для первого курса / для первого курса / Ответы по вышке / Ответы по вышке / ДУ / 02. ОДУ первого порядка

ОДУ первого порядка.

В общем случае ДУ 1-го порядка( можно, , (′) =записать)0(1) .

′ = , (2)

Общем решением ОДУ 1-го порядка( = является(), )(3) функция:

Φ , , = 0(4)

C – постоянная которая появляется при интегрировании ОДУ 1-го порядка. Геометрический смысл решения это множество интегрированных кривых. Если задается дополнительно условие из которого находиться постоянная интегрирования то решение называют частным или говорят, что нахождение

частного решения ОДУ соответствует задачи Каши для ОДУ 1-го порядка

Частное

решение

( 0)

= 0

удовлетворяющему условию:

интегральная прямая.

геометрически

определяется

как

единственная

Задача

каши для ОДУ может иметь более отдного решения,

а может

вообще не иметь решений.

Теорема существования и единственности задачи каши.

непрерывна

в= ( , )

( , )

Для ОДУ 1-го порядка это Теорема формулируется следующим образом.

′( , )

′

функция

и её частная производная

Если в уравнении

каши.

= ( )

открытой области D xOy, то в этой области D –

существует

единственное

решение

удовлетворяющее

условие

1.2.

Типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Запишем

дифференциальные

уравнение

1-го

порядка

через

1.

( , ) +

( , ) = 0 (1)

деффренциалы

Дифференциальное

уравнение

1)

называется

уравнением с

( , ) = 1( ) + 2( )

разветвляющимися переменными если

Подставим в уравнение (1)

( , ) = 1

( ) + 2( )

= 0

Что бы разделить

1

( )

2( )

+ 1( ) 2

( )

=

→

=

следующим:

переменные воспользуемся

2( )

1( )

+

= 0 (2)

Уравнение 2- это уравнение с

2( )

1

( )

1( )

разделенными переменными.

2. Уравнение

+

2( )

= 0 →

= ( , )

(1)

При интегрировании этого выражения мы получим…

1

2

Φ = ( , , )

( )

( )

называется

однородным

дифференциальным

уравнением 1-го порядка если функции M(x,y) и N(x,y) являются

однородными.

Определение. Функция двух переменных называется однородной если при замене x на tx а y на ty , где t R.

Решаются однородные

( , ) =

( , )(3)

′

=

′

+

уравнения с помощью подстановки z=y/x

′

однородного

дифференциального

Рассмотрим на примере

решение

′

= 1

уравнения

=

Проверим будет ли данное

−

Пример:

=

→

′

=

=

2

=

; = 0

Данная проверка

.

=

уравнение однородным2 2

)

−

−

(

−

2что исходное

является2

2достаточным2 2 2

условием2 2

того2

,

уравнение является однородным.=

; = ;

′

=

+

+ =

′

+ =

2 −

2

2 ;

1 − 2

Подставим подстановку в уравнение′ :

′

′

=

=

2 −

; →

31 −

Мы получим уравнение с

=

1 − 2

(1 −

2)

разделяющимися переменными, разделим их.

1

3

=

1

=

Данное уравнение можно

3

−

1

1

=

−2 3

−

проинтегрировать.

− 2 −−1

= +

2

2

= ln ( )

−1

=

−1

2

2

=

2

2

)

2(

= −2 22

3. Уравнения в полных

=

−2

2

Называется уравнением

1

в( , ) + ( , ) = 0 (1)

дифференциалах.

полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения является полный дифференциалом некоторой функции U.

= ( , ); =

+ (2)

Из теорем

= ( , )

+ ( , ) (3)

криволинейных интегралов известно, что необходимым и

достаточным условием

существования

такой

функции является условие

вида.

Только в этом случае левая

часть уравнения (1) будет полным

=

(4)

Рассмотрим решение уравнения в( , )

= (5)

дифференциалом равным нулю.

Прежде

всего

(

+

полных дифференциалах на примере.

2

) + (sin + 2 ) = 0

Пример:

убедимся,

что

данное

дифференциальное

уравнение

является

уравнение

в

полных

дифференциалах. Для этого

проверим

= cos

;

= cos ;

Данное уравнение является

условие 4.

уравнением в полных дифференциалах, а это

значит что левая часть удовлетворяет условиям 2 и 3.

= +

2

(6)

Сравним исходное уравнение с уравнением (2)

= sin + 2 (7)

Проинтегрируем 6 из данной

3

= (

+

2

)

=

+

3 + ( ) (8)

системы по переменной х.

= sin

+ ′

( )(9); (7) ≡ (9)

Продифференцируем (8) по переменной у;

+ ′( )

sin + 2 = sin

Подставим теперь в 8.

( )

= 2

2

=

+

3

По условию 5

3

+

4. Линейные

+

3

+

2

= С

дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Если правую часть

′

+ ( )

= ( )(1)

Записывается в виде:

3

приравнять к 0, то уравнение будет уравнением с

разделяющимися переменными.

′

= ′ + ′

Решаем линейное уравнение с помощью подстановки y=UV а

		′ + ′ +					=
Подставим вместо у и y’ в уравнение (1).								+ = 0
Бернулли		+ (	′	+ ) = (2)			′
	′				′ = ( )
	предложил считать уравнение в скобочках равным тогда
					+ = 0( )
Равенство 0, объясняется следующим′						образом: поскольку y=UV то функции

могут быть выбраны произвольно, главное что бы их произведение
равнялось у.	= − ; = −; ln = −
Изуравнения (*) мы можем найти V
	−∫ = → = −∫
Подставим полученное в		уравнение (**)−∫
		=
И получаем ответ		=	−∫
		= −∫ −∫

С помощью рассмотренной подстановки y=UV решаются не только линейные

уравнения, но и уравнения Бернулли, которые отличаются от линейных дополнительным множителем′ +в степени( ) =в правой( ) части.

При решение дифференциальных уравнений мы получаем уравнения в общем виде, в которых постоянная интегрирования С не определена. Что бы найти частное решение дифференциального уравнения необходимо иметь начальные условия( задачу каши) и которых определяется частная постоянная С0.