Математический анализ. Методичка

Таблиця 2.12

	Номер								Номер відповіді
	функції		1			2					3					4
	5.1		x = 0				x1 = 0; x2 =1				x1 = −1; x2 =1							О
	5.2		x = −1						x = −2					О				x = 0
	Відповіді до тестів
	Тест 1
	Номер функції		1.1					1.2				1.3					1.4
	Номер відповіді		1					3				4					4
	Тест 2
	Номер функції			2.1					2.2				2.3					2.4
	Номер відповіді			3					2				1					4
	Тест 3
	Номер функції					3.1									3.2
	Номер відповіді					2									3
	Тест 4
	Номер функції					4.1									4.2
	Відповідь								–9						12
	Тест 5
	Номер функції		5.1				5.2
	Номер відповіді		3				2

61

3КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ

3.1Варіанти контрольних робіт

Варіант 1

1.

Обчисліть границю функції:

(n + 2)4 − (n − 2)4

35 x−3 - 32 x2

n -1

n2

lim

lim

.

lim

2

+ (n − 5)

2

tg π x

n → ∞ (n + 5)

x→1

n +1

n ® ¥

2.

Обчисліть границю послідовності:

lim

(

).

n5 + 3 -

n - 3

-

lim

.

n + 2

n + 3

n - 4

n ® ¥

5

n

5

+ 3 +

n - 3

n

® ¥

sin 7x

x3 - 5x 2

+ 8x - 4

3

− 3

.

lim

.

lim

.

lim

9x

x → 0 x 2 + πx

x ® 2

x3 - 3x 2 + 4

x

→ 3

3 + x − 2x

3.

Знайдіть похідну функції:

y = x3x × 2 x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

	x = cos t /(1 + 2 cos t ),
		= sin t /(1 + 2 cos t ).
	y
5. Знайдіть	найбільше	та	найменше	значення	функції

заданої на відрізку [0, 4].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 1/(x 4 − 1). .

7.Побудуйте графік функції: y = (16 − 6x 2 −x3 )/ 8.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

з абсцисоюx0 :

y = x + x3 ,

x0

= 1.

9. Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = (x3 + x 2 − 3x − 1)/(2x 2 − 2).

Варіант 2

1. Обчисліть границю функції:

(n + 1)3 + (n + 2)3

2 x -16

5n2 + 3n -1

n2

lim

.

lim

.

lim

.

3

3

2

x→∞

(n

+ 4) + (n + 5)

x

→

4

sin πx

+ 3n + 3

x→∞ 5n

2. Обчисліть границю послідовності:

3

- 9n2

lim n(

).

n

lim

.

n4 + 3 -

n4 - 2

n→∞ 3n - 4 9n8 +1

n→∞

- 2

4 + x

x3 - 6x 2 +12x - 8

+ 2

.

lim

.

lim

.

lim

3

x - 6

x→0

3arcctg x

x→2

x3 - 3x 2 + 4

x→−2

x + 2

3. Знайдіть похідну функції: y = (sin x )e1 / x .

62

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

			t	3	− 1,
		x =
		y = ln t.
5. Знайдіть	найбільше	та			найменше		значення	функції
	заданої на відрізку [2, 5].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = −(x /(x + 2))2 .

7.Побудуйте графік функції: y = −(x 2 − 4)2 / 16.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = (x 2 + 6x + 9)/(x + 4).

Варіант 3

1. Обчисліть границю функції:

lim

(n + 3)3

+ (n + 4)3

.

lim

ln 2x − ln π

.

(n + 3)4

n→∞

− (n + 4)4

x→π / 2 sin(5x / 2)cos x

2. Обчисліть границю послідовності:

− 3

27n3

+ 4

lim

4n + 1

.

− 3 n5 + n

n→∞

4

n

lim

2 sin[π (x + 1)]

.

lim

x3 + 5x 2 + 8x + 4

.

x→0 ln(1 + 2x)

x→−2 x3 + 7x 2 + 16x + 12

3n + 1 2n+3 lim .

n→∞ 3n − 1

lim( n(n + 5) − n).

n→∞

3				16x		− 4
lim									.
x→4 4			+ x −				2x

3.Знайдіть похідну функції: y = x ectgx .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		3	−1,
x = t
		2 t.
y = th

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції

заданої на відрізку [1, 5].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = (x3 − 32)/ x 2 .

7.Побудуйте графік функції: y = 16x3 − 36x 2 + 24x − 9.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = (3x 2 − 10)/ 4x 2 − 1.

63

Варіант 4

1. Обчисліть границю функції:

(n +1)4 − (n −1)4

ln tg x

lim

.

lim

.

3

−1)

4

π

cos 2x

n→∞

(n +1) + (n

x→ 4

2. Обчисліть границю послідовності:

n3

− 3

27n3

+ 4

lim

7n

.

n→∞

4

n

− 3

n5 + n

lim

2 sin[π(x +1)]

.

lim

x3

−3x − 2

.

ln(1

+ 2x)

(x 2

− x − 2)2

x→0

x→−1

	2n 2		+ 7n −1			−n2
lim					.
		2
	2n
n→∞			+ 3n −1

lim[n −						].
		n (n −1)
n→∞
							− 5	.
lim			9 + 2x
x→8			3 x 2 − 4

3.Знайдіть похідну функції: y = xecos x .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		x =	t −1,
		y =1/ t .
5. Знайдіть	найбільше	та		найменше		значення	функції

заданої на відрізку [-3, 4].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = (x 3 + 4)/ x 2 .

7.Побудуйте графік функції: y = 2x3 − 9x 2 +12x − 9.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : ..

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = (17 − x 2 )/(4x − 5).

Варіант 5

1. Обчисліть границю функції:

lim	8n 2	− 2n	.		eπ − e x
				lim		.
n→∞	(n +1)4	− (n −1)4		x→π	sin 5x − sin 3x

n + 3 n +4 lim .

n→∞ n + 5

2. Обчисліть границю послідовності:

lim

3 n3

− 7 + 3 n2

+ 4

.

n5 + 5 +

n→∞

4

n

−1

x3 −3x − 2

lim

1 + x

.

lim

.

(x +

2)]

x→0 sin[π

x→2 x3

+ 7x2 +16x +12

lim 3 n (3 n2 −3 n(n −1)).

n→∞

	3		x / 4	−1/ 2
lim								.
x→1/ 2	1/ 2 + x −					2x

3.Знайдіть похідну функції: y = x2x 5x.

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = cos2 t,

y = tg2 t.

64

5. Знайдіть

найбільше

та

найменше

значення

функції

заданої на відрізку [-2, 1].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = (x 2 − x + 1)/(x −1).

7.Побудуйте графік функції: y = 3x − x3 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої у точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = (x2 + 1)/

4x2 − 3.

Варіант 6

1. Обчисліть границю функції:

(n + 6)3

− (n +1)3

ln(9 − 2x

2 )

n3

+ 1

2n−n3

lim

.

lim

.

lim

.

2

2

3

n

+

x→2 sin 2πx

−1

→∞ (2n + 3)

(n + 4)

n→∞ n

2. Обчисліть границю послідовності:

+

n6 + 4

n − 4

(

−

).

lim

.

lim n3

+ 8

n3 + 2

n3

−1

n→∞ 5 n6 + 6 −

n − 6

n→∞

sin[5(x + π )]

x3 − 3x − 2

−1

.

lim

.

lim

.

lim

x

e3 x −1

x→0

x→−1 x2 + 2x + 1

x→1 x 2 −1

3.Знайдіть похідну функції: y = xesin x .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = t − 3,

y = ln(t − 2).

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [1, 4].

	2
6. Дослідіть функцію на монотонність:	y =			.
		x2 +	2x

7.Побудуйте графік функції: y = x 2 (x − 2)2 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої у точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x3 − 4x .

3x2 − 4

Варіант 7

1. Обчисліть границю функції:

(2n − 3)3 − (n + 5)3

3

−1

+ 21n − 7

2 n+1

x

2n2

lim

.

lim

.

lim

.

3

3

2

n→∞

(3n −1) + (2n + 3)

x→1 4

x −1

2n

n→∞

+ 18n + 9

65

2. Обчисліть границю послідовності:

			4n		2 − 4 n3
	lim								.
	n→∞	3 n6 + n3 + 1 − 5n
lim	1−
		cos x		.

x→0 x sin x

lim[n n − n(n + 1)(n + 2)].

n→∞

lim	x2 − 2x +1	.					3			x		−	1
x→1 x3 − x2 − x + 1			lim				16 4									.
			x→	1			1	+ x −
														2x
				4
							4

1

3. Знайдіть похідну функції: y = (arctg x)2 ln arctg x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = sin t,

=

y ln cos t.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [1, 4]

	6.	Дослідіть функцію на монотонність: y =			4x2	.
					3 + x2
			x3 − 9x2
	7.	Побудуйте графік функції: y =		+ 6x − 9.
		4

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 4x2 + 9 . 4x + 8

Варіант 8

1.

Обчисліть границю функції:

(n + 10)2 + (3n + 1)2

tg π x

10n − 3

5n

lim

.

lim

.

lim

.

(n + 6)3 − (n + 1)3

n→∞

x→−2

x2

n→∞

10n −1

2.

Обчисліть границю послідовності:

− 3

8n3

+ 3

lim

n + 3

.

+ 5

(3

n2 (n6 + 4) − 3

(n8 −1)).

n→∞ 4

n + 4

− 5

n5

lim n3

n→∞

arcsin 2x

x4 −1

3

−

.

lim

ln 2.

lim

.

lim

1+ x

1− x

x→0 2−3 x − 1

x→1 2x4 − x2 −1

x→0

7 x

Знайдіть похідну функції: y = (sin

)ln(sin

).

3.

x

x

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = t + sin t,

y = 2 + cos t.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції що задано на відрізку [0, 6].

66

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 12x /(9 + x 2 ).

7.Побудуйте графік функції: y = 2 − 3x 2 − x3 .

8. Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 4x3 + 3x2 − 8x − 2 . 2 − 3x2

Варіант 9

1. Обчисліть границю функції:

	lim	(2n +1)3 + (3n + 2)3	.	lim	1 − sin(x / 2)	.
	n→∞	(2n + 3)3 − (n − 7)3		x→π	π − x

	3n2 − 5n				n+1
lim					.
		2
	3n		− 2n	+ 7
n→∞

2. Обчисліть границю послідовності:

(

)(

)

lim

n 4

11n + 25n4 − 81

.

n

4

+1

n

2

−1

−

n

6

−1

lim

.

n→∞ (n − 7 n )

n

2

− n +1

n

n→∞

e4 x −1

x2 + 3x + 2

3

−

3

27 + x

27 − x

lim

.

lim

.

lim

.

x→0 sin(π (x / 2 +1))

x→−1 x3 + 2x2

−x − 2

x→0

3 x2

+ 5

x

3. Знайдіть похідну функції: y = (sin x)5ex .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = t − sin t,

= −

y 2 cos t.

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [-3, 3].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = x2 − 3x + 3 .

x−1

7.Побудуйте графік функції: y = 2x3 − 3x2 − 4.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y =		x2 − 3	.
		3x2 − 2

Варіант 10

1. Обчисліть границю функції:

	(n + 7)3 − (n + 2)3					1− 2 cos x
lim			.	lim			.
	2	2		x→	π	π − 3x
n→∞	(3n + 2)	+ (4n +1)			3

n + 3 − n2 lim .

n→∞ n +1

67

2. Обчисліть границю послідовності:

−

lim n(

−

).

lim

3 n2

n2 + 5

.

n2 +1

n2 −1

n→∞

−

n→∞ 5 n7

n +1

1− cos x

2x2 − x −1

3

− 2

8 + 3x −x2

lim

.

lim

.

lim

2

x→0

(e3x −1)

x→1 x3

+ 2x2 − x − 2

x→0

3 x2 + x3

3. Знайдіть похідну функції:

y = (arcsin x)ex .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = cos t,

=

y ln sin t.

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [0, 4].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 4 − x3 .

x2

7.Побудуйте графік функції: y = 3x 2 − 2 − x 3 .

8. Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x2 − 6 . x − 2

Варіант 11

1.

Обчисліть границю функції:

(2n + 1)3 −

(2n + 3)3

arctg (x2 − 2x)

n

2 − 6n + 5

3n+2

lim

.

lim

.

(2n +1)

2

2

n→∞

+

x→2

sin 3π x

lim

2

− 5n + 5

.

(2n + 3)

n→∞ n

2.

Обчисліть границю послідовності:

n2 −

lim n(

n(n − 2)

−

).

lim

n3 +1

.

n2 − 3

n→∞

n→∞ 3

n6 + 2 − n

− (1 + x)

sin2 x − tg2 x

(x3 − 2x −1)(x +1)

lim

lim

.

lim

.

1 − 2x + 3x 2

x4

x→0

x→−1

x4 + 4x2 − 5

x→0

3 x

3.

Знайдіть похідну функції:

y = (ln x)3x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

	x = cos t + t sin t,
5. Знайдіть	y = sin t − t cos t.
	найбільше	та	найменше	значення	функції

заданої на відрізку [-1, 5].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = x − 4x + x .

x− 4

7.Побудуйте графік функції: y = (x −1)2 (x − 3)2 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 :

68

9. Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x3 + 2x2 − 3x −1. 2 − 4x2

Варіант 12
1. Обчисліть границю функції:
	n3	− (n −1)3			x 2	−1		n + 4		n
lim			.	lim			.	lim		.
n→∞ (n		+ 1)4 + n4		x→1 ln x				n→∞ n + 2

2.

Обчисліть границю послідовності:

(n − 3

)n

−

n7

+ 5

n − 5

n3 − 5

lim

.

lim

n.

n→∞

+ 5 +

n→∞ 7 n7

n − 5

ln(1 + sin x)

x3 − 3x − 2

+

2

.

lim

.

lim

.

lim

3

x − 6

x + x

x→0

sin 4x

x→−1

2

x→−2

3

x3 + 8

3.

Знайдіть похідну функції:

y = xarcsin x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = cos 2t,

y = 2 sec2 t.

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [1, 9].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 2x3 +1.

x2

7.Побудуйте графік функції: y = x3 + 3x2 − 5.

4

8. Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x3 − 5x . 5 − 3x2

Варіант 13

1. Обчисліть границю функції:

(n + 1)4 − (n −1)4

−1

.

lim

n + 1

n .

lim

.

lim

x2 − x + 1

n→∞

3

+ (n

3

x 1

ln x

n

(n + 1)

−1)

→

→∞ n −1

2. Обчисліть границю послідовності:

3

− 5n2

limn→∞ (

−

).

n2 + 2

(n2 +1)(n2 − 4)

lim

.

n4 − 9

n→∞ n −

n4 − n + 1

1 − cos10x

2

2

(x

+ 3x + 2)

1 + 2x − 3

lim

.

lim

.

lim

.

e

x

2

− 1

x→0

x→−1 x3 + 2x2 − x − 2

x→4

x − 2

69

3.Знайдіть похідну функції: y = (ctg 3x)2ex .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		− t	2	,
x = 1
y = 1/ t.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [0, 3].

	Дослідіть функцію на монотонність: y =	x2
6.			.
		( x −1)2
7.	Побудуйте графік функції: y = 6x − 8x3 .
8.	Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x2 − 6x + 4 . 3x − 2

Варіант 14

1. Обчисліть границю функції:

2

2

1 + cos3x

lim

(3 − n) +

(3 + n)

.

lim

.

2

(3 − n)2 − (3 + n)2

sin

n→∞

x→π

7x

2. Обчисліть границю послідовності:

+ 4

lim

n3

5n 2

9n8 + 1

.

lim

n→∞ (n + n ) 7

− n + n2

n→∞

lim

3x 2 − 5x

.

lim

(2x2 − x −1)2

.

x→0 sin 3x

x→1 x3 + 2x2 − x − 2

		2n + 3	n+1
	lim		.
		2n + 1
	n→∞

n5 − 8 − n n(n2 + 5)

.

n

lim		1 − x		−	3	.
x→−8		2 + 3 x

3.Знайдіть похідну функції: y = xetg x .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = et cos t,

= t

y e sin t.

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [-3, 3].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = ( x −1)2 .

x2

7.Побудуйте графік функції: y = 16x 2 (x −1)2 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y =	2 − x2					.
		9x2	−	4

70