8. ln sin 2x + 2x ctg 2x.
																																		.															.
	x ln 3×cos2 (log3 x)																																				1+ x2
																								x			1- ln2 x
2.11. -18sin5 (cos 3x) cos(cos 3x) sin 3x.																																			2.13.										1								.		34.				1							.
																																												x (1 + x)											2					1- x2

27

-ch cos

x

x

sin

.

-earccos ln x

.

2.19. sin ln

ex

-1

×

2e2 x

2.15.

x +1

x +1

2.16.

.

(1+ x)2

x 1- ln2 x

ex +1 1- e2 x

sin2 x

2

1

y2 +1

1

2.26.

(3

+ sin

x).

2.30.

.

3.1.

.

3.2.

.

cos5 x

+1)

ln y +1+ cos y

x2 -1

y(2

y2 +1

+ y

ln y -

y

y - x2

3x (1 - 3y )

x

x2 + y2

. 4.3.

. 4.4.

.

4.5. -

b2 x

.

5.1. -

b

.

3.3.

.

3.4.

x

3y (1+ 3x )

x - y x2 + y2

ln x -

x

y2 - x

a2 y

a

y

5.2.		2					.			5.3.						t(2 - t3)				. 5.4.								.	5.5.					sin t + cos t												.	5.6.				ctg				t	.	5.7.			2 sin2 t + sin 2t															.
	36 t															1- 2t3																		cos t - sin t																				2						2 cos2 t - sin 2t
		y = x + 2 − π ;																	y = -x + π . 7.2.
7.1.																																	y + x =							2			;				y = x. 7.3.										y + x = 3;											y = x +1.
														2												2														2
7.4. y =						1		; x = e.											8.1. 4x −13y +12 = 0; 13x +14y − 41 = 0.																																						8.2. y = x;									y = − x + 2.
						e
8.3. y + x = 16; y = x.																								9.1. 12x(x3 - 2)2 (11x3 - 4).																												9.2. 2x2 (x4 + 3)(x4 +1)−																						3
																																																	)																									2	.
9.3. ex (4 cos 2x - 3sin 2x).																										9.4.					(					(							)												9.5. xx				(									)				+ xx−1.
																													4x			2 ln 4 +					x +1 ln2 4													.											ln x					+1				2
		4cos2x																2x(x2 -3)										4x2(4x2					-5x+3)																	x							1			2					1							1
9.6. -											.	9.7.												.		9.8.											.			9.9. (lnx) × (lnln x																	+ln− x)				+								-					.
																			2			3
		sin							2x									(x +1)													(2x-1)																																	xlnx								xln x
9.10. 3(sin 2x cos x -sin3 x).																							9.11. −9 cos 3x.												10.1. (-1)n 3− x lnn 3.																						10.2.					(-1)n−1 (n -1)!													.
														π n														1								π n																		π n															xn
10.3.			n																					10.4.																						n																					10.5. n!.
		k				sin(kx +								).																cos x					+							-		3			cos 3x +										.
														2														2									2																	2
														1										1																			10.7. (-1)n														2													1
10.6. (-1)n n!																			-								.																									n ×												-										.
																+1)n+1																																									( x -1)n+1									( x - 3)n+1
											( x										( x + 2)n+1
11.1. (30x									3												3	- 272x +5)sin x.											11.2.								x				6					2	2
										+700)cos x -(x																														2 ln 2×								ln			2(x			+4x -3) +16ln2(x +2) +42 .
		24(6x -11)															24(6x - 23)															2xy(3xy - x										3	- y				3	-1)										e y			- ex					)(		ex+ y -1
11.3.															+										.	12.1.																									.		12.2. (								(									)		) .
												6											6															2							3																											3
																																																																e			+1
					(x -1)													(x - 3)																	( y - x)																														y

12.3.

13.2.

	- cos(x + y) .	12.4. -		p2		. 12.5.
				y3
	sin3 (x + y)
	2e−t	. 13.3.		−1			. 13.4.
	(cos t - sin t )3		6t12

-cos x + y

	2		.
4sin	5 x + y
		2

3t 4 + 4t 2 +1.

12.6. -	4(x + y)	. 13.1.	3	.
	(x + y -1)3
			(4(1- t))
13.5. 0. 13.6. 2(1+ t 2 ).

28

1.4.2 Індивідуальні завдання

1. Знайдіть похідну першого порядку функції y = f (x).

1.1.

а)

y = cos2 x + sin (tg x) ;

б)

y = ln2 arcsin

x.

y = 2sin x+cos2 x ;

y = 5

в)

г)

(2x +1)arcctg

.

x

1.2.

а)

б)

y = log3

x

;

y = 3 ctg x + tg x2 ;

1− x2

в)

y =10

3tg x ;

г)

y = 5 arctg (ln2 x) −1.

ln x

1.3.

а)

y = sin

− 2 sin3 x;

б)

y = ln arccos

1

;

x

x

в)

y = earctg x cos 2x ;

г)

y = 4 log3 sin(x3 +1).

x2

1.4.

а)

y =

;

б)

y = 3 ln cos

x - 2

;

(

2

)

5

1+ cos 2x

в)

y = ln sin (3x x2 );

г)

y = 3

cos3 (tg x ).

x

1.5.

а)

y = cos5 (sin 3x);

б)

y = (1+ cos2 x)5 sin 4x;

в)

y = ln (x + arccos

);

y = ln2 arctg

1

.

1 − x2

г)

x

ex2

б)

y = arctg ln x ;

1.6.

а)

y =

x

;

ln arctg x

sin x2

в)

y =102 − tg4 x ;

г)

y = 6

×sin(4x +1).

e− x +1

1.7.

а)

y = tg2 x - 2 ctg x2 ;

б)

y = (

2 + ln2 sin x)3

;

в)

y = 52x

cos x

;

г)

y = log32 arcsin ( x2 ).

1.8.

а)

y = x cos2 x - ctg 4x;

б) y = arcsin3 ln sin 2x;

y = arctg5 (e2 x x);

в)

г)

y =

1+ ln2 x

.

x3 + 2

1.9.

а)

y =

(

x3

)

;

1

+ sin

4

x

в)

y = 3ln2 sin 5 x

+

2x ;

y = sin

1+

1.10.

а)

x

;

1-

x

в)

y = e− x2

sin (3x - 2);

1.11.

а)

y = 2 + sin

1+ x2

;

1- x2

в) y = 23 ln x x3 ;

б)

y = log2 arctg (1- x2 );

г) y = 1+ sh

1+ x3

.

1- x3

б) y = lg

x + x2 - 2

;

3x

г)

y = cos (sin3 ( x tg x)).

y =

1- arctg

;

б)

x

ln2 x

г) y = tg4 (ch x) - ch (tg x2 ).

29

2

+

1

1.12.

5 ctg

5

а)

y =

x

;

x

в)

y = tg (2cos x )ln (x33 );

1.13.

а) y =

sin3 (1+ x2 )

−1;

cos x

y = 5

ctg 3x ;

в)

1−tg2 x

1.14.

а)

y = tg (cos (5 ctg x));

в)

y = 3sin x sin3

x + 3;

1.15.

а)

y = cos (sin

);

x tg x

в)

y = 6arctg

− 2tg x ;

x

1.16.

а)

y = tg2

1

- 5 ctg 3x;

x2

− x2

в)

y = x3e 2

- cos 2x ;

1.17.

а)

y =

tg

3x

;

sin

x

в)

y = 2arccos x cos2 x;

1.18.

а)

y = 4 tg

x

+ ctg 4x;

4

в) y = tg (4ln x 3tg x );

1.19.а) y = cos3 5x − 8sin3 4x;

в) y = 2x2 ;

x2

1.20.а) y = 5sin4 x - cos x ;

в) y = 2ln arcsin x ;

1.21.а) y = ctg3 (62 − x tg2 x );

в) y = e3sin 5 x−5cos2 x ;

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

y = ln arccos (2x − 5);

y = ch2 (x2 −1) − ch x.

y = log42 arcsin (3x3 );

y = 42− x +1 ×cos 4x.

y = 3 ln arctg
				x ;
			1
	log	2 x +
y =			x		.
		2x3

y= ln5 arctg x +1 ;

x−1

= x -1 y 4 x +1 .

y = log34 sin 1+ x3 ;

y = arctg2 ( x ln x).

y = arcsin4 ln ln x;

y = ln (x + ln (x + 1− x2 )).

y = arccos2 ln sin x;

y = 1− arcctg x . log34 x

y = ln ln cos ln tg x;

y = 7log33 sin 1+ x .

		(	+ ln2	x	)
y =		ln 1				;

log2 x

y = sh2 (1+ x2 ) - 2 th 2x. ch x

y =	arcsin ln x			;
	ln	(	)
			x2 +1

y = tg (4ln x + 7ctg x ).

30