Лекция 14 Тема 4.1 Электромагнитная задача. Постановка проблемы. Алгоритм решения мкэ

В общем случае процесс непрерывного индукционного нагрева описывается системой уравнений Максвелла для электромагнитного с соответствующими краевыми условиями.

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь {H}, {B}, {D} – векторы напряженности магнитного поля, магнитной и электрической индукции, – вектор плотности приложенного тока,– вектор плотности индуцированного тока,

Вышеприведенные уравнения описывают связь между различными средами, входящими в систему. Индукционный нагрев на средних частотах характеризуется отсутствием свободных зарядов в системе рассматриваемых сред, поэтому из системы уравнений (1)..(4) можно исключить уравнение (4). Кроме того, обоснованны следующие допущения:

1. Поле принимается квазистационарным. Под этим понимается отсутствие запаздывания электромагнитной волны в воздухе (но не в металле). Это допущение позволяет пренебречь токами смещения по сравнению с токами в проводниках.

2. Не учитываются потери на гистерезис при нагреве ферромагнитных тел в силу их незначительности по сравнению с потерями от вихревых токов.

Принятые допущения позволяют упростить решение рассматриваемой задачи.

Граница раздела магнитных сред описывается системой:

(7)

Последнее выражение учитывает скачок вектора на границе раздела сред.

При тангенциальные составляющие напряженностина границе раздела непрерывны

(8)

Кроме этого необходимо задать:

- уравнения поверхностей, отделяющих друг от друга среды i и j, f_ij(x,y,z)=0;

- начальные величины E₀(x,y,z), H₀(x,y,z) в момент времени t₀ в произвольной точке исследуемого объема с границейS;

- касательные составляющие вектора или в произвольной точке поверхности в произвольном временном интервале отt₀ до t, или распределения полей ивне исследуемого объемаV;

- функциональные зависимости параметров ε, μ, γ от координат пространства или от напряженности соответствующего поля.

При индукционном нагреве на средних частотах влиянием электрической индукции можно пренебречь. Отсутствие в рассматриваемой системе движущихся постоянных магнитов также исключает появление дополнительных источников внутри проводящих материалов. Тогда связь между напряженностью электрического поля и плотностью токов будет иметь вид

, (12)

Решение задачи электромагнитного поля достигается использованием векторного магнитного потенциала {A} и скалярного электрического потенциала V, которые выражаются следующим образом:

(14)

(15)

Чтобы функция была определена, нужно определить значение ее дивергенции. Для этого добавляется условие, которое называется калибровкой Кулона

(16)

В результате получим следующую систему уравнений

(17)

(18)

(19)

Используя соотношение

(20)

при μ=const из (17) получим уравнение

(21)

Уравнение Пуассона (21) дополняется граничными условиями Дирихле и Неймана на различных участках границы:

наS₁ (22)

наS₂ (23)

Такое упрощение условий задачи объясняется тем, что дальнейший переход к конечно-элементной формулировке намного облегчается для линейной задачи. Реальные нелинейные задачи решаются на базе линейных моделей с помощью итерационных алгоритмов расчета.

Решение краевой задачи расчета магнитного поля в изотропной среде (21)..(23) эквивалентно минимизации энергетического функционала:

(24)

Сущность метода, основанного на МКЭ, заключается в исследовании глобальной функции процесса, в данном случае векторного потенциала , в дискретных частях анализируемой областиV, которая должна быть предварительно разбита на конечные смежные подобласти (конечные элементы), что позволяет свести задачу с бесконечным числом степеней свободы к задаче, содержащей конечное число параметров. При этом внутри подобластей искомая функция интерполируется степенными полиномами, сшивается на границах контакта элементов, и при условии малости геометрических размеров последних (число элементов стремится к бесконечности), оказывается решением уравнений в частных производных типа (21)..(23). В качестве интерполирующих полиномов конечных элементов треугольного вида использованы линейные функции формы вида:

(25)

Треугольные элементы позволяют наиболее просто аппроксимировать сложные геометрические границы тел. В настоящее время разработаны другие виды конечных элементов, например четырехугольные с криволинейными сторонами, что обеспечивает при сравнительно небольшом числе элементов гладкую аппроксимацию контуров области. Такая же ситуация имеет место и для объемных областей. Дальнейшие рассуждения проведем для более простой плоской задачи.

В результате векторный потенциал внутри m – го элемента треугольника определяется значениями потенциала в вершинах треугольника, то есть является линейной функцией координат x и y.

(26)

где: - постоянные коэффициенты функций формыN_i , вычисляемые в зависимости от пространственных координат узлов элемента m; - комплексные амплитуды вектора в узлах конечного элемента.

В дискретной модели функционал (24) определяется суммой вкладов всех КЭ, входящих в ансамбль

, (27)

а условие его минимума приобретает вид

(28)

где Ne –полное число всех элементов.

Дифференцирование по дает результат, отличный от нуля только в том случае, еслиi является одной из вершин текущего треугольника. Следовательно, для каждого элемента можно построить свой блок элементных матриц, отражающих вклад данного КЭ в энергетический функционал (24).

Матрица жесткости определяется следующим выражением:

(29)

Матрица вихревых токов рассчитывается следующим образом

. (30)

Матрица внешних источников тока вычисляется согласно выражению

(31)

В последнем выражении плотность внешних источников тока внутри элемента принимается постоянной.

Согласно выражению (28) элементные матрицы (29) должны объединяться в глобальные матрицы, характеризующие поведение дискретной системы в целом.

(32)

В результате ансамблирования получаем систему алгебраических уравнений:

(33)

Решение данной задачи осуществляется итерационным методом. Краевые условия вида Дирихле учитываются путем принудительного исключения столбцов и строк глобальных матриц (32), относящихся к узлам дискретной системы, лежащих на удаленных границах S области V. Условия симметрии удовлетворяются при ансамблировании элементов автоматически. Распределенные параметры магнитного поля вычисляются по выражению (18):

; (34)

(35)

. (36)

Напряженность электрического поля

. (37)

Мощность внутренних источников тепла, характеризующих нагрев проводящих тел индукционной системы, вычисляется для каждого элемента по закону Джоуля-Ленца

, (38)

где - величина, сопряженная к.

Кроме этого, рассчитываются также электродинамические усилия, действующие на проводящие тела индукционной системы.

Магнитные силы в токопроводящем проводнике определяются численным интегрированием

(39)

Тензор напряжений Максвелла используется для определения сил в ферромагнитных областях. Эта сила рассчитывается на внешней поверхности элемента, которая имеет ненулевую грань нагружения. Для двумерного случая имеет место выражение

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Для учета нелинейной зависимости в ферромагнитных областях используется итерационный алгоритм многократного решения результирующей системы уравнений (33). В начальной стадии расчета задается значениеμ=const по всей области ферромагнитных макроэлементов, затем вычисляются распределенные параметры поля, что позволяет на следующей стадии расчета корректировать μ внутри каждого конечного элемента в зависимости от значения напряженности магнитного поля в данной области. Итерации повторяются до полной сходимости процесса. Определение магнитной проницаемости производится с помощью введения в программу расчета полинома, аппроксимирующего кривую намагничивания.

49