I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыА^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы. Для этого необходимо следующее.

1. Составить вспомогательную матрицу, которая получается, если к исходной матрице приписать справа единичную матрицу того же размера.

2. Путем элементарных преобразований строквспомогательной матрицы получить в левой ее части вместо исходной единичную матрицу.

3. В правой части вспомогательной матрицы на месте единичной получится матрица, обратная данной.

Проверка

Задание2

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыА^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы.

Проверка

Задание3

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы Аотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыА^Т:

Присоединенная матрицабудет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:

Проверка

Задание 4

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицыАотличен от нуля, т.е.то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицыА^Т:

Присоединенная матрицабудет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:

Проверка

Задание5

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Проверка

Проверим правильность решения, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему уравнений.

Т.к. уравнения данной системы при подстановке найденных значений обратились в тождества, следовательно, - решение исходной системы уравнений.

Ответ: .

Задание6

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

.

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Ответ: .

Задание7

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

.

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица- невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице:

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Ответ: .

Задание8

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

1. .

2. .

3. .

4. .

Ответ: .

Следующее задание выполните самостоятельно.

Задание9

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Если при выполнении задания 9 у Вас получилось не (-2,1,0), то рассмотрите решение задания 9.

Решение задания 9.

1. 

2. .

3. .

4. .

Ответ: .