Математический анализ. Методичка

Варіант 15

1. Обчисліть границю функції:

4

4

1 −sin 2x

lim

(3 − n) − (2

− n)

.

lim

2

n→∞

(1 − n)4 − (1 + n)4

x→π / 4 (π − 4x)

2. Обчисліть границю послідовності:

− n2 +1

lim

n −1

.

n→∞ 3 3n3

+3 + 4 n5 +

1

lim

1 − cos 2x

.

lim

(x2

+ 2x −3)2

.

x→0 cos 7x − cos 3x

3

+ 4x

2

+3x

x→−3 x

.	n2		−1		n4
	lim				.
			2
	n→∞ n

lim(		− n).
	n2 −3n + 2
n→∞
						.
	lim			x −1
	x→1 3		x2 −1

3.Знайдіть похідну функції: y = (tg x)4ex .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = sh2 t,
	1
y =				.
	ch	2
			t

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [2, 4].

			1	2
6.	Дослідіть функцію на монотонність: y = 1	+		.
			x
7.	Побудуйте графік функції: y =16x 2 (x −1)2 .
8.	Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

з абсцисоюx0 : .

9. Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y =	4x3	−3x
			.
	4x
		2 −1

Варіант 16

1. Обчисліть границю функції:

4

4

1+ cosπ x

(3 − n) − (2 − n)

lim

.

lim

.

tg

2

n→∞

(1 − n)3 − (1 + n)3

x→1

π x

2. Обчисліть границю послідовності:

n3

−1 −

lim

n −1

.

+1 +

n→∞ 3 n3

n −1

4x

3

2

lim

.

(x

− 2x

−1)

x→0 tg (π (2 + x))

lim

.

x→0 x4 + 2x +1

3. Знайдіть похідну функції: y = (cos5x)e x .

n −1 n+2 lim .

n→∞ n +3

lim(n + 3 4 − n3 ).

n→∞

lim		x +13	− 2	x +1		.
x→3		x2 −9

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = t +sin t,
	− cos t.
y = 2

71

5. Знайдіть

найбільше

та

найменше

значення

функції

заданої на відрізку [-1, 2].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 12 − 3x2 .

x2 +12

7.Побудуйте графік функції: y = 2x3 + 3x2 − 5.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 3x2 − 7 . 2x +1

Варіант 17

1. Обчисліть границю функції:

(1 − n4 )− (6 + n)4

lim

tg 3x

.

2n2 + 2

n2

lim

3

3

.

π

lim

.

n®¥

(1+ n) − (1 − n)

x®

2 tg x

n®¥

2n

2

+1

2. Обчисліть границю послідовності:

n(n + 2)

+ 7n3

lim[

−

].

−1

3

n2

n 2 − 2n + 3

lim

.

n→∞

n®¥ 4 n12

+ n +1 − n

2x

3

3

lim

.

lim

(1 + x)

− (1 + 3x)

.

lim

x − 6 + 2

.

1

x®0

x®0

x + x5

x®-2

x3 + 8

tg

2π x +

2

3. Знайдіть похідну функції: y = (x sin x)8×ln (x sin x ).

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = 1/ t,
	(1	+ t 2 ).
y = 1/

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [-1, 6].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 9 + 6x − 3x2 .

x2 − 2x +13

7.Побудуйте графік функції: y = 2 −12x 2 − 8x3 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x2 +16 . 9x2 − 8

72

Варіант 18

1. Обчисліть границю функції:

lim	(6 − n)2 − (6	+ n)2	.	lim	sin x2 − tg2 x	.
n→∞	(6 + n)2 − (1 − n)2			x→π	(x −π )4

2. Обчисліть границю послідовності:

	3n2		− 6n + 7	−n+1
lim				.
		2
	3n
n→∞			+ 20n −1

(

−

).

− 3

125n3 + n

3n −1

lim

(n + 2)(n +1)

(n −1)(n +3)

lim

.

n→∞

n→∞

5 n

− n

1 − cos3 x

x 2 − 2x +1

4

− 2

.

lim

.

lim

.

lim

x

x→0

4x 2

x→−1 2x 2 − x −1

x→16

x − 4

3.Знайдіть похідну функції: y = (x −5)ch x .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

			x = t ,
						1−t .
			y =1/
5.	Знайдіть	найбільше	та			найменше				значення	функції
		заданої на відрізку [1, 4].
6.	Дослідіть функцію на монотонність: y = −								8x	.
								x	2 + 4

7.Побудуйте графік функції: y = (2x +1)2 (2x −1)2 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x3 +3x2 − 2x − 2 . 2 −3x2

Варіант 19

1. Обчисліть границю функції:

(n +1)3

− (n +1)2

n / 2

lim

.

x2

− x +1 −1

n2

−3n + 6

lim

.

lim

.

(n −1)

− (n +1)

tg π x

n→∞

→

n→∞ n

2

+ 5n +1

3

3

x 1

2. Обчисліть границю послідовності:

lim n2 (

−

).

n 5

− 3 27 n6 + n2

n(n4 −1)

n5 −8

n

lim

.

n→∞

(n + 4

)

n→∞

n

9 + n2

arcsin 3x

3

−3x − 2

9 +

2x −5

x

lim

.

lim

.

lim

.

2

x→0

2 + x − 2

x→−1 x

− x − 2

x→8

3 x − 2

3. Знайдіть похідну функції: y = (x3 + 4)tg x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = sin t,

=

y sec t.

73

5.	Знайдіть	найбільше	та	найменше			значення	функції
	заданої на відрізку [-1, 7].
				x −1			2
6.	Дослідіть функцію на монотонність: y =						.
				x +1
7.	Побудуйте графік функції: y = 2x3 + 9x 2 + 12x.
8.	Складіть	рівняння дотичної		та нормалі до			даної кривої	в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 21− x2 . 7x + 9

Варіант 20

1. Обчисліть границю функції:

	3	3			cos 5x − cos 3x
lim	(1 + 2n) − 8n		.	lim					.
					e x	2	− e4π	2
n→∞	(1 + 2n)2 + 4n2			x→π

2. Обчисліть границю послідовності:

n −10 3n+1 lim . n→∞ n +1

−

lim n(3

− 2n).

n2 + 2

lim

n + 2

.

5 + 8n3

n→∞

n→∞

4 4n4 +

1 − 3 n4 −1

x

3

2

2

−1

+ 5x

+ 7x + 3

1 − 2x + x2 − (1 + x)

lim

.

lim

x

.

lim

.

3

+ 4x

2

x→0 ln(1 + 2x)

x→−1 x

+ 5x + 2

x→0

x

3.Знайдіть похідну функції: y = xsin x3 .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		x = tg t,
			1
		y =		.
			sin 2t
5. Знайдіть	найбільше	та	найменше		значення	функції

заданої на відрізку [1, 5].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 3x4 +1.

x3

7.Побудуйте графік функції: y = 12x2 − 8x3 − 2.

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x2 −1 . x2 − 2

74

Варіант 21

1. Обчисліть границю функції:

(3 − 4n)2

sin 7x −sin 3x

6n −7 3n+2

lim

.

lim

.

2

2

x

4π

lim

.

3

3

x→2π

e

−e

n→∞ (n −3) − (n + 3)

n→∞ 6n + 4

2. Обчисліть границю послідовності:

lim n2 (3

).

n4

+ 2 +

5 + n3

−3

3 + n3

lim

n − 2

.

n→∞

+ 2 +

n→∞

4 n4

n − 2

arctg 2x

x

3

−3x + 2

lim

.

3

8

+3x + x

2

− 2

lim

.

lim

.

3

− x

2

x + x2

x→0 sin (π (x + 7))

x→1 x

− x +1

x→0

3.Знайдіть похідну функції: y = (x2 −1)sh x .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		x = t −1,
		y = t / 1−t .
	5.	Знайдіть найбільше та найменше значення функції
	заданої на відрізку [-4, 2].
	6.	Дослідіть функцію на монотонність: y =					4x	.
							(x +1)2

7.Побудуйте графік функції: y = (2x −1)2 (2x −3)2 .

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x3 −3x2 − 2x +1. 1−3x2

Варіант 22

1. Обчисліть границю функції:

(3 − n)3

sin 7πx

3n2

+ 4n −1

2 n+5

lim

.

lim

.

lim

.

2

3

2

n→∞

x→2 sin 8πx

3n

(n +1) − (n

+1)

n→∞

+2n + 7

2. Обчисліть границю послідовності:

		6n3 −				n5 +1
	lim							.
	n→∞		4n6		+3 − n
lim	ln(1 − 7x)			.
x→0 sin(π(x + 7))

3

− 3

.

lim n

(n + 2)2

(n −3)2

n→∞

x3

+ x 2

−5x + 3

3

− 3

27 + x

27 − x

lim

.

lim

3 − x2

x→1 x

− x +1

x→0

x + 23 x4

3.Знайдіть похідну функції: y = (x2 +5)ctgx .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = ch t,

y = 3 sh2 t .

75

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [-4, -1].

6. Дослідіть функцію на монотонність: y = 8( x −1) .

( x +1)2

7. Побудуйте графік функції: y = 27 (x3 − x2 ) − 4. .

4

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x2 −11. 4x − 3

Варіант 23

1. Обчисліть границю функції:

lim	(n + 1)3	− (n −1)3	.	lim		ln(5 − 2	x)	.
n→∞	(n +1)2 − (n −1)2			x→2	10 − 3x − 2

2. Обчисліть границю послідовності:

n2			+ n +1			−n2
lim					.
		2
	n		+n −1
n→∞

− 3

−

n(n −1)(n − 3)

.

8n3 + 5

.

(n +1)3

lim

5n + 2

lim

n→∞

4 n + 7 − n

n→∞

n

5π

3

2

3

cos x +

tg x

x

+

4x

+ 5x + 2

x −1

2

lim

.

lim

3

− 3x − 2

+ x − 2x

lim

.

x→1

x

x→1

1

x→0 arcsin 2x2

3.Знайдіть похідну функції: y = (sin x)5 x / 2 .

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

		t ,
	x =
		t −1.
	y = 3

5.Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [-2, 4].

6.Дослідіть функцію на монотонність: y = 1− 2x3 .

x2

7.Побудуйте графік функції: y = x (12 − x2 ) . .

8

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = 2x2 − 9 . x2 −1

76

Варіант 24

1. Обчисліть границю функції:

2(n +1)3 − (n − 2)3

n

x2

−3x +3 −1

2n2 + 5n + 7

lim

.

lim

.

lim

.

2

2

n→∞

n

+ 2n −3

x 1

sin πx

2n

+5n + 3

→

n→∞

2. Обчисліть границю послідовності:

lim(

).

+

81n4 − n2 +1

n4

3n +1

n2 +3n − 2 −

n2 −3

lim

.

n→∞

(n + 3

)

n→∞

n

5 − n + n2

9 ln 1− 2x

)

x

4

lim

(

.

lim

−1

.

lim

1 + x

−

1 − x

.

x

→0 4 arctg 3x

x→1 2x4 − x2 −1

x→0 3 1 + x −3 1 − x

3. Знайдіть похідну функції: y = (x2 +1)cos x .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

	x = cost,
	y = sin 4 (t / 2).
5.	Знайдіть найбільше та найменше значення функції
заданої на відрізку [1, 4].
6.	Дослідіть функцію на монотонність:		4
			y =			.
					x2 + 2x −3
7.	Побудуйте графік функції: y =	x2 (x − 4)2		.
	16

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 :

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x3 + 2x −3x + 2 . 1− x2

Варіант 25

1. Обчисліть границю функції:

(n +1)3 + (n −1)3

lim

x

2 −π

2

.

2n −1 n+1

lim

.

lim

.

n

3

+1

sin x

n→∞

x→π

n→∞

2n +1

2. Обчисліть границю послідовності:

(n + 3)

3

−(n + 2)

3

n +3 −

n

2

−3

lim

.

lim

+ (4n +1) 2

n→∞ 3

n

5

− 4

−

4

n

4

+1

n→∞ (3n + 2)

1−

x3

+5x2 + x + 4

− 2

3x +1

lim

.

3

4x

lim

.

lim

.

(x

+1)/ 2]

x→0 cos[π

x→−2 x3 + 3x2 − 4

x→2 2

+ x −

2x

3. Знайдіть похідну функції: y =19x19

× x19 .

4. Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметрично:

x = ln t,

=

y arctg t.

77

5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції заданої на відрізку [1, 9].

6. Дослідіть функцію на монотонність:	y =	4	.
		3 + 2x − x2

7. Побудуйте графік функції: y = x3 − 27x + 54 . .

x3

8.Складіть рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 : .

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік:

y = x2 + 2x −1. 2x +1

3.2Підготовка до захисту контрольних робіт

1.Обчисліть границю функції [1, ч. 1, гл. VI, § 4; 2, гл. 3, § 3.5;

5, гл. 3, § 4; 6, т. 1, гл. ІI, § 4–7].

2.Обчисліть границю послідовності [2, гл. 3, § 3.1–3.4; 5, гл. 3, § 2].

3.Знайдіть похідну функції [3, ч. ІІ, практ. зан. 22; 6, т. 1, гл. ІІІ, § 2–

15].

4.Знайдіть похідну другого порядку від функції, заданої параметри-

чно [6, т. 1, гл. ІIІ, § 18, § 22, § 24].

5. Знайдіть найбільше	та найменше значення функції, заданої
на відрізку [3, ч. ІІ, практ. зан.	32; 6, т. 1, гл. V, § 4–6].

6.Дослідіть функції на монотонність [3, ч. ІІ, практ. зан. 31; 6, т. 1,

гл. V, § 2].

7.Побудуйте графік функції [2, гл. 5, § 5.1; 3, ч. 2, практ. зан. 35].

8.Скласти рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці

забсцисоюx0 [2, гл. 4, § 4.7; 6, т. 1, гл. III, § 26].

9.Знайдіть асимптоти функції та побудуйте її графік [2, гл. 5, § 5.1;

5, гл. 4, § 31].

78

ЛІТЕРАТУРА

1.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах :

учебное пособие для	вузов	: в 2 ч. / П.	Е. Данко, А. Г. Попов,
Т. Я. Кожевникова. – 6–	е изд. –	М. : ОНИКС – 21	век ; Мир и Образование,
2002. – Ч. 1.

2.Зимина, О. В. Высшая математика : решебник / О. В. Зимина, А. И. Кириллов, Т. А. Сальникова. – М. : Физико-математическая литера-

тура, 2003. – 356 с.

3.Каплан, И. А. Практические занятия по высшей математике / И. А. Каплан. – Харьков : Харьковский государственный университет,

1971. – Ч. I. – 412 с.

4. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис ; под ред. Н. В. Воскресенской. – М. : Наука. Главная редакция физико-

математической литературы, 1969. – 640 с.

5. Овчинников, П. П. Вища математика : підручник : у 2 ч. / П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – 2- е вид. – К. : Тех-

ніка, 2000. – 592 с.

6. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учебное пособие для втузов : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 2001. – Т. 1 – 429 c.

79

ДОДАТОК А

ПОКАЖЧИК ВІДПОВІДЕЙ НА ПИТАННЯ (табл. A.1, A.2)

Таблиця А.1 – Вступ до математичного аналізу

		Каплан И. А. Практи-		Данко П. Е. Выс-	Пискунов Н. К. Диффе-	МышкисА. Д.
		ческие занятия по		шая математика	ренциальное и интегра-	Лекции по высшей
	Питання	высшей математике		в упражнениях	льное исчесления. Т. І	математике
				и задачах. Ч. 1
		Практика		Практика	Теорія	Теорія
	1	2		3	4	5
1.	Як знайти область	Ч. 2, № 2.19–2.24,		Гл. 5, § 2,	Гл. 1, § 6, с. 20	Гл. 1, § 3, п. 15,
	визначення функції?	№ 3.16, № 3.17		№ 472–474		с. 42
2.	Як знайти область значень					Гл. 1, § 3, п. 15,
	функції?					с. 43
3.	Як визначити періодичність	Ч. 2, № 9.8–9.11			Гл. 1, § 8, с. 24	Гл. 1, § 3, п. 16,
	функції?					с. 46
4.	Як визначити монотонність				Гл. 1, § 7, с. 20	Гл. 1, § 3, п. 16,
	функції?					с. 44
5.	Як визначити парність	Ч. 2, № 4.1–4.2,	№ 4.6	Гл. 5, § 2, № 471	Гл. 5, § 11, с. 183	Гл. 1, § 3, п. 16,
	функції?					с. 47
6.	Як визначити обмеженість				Гл. 2, § 3, с. 39
	функції?
7.	Як знайти обернену	Ч. 2, № 9.1–9.2,	№ 9.4		Гл. 1, § 8, с. 23	Гл. 1, § 3, п. 21,
	функцію?					с. 52
8.	Як побудувати графік	Ч. 2, № 4.13–4.14		Гл. 5, § 3,	Гл. 1, § 8, с. 23	Гл. 1, § 3, п. 14,
	функції?			№ 483–485		с. 41
9.	Як задати функцію	Ч. 2, № 4.21		Гл. 5, § 3,	Гл. 1, § 7, с. 21	Гл. 1, § 3, п. 13,
	аналітично?			№ 486–497		с. 39

80