6.6.2. Скорость распространения волн в упругой среде

Пусть в течение короткого промежутка времени мы ударом молотка сообщим стержню некоторый импульс (рис.6.21). За это время точки торца стержня сместятся на расстояние . Возникающая деформация будет перемещаться от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времениtсжатие охватит участок стержня. Тогда скорость распространения волны сжатия по стержню.

К концу промежутка времени tвсе частицы участка стержнябудут двигаться со скоростяминаправо. Поскольку в начале частицы были неподвиж-ны, то приращение коли-

F Рис.6.21

чества движения стержня будет равно mu. Mасса стержня, где- плотность,S- площадь,- длина.

По второму закону Ньютона приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действующей при ударе

. (6.52)

По закону Гука

, (6.53)

где Е – модуль Юнга.

Подставив (6.53) в (6.52), получим

,

откуда ;,

и скорость распространения волны сжатия будет равна . Для стали, например,=510³м/с.

В случае поперечных волн, т.е. в случае деформации сдвига

,

где G- модуль сдвига и скорость распространения поперечных волн запишется в виде

.

6.6.3. Поток энергии в волновых процессах

Процесс распространения волн в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Пусть - скорость перемещения фронта волны,S- часть фронта плоской волны, тогда перемещение фронта волны за времяt

Обозначим w₀энергию колебаний в единице объема. Тогда- энергия, переносимая за времяtчерез площадку S. Энергия, переносимая за единицу времени:

.

Величина P=wSназывается потоком энергии через площадку S.

Плотность потока энергии, т.е. энергия, проходящая в единицу времени через единицу площади перпендикулярно к направлению распространения волны обозначается Iи определяется соотношением.

Так как есть вектор, то плотность потока энергии также является векторной величиной, т.е.

.

Bектор плотности потока энергии называется вектором Умова.

6.6.4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн

При решении разных задач по распространению волн приходится находить положение фронта волны в последовательные моменты времени. Достаточно простой метод, позволяющий находить последовательное положение фронта волны, был предложен в конце ХУ11 века Гюйгенсом и получил название принципа Гюйгенса. Согласно этого принципа, каждую частицу среды, до которой дошел фронт волны, можно рассматривать самостоятельным источником волн той же частицы.

Пусть к некоторому времени tфронт плоской волны, двигаясь слева направо, достиг положе-ния 1 (рис.6.22,а). Назовем ее первичной волной. Плоская волна имеет волновую поверх-ность – плоскость. Согласно принципу Гюйген-са, каждая точка среды, находящаяся на этом фронте, становится самостоятельным источником волн. Эти волны в дальнейшем будем называть вторичными волнами. К неко-торому моменту времени (t1+t)

 I I II а) б) Рис.6.22

фронт волны от этих точек удаляется на расстояние, равное tи могут быть представлены в виде окружностей такого радиуса (рис.6.22,б). Огибающая окружностей будет представлять прямую линию II, она определяет положение фронта волны в моменты времени (t₁+t).

R R+t Рис.6.23

Фронт сферической волны представляет собой окружность радиуса R(рис.6.23). Каждая точка этого фронта волны является источником вторичных волн. Построим для ряда источников фронт волны. Огибающая окружностей будет представлять собой окружность радиуса (R+t). В приведенных примерах рассматривается огибающая вто-ричных волн только по направ-лению распространения первич-

ной волны. Так как Френелем было показано, что интенсивность вторичных волн максимальна только в положительном направлении к нормали.

Исходя из этого, рассмотренный принцип называют принципом Гюйгенса-Френеля.

Явление усиления или ослабления интенсивности при наложении когерентных волн называется интерференцией волн. Волны когерентны, если они имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз.

В1 x1 A  К x2 В2 Рис.6.24

Систему когерентных волн можно получить, если на пути сферической волны от точечного источника поставить непрозрачный экран с двумя отверстиями (рис.6.24). Волна может проникнуть за экран только через отверстия В1и В2. Эти отверстия, согласно принципу Гюйгенса, являются самостоятель-ными источниками колебаний.

Вторичные волны, идущие от отверстий В₁и В₂, будут когерентными. Справа от экрана будет наблюдаться сложение волн, идущих от отверстий В₁и В₂. Определим амплитуду результирую-щего колебания в точке К, отстоящую от В₁на расстоянииx₁и от В₂– наx₂.

Запишем законы колебания:

(6.54)

Обозначим ,, тогда уравнения (6.54) запишутся в виде

где ₁,₂– начальные фазы колебания.

Результирующее колебание будет описываться уравнением

.

Амплитуда колебаний по теореме косинусов будет равна

или

, (6.55)

так как .

Величина , равная разности расстояний, проходимых волнами от источников колебаний до данной точки среды, называется разностью хода волн:=x₂-x₁, а величина=₁-₂называется сдвигом фаз между интерферирующими волнами. Тогда из (6.45) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит от сдвига фаз между интерферирующими волнами.

Если разность фаз равна четному числу :

=2n;

;

,

то разность хода равна четному числу полуволн. Согласно (6.55), амплитуда в этом случае достигает максимума и равна

А=А₁+А₂.

Если разность фаз равна нечетному числу :

;

;

,

то разность хода равна нечетному числу полуволн и наблюдается минимум результирующего колебания:

.

При А₁=А₂колебания взаимно уничтожаются.

Таким образом, интерференция волн – это явление усиления или ослабления колебаний при наложении когерентных волн.