Zbirnyk_zadach_z_Konstrukt_Geom

122. На розширенiй прямiй ¯l заданий проективний репер R = (A1, A2, E). Побудувати точки M(1, −1), N(−2, 1), L(−2, 2) за ¨х координатами в цьому реперi.

123. На розширенiй прямiй ¯l заданий проективний репер R = (A1, A2, E∞). Побудувати точки M(−1, 1) i N(1, −2) за ¨х координатами в реперi R.

124. На розширенiй прямiй ¯l заданий проективний репер R = (A1, A2, E), äå A1, A2 власнi точки прямо¨ ¯l, E середина вiдрiзка A1A2. Знайти координати невласно¨ точки X∞ ¯l.

125. На розширенiй прямiй ¯l данi точки A1, A2. Побудувати одиничну точку E проективного репера R = (A1, A2, E), якщо невласна точка M∞ прямо¨ ¯l ìà¹

координати M∞(−1, 2) в реперi R.

126. На розширенiй прямiй заданий проективний репер ˜

R = (A, X∞, E). Побудувати

˜

точку M(2, 1) з вказаними координатами в реперi R.

127.На розширенiй площинi σ¯ заданий проективний репер R = (A1, A2, A3, E), äå A1, A2, A3, E ¹ власнi точки. Побудувати точки M(1, 2, 0), N(0, −2, −1), P (1, 2, 1), Q(0, −4, 0) за ¨х координатами в реперi R.

128.На розширенiй площинi σ¯ заданий проективний репер R = (A1, A2, A3, E∞) з власними вершинами i невласною одиничною точкою. Побудувати точку M(1, 1, 2) за ¨¨ координатами в реперi R.

129.На площинi дана проективна система координат R = (A1, A2, A3, E); побудувати точки K(0, 1, −1), L(1, −1, 0), S(1, 2, −1) i Q(2, −1, 1).

˜

130. На розширенiй площинi σ¯ заданий проективний репер R = (A, X∞, Y∞, E).

− ˜

Побудувати точки M(2, 4, 1) i N(0, 1, 2) за ¨х координатами в реперi R.

131.Нехай R = (A1, A2, A3, E) проективна система координат, а E1 = A1E ∩ A2A3,

E2 = A2E ∩ A1A3, E3 = A3E ∩ A1A2, P1 = E2E3 ∩ A1E, P2 = E3E1 ∩ A2E, P3 =

E1E2 ∩ A3E. Визначити координати точок A1, A2, A3, E, E1, E2, E3, P1, P2, P3.

132.Точка E центр ваги трикутника A1A2A3 на площинi σ. Побудувати точку M(1, 1, −1) за ¨¨ координатами в проективному реперi R = (A1, A2, A3, E) на розширенiй площинi σ¯.

133.Одинична точка E проективного репера R = (A1, A2, A3, E) на розширенiй площинi ¹ точкою перетину медiан трикутника A1A2A3. Знайти координати невласних точок сторiн координатного трикутника i координати невласних точок його медiан вiдносно репера R.

2.2Перетворення проективних координат

134.На проективнiй прямiй заданi двi системи координат R i R0, якi пов'язанi такими рiвняннями переходу:

λx1 = x01 + x02, λx2 = 2x01 − x02.

11

Знаючи координати точок в системi R0 : A(1, −1), B(0, 1), C(−3, 1), знайдiть ¨х координати в системi R. Знаючи координати в системi R : D(0, 1), E(1, −1), F (2, 7), знайдiть ¨х координати в системi R0.

135.На проективнiй прямiй заданi двi системи координат R i R0. Знайдiть рiвняння

переходу вiд першо¨ системи до друго¨, якщо вiдомi координати фундаментальних точок A01, A02, E0 системи R0 в системi R:

(a)E0(−1, 3), A01(1, 2), A02(−2, 1);

(b)E0(1, 1), A01(1, 0), A02(1, 2);

(c)E0(1, 2), A01(1, 0), A02(0, 1);

(d)E0(0, 1), A01(1, 1), A02(−1, 1).

136.На розширенiй евклiдовiй прямiй в проективних координатах заданi точки A(1, 1), B(2, 3), C(−3, 5), D(1, 0), E(0, 1). Знайдiть ¨х координати у вiдповiднiй афiннiй системi координат.

137.На проективнiй прямiй в деякiй проективнiй системi координат R0 äàíi фундаментальнi точки iншо¨ системи координат R : E(1, 0), A1(1, 3), A2(1, −3). Знайдiть координати точок A, B i C в системi R, якщо вiдомi ¨х координати в системi R0 : A(1, 1), B(2, −3), C(0, 1).

Âêàçiâêà. Знайдiть рiвняння переходу

µx01 = x1 + x2, µx02 = 3x1 − 3x2,

далi координати шуканих точок.

138.На евклiдовiй прямiй данi сво¨ми афiнними координатами фундаментальнi точки проективно¨ системи координат: E(0), A1(1), A2(−1). Знайдiть проективнi координати точок A(2), B(3), C(−2), D(−3) i невласно¨ точки K∞.

139.Данi координати фундаментальних точок A01(1, 1, 0), A02(1, −1, 0), A03(1, 1, −2), E0(1, −1, 2) проективно¨ системи координат R0 вiдносно проективно¨ системи R. Знайти рiвняння переходу вiд одно¨ системи до iншо¨.

140.Точка M в системi R0, яка задана в умовi попередньо¨ задачi, ма¹ координати (1, 2, −1). Знайдiть ¨¨ координати в системi R. Точка N в системi R з попередньо¨ задачi ма¹ координати (1, 0, −1). Знайдiть ¨¨ координати в системi R0.

141.Вершини координатного трикутника i одинична точка проективного репера R0 мають на розширенiй площинi такi афiннi координати:

A01(0, 3), A02(4, 0), A03(4, 3), E0(3, 2).

Знайти:

1) проективнi координати точки M, якщо ¨¨ афiннi координати M(1, 1);

12

2)афiннi координати точки N, якщо ¨¨ проективнi координати N(4, 3 − 6);

3)проективнi координати невласно¨ точки осi абсцис;

4) однорiднi афiннi координати точки P , якщо ¨¨ проективнi координати

P (5, 5, −7).

142.Знайдiть проективнi координати точок в проективному реперi R = (A, B, C, D) евклiдово¨ площини, якi заданi сво¨ми афiнними координатами: O(0, 0), A(1, 0),

B(0, 1), C(2, 5), D(−3, 1), E(4, −2), F (−1, 5), P (1, 1).

143.В проективних координатах дано рiвняння криво¨

3x21 + 3x22 + 2x1x2 − 8x2x3 − 8x1x3 = 0.

Знайдiть рiвняння цi¹¨ криво¨ в проективнiй системi координат R з фундаментальними точками A1(1, 1, 1), A2(1, 1, 0), A3(1, −1, 0), E(2, 1, 1).

Âêàçiâêà. Спочатку знайдiть формули переходу вiд проективно¨ системи координат до системи R.

2.3Умова колiнеарностi трьох точок проективно¨ площини. Рiвняння прямо¨

144. Скiльки прямих мiстить проективна площина P (F23), äå F23	тривимiрний
векторний простiр над полем F2 лишкiв по модулю 2?

В наступних задачах координати точок i прямих проективно¨ площини заданi вiдносно проективного репера.

145.Серед наступних трiйок точок:

(a)A(2, −3, 1), B(−1, 5, 3), C(1, 2, 4);

(b)D(−4, 2, 3), E(1, 0, 3), F (3, 2, 7);

(c)K(6, −1, 3), L(2, 2, 1), M(2, −5, 1)

знайдiть колiнеарнi.

146.Переконатись, що точки A(1, −2, −1), B(1, 0, −2) i C(−3, −4, 8), заданi в проективнiй системi координат лежать на однiй прямiй.

147. Переконатись, що точки A(1, 2, 3), B(−3, 2, 4) i C	−7		,	7, 1 , заданi в проективнiй
	2			4
системi координат лежать на однiй прямiй.

148.В реперi R = (A1, A2, A3, E) на проективнiй площинi точки A, B, C, D мають координати A(1, 0, −1), B(2, 1, 0), C(0, 0, 1), D(1, 1, 2). Перевiрити, що цi точки

¹ точками загального розташування, i знайти векторний базис, який породжу¹ репер R0 = (A, B, C, D).

149.Знайти рiвняння прямо¨, яка проходить через точки M(1, 0, 1) i N(1, 1, −1).

13

150.Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точки A(1, 4, 3) i B(2, 1, 3).

151.Знайдiть рiвняння прямих, якi проходять через наступнi пари точок: а) A(2, −1, 0) i B(0, 1, 0); б) (−2, 0, 1) i (3, −2, 1); в) E(1, 1, −1) i F (−1, 0, 1).

152.Знайдiть координати точки перетину прямих 2x1 +x2 +x3 = 0 i 3x1 +3x2 +2x3 = 0.

153.Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точку перетину прямих x1 + x2 − x3 = 0 i 2x1 − x2 + 4x3 = 0 i через точку M(4, −2, 5).

154.Знайдiть точку перетину прямо¨ u : 2x1 + x2 + x3 = 0 з прямою, яка проходить через точки M(1, 1, 6) i N(2, −1, 0).

155.Знайдiть точку перетину прямо¨, яка проходить через точки A(1, 4, 2) i B(2, 6, 1), з прямою u : 3x1 − 4x3 = 0.

156.Знайдiть точку перетину прямо¨, яка проходить через точки A(−4, −3, 2) i

B(2, 0, 1), з прямою u : x1 − 2x2 + 2x3 = 0.

157.Данi координати точок: A(6, 1, 10), B(1, 0, 0), C(2, 3, 4), D(4, −1, 2). Знайдiть координати точки перетину прямих AB i CD.

158.Данi координати чотирьох точок A, B, C, D. Знайдiть координати точки перетину M прямих AB i CD, якщо

(a)A(3, 0, 1), B(0, 4, 2), C(−2, 1, −3), D(1, −1, 1);

(b)A(0, 1, 1), B(−1, 2, 1), C(3, −3, 1), D(0, 1, 0).

159.Знайдiть рiвняння прямо¨ u, яка проходить через точку перетину прямих

l : 2x1 + 4x2 + x3 = 0, m : x1 + x2 + x3 = 0

i через точку A(2, 1, −1).

160.Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точку перетину прямих

l : 3x1 − x2 + 6x3 = 0, m : x2 − 4x3 = 0

i через точку A(1, −2, 3).

161. Данi чотири прямi:

a : 3x1 + 2x2 − x3 = 0,	c : 2x1 + x3 = 0,
b : 4x1 − x2 = 0,	d : x1 − x2 + x3 = 0

Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d. 162. Данi чотири прямi:

a : x1 + x2 − x3 = 0,	c : x1 − x2 − x3 = 0,
b : 2x1 + x2 − 2x3 = 0,	d : 2x1 − x2 + 2x3 = 0

14

Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d. 163. Данi чотири прямi:

a : x1 + x2 − 4x3 = 0,	c : 2x1 − 3x2 + x3 = 0,
b : x1 + x2 + x3 = 0,	d : 5x1 + x2 + 3x3 = 0

Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точки a ∩ b i c ∩ d.

164.Данi чотири точки: A(1, 1, 0), B(0, −1, 2), C(1, 1, 2), D(2, −1, 0). Знайдiть координати точок P = AB ∩CD, Q = AC ∩BD, R = AD ∩BC. Знайдiть рiвняння прямих P Q, QR i RP .

165.Данi чотири прямi:

a : x1 + x2 = 0,	c : x1 + x2 + 2x3 = 0,
b : −x2 + 2x3 = 0,	d : 2x1 − x2 = 0

Знайдiть рiвняння прямих AC i BD, де A = a ∩ b, B = b ∩ c, C = c ∩ d, D = d ∩ a. Знайдiть координати точок P = b ∩ d, Q = AC ∩ BD, R = a ∩ c.

166.Данi три точки: A(0, 1, −1), C(−4, 2, −1), D(0, 1, 0) i пряма b : x1 + x2 − 3x3 = 0. Знайдiть рiвняння прямо¨, яка проходить через точки A i B = b ∩ CD.

167. Данi три точки: A(−1, 0, 1), B(3, 2, 1), C(4, 1, 1) i двi прямi d : 3x1 − x2 + x3 = 0 i e : x1 + x2 − x3 = 0. Знайдiть точку перетину прямо¨ AB з прямою, що проходить через точку C i точку D = d ∩ e.

168. Данi шiсть точок Ai. Доведiть, що точки P = A1A2 ∩ A4A5, Q = A2A3 ∩ A5A6, R = A3A4 ∩ A6A1лежать на однiй прямiй:

à) A1		(1, 0, 1), A2(0, 1, 1), A3(3, 4, 5), A4(1, 0, −1), A5			(0, −1, 1), A6			(−3, 4, 5);
á)	A1	√			√			√
									;
		(1, 1, 1), A2(−1, 1, 1), A3(1, −1, 1), A4( 2, 0, 1), A5(0, 2, 1), A6(−							2, 0, 1)
â) A1(1, 1, 0), A2(1, 2, 0), A3(1, 1, 2), A4(1, 0, 2), A5(1, 1, −2), A6(1, −1, 3);
ã)	A1(2, −1, 0), A2(2, 1, 2), A3(2, −1, 1), A4(1, 0, 1), A5(6, −3, 2), A6(1, 1, 1).

169.Нехай P1 = A1A4 ∩ A2A3, Q1 = A4A5 ∩ A3A6, R1 = A2A5 ∩ A6A1, äå Ai точки з задачi 168, а г. Доведiть, що точки P1, Q1, R1 лежать на однiй прямiй.

170.Нехай P2 = A5A6 ∩ A1A4, Q2 = A6A3 ∩ A1A2, R2 = A3A4 ∩ A2A5, äå Ai точки з задачi 168, а г. Доведiть, що точки P2, Q2, R2 лежать на однiй прямiй.

171.Данi шiсть прямих ai, точки перетину цих прямих позначенi таким чином: B1 = a1 ∩ a2, B2 = a2 ∩ a3, B3 = a3 ∩ a4, B4 = a4 ∩ a5, B5 = a5 ∩ a6, B6 = a6 ∩ a1. Доведiть, ùî ïðÿìi p = B1B4, q = B2B5, r = B3B6 перетинаються в однiй точцi:

15

à) a1 : x1 + x2 = 0,	á) a1 : 2x1 − x2 = 0,
a2 : x1 + 2x2 = 0,	a2 : 2x1 + x2 + 4x3 = 0,
a3 : x1 + x2 + 2x3 = 0,	a3 : 2x1 − x2 + 2x3 = 0,
a4 : x1 + 2x3 = 0,	a4 : x1 + 2x3 = 0,
a5 : x1 + x2 − 2x3 = 0,	a5 : x3 = 0,
a6 : x1 − x2 + 3x3 = 0;	a6 : x1 + x2 + 2x3 = 0.

172. Нехай A, B, C, D чотири довiльнi точки, з яких жоднi три не колiнеарнi. Далi,

нехай

A1 = BC ∩ BC, B1 = BD ∩ AC, C1 = CD ∩ AB

i P = BC ∩ B1C1, Q = AC ∩ A1C1, R = AB ∩ A1B1

(див. рис.). Доведiть, що точки P, Q, R колiнеарнi.

Âêàçiâêà. Введiть проективну систему координат R = (A, B, C, D).

173.На двох рiзних прямих m i n довiльно взятi рiзнi точки A1, A2, A3, A4, A5, A6 вiдповiдно (див. рис.). Доведiть, що точки P = A1A2 ∩ A4A5, Q = A2A3 ∩ A5A6, R = A3A4 ∩ A6A1 належать однiй прямiй (теорема Паскаля Паппа).

16

Âêàçiâêà. Розгляньте проективну систему координат R = (A1, A2, A3, A4).

174.Через рiзнi точки M i N довiльно проведенi прямi a1, a3, a5 i a2, a4, a6 âiäïîâiäíî. Точки перетину цих прямих: B1 = a1 ∩ a2, B2 = a2 ∩ a3, B3 = a3 ∩ a4, B4 = a4 ∩ a5, B5 = a5 ∩ a6, B6 = a6 ∩ a1. Доведiть, що прямi B1B4, B2B5, B3B6 перетинаються в îäíié òî÷öi.

175.Данi формули переходу вiд проективно¨ системи координат R до проективно¨

системи координат R0:

λx1 = x01 − x03, λx2 = x01 + 2x02,

λx3 = x01 − x02 + x03.

а) Знайдiть рiвняння прямо¨ l в системi R0, якщо вiдомо ¨¨ рiвняння в системi

R:

x1 + 2x2 = 0.

б) Знайдiть рiвняння прямо¨ m в системi R, якщо вiдомо ¨¨ рiвняння в системi

R0:

x01 + 2x02 = 0.

176.В проективнiй системi координат R данi координати фундаментальних точок проективно¨ системи координат R0:

A01(1, 1, 1), A02(0, 1, 0), A02(1, 0, 0), E0(0, 0, 1).

Знайдiть:

а) формули переходу вiд однi¹¨ системи координат до iншо¨;

б) координати точки A в системi R, якщо вiдомi ¨¨ координати в системi R0:

A(−4, 0, 1);

в) координати точки B в системi R0, якщо вiдомi ¨¨ координати в системi R:

B(2, −1, 3);

г) рiвняння прямо¨ в системi R0, якщо вiдоме ¨¨ рiвняння в системi R:

x1 + x2 + x3 = 0;

д) рiвняння прямо¨ в системi R, якщо вiдоме ¨¨ рiвняння в системi R0:

2x01 − x02 + x03 = 0.

177.Одинична точка E проективного репера R = (A1, A2, A3, E) на розширенiй площинi ¹ точкою перетину медiан координатного трикутника A1A2A3. Знайти координати невласних точок сторiн координатного трикутника i координати невласних точок його медiан вiдносно репера R.

17

2.4Подвiйне вiдношення чотирьох точок прямо¨

178.Знайдiть подвiйне вiдношення (AB, CD) наступних четвiрок точок проективно¨ прямо¨:

à) A(1, −1),	B(3, −1),	C(7, −3), D(5, −3);
á) A(1, 0),	B(7, −4),	C(1, −1), D(3, −1);
â) A(1, 3),	B(−1, 4),	C(−1, 11), D(3, 2);
ã) A(1, 1),	B(3, −2),	C(3, −2), D(1, 7);
ä) A(2, −1), B(1, 3),		C(−1, 1), D(−1, 1);
å) A(1, 1),	B(−1, 3), C(1, 2), D(−1, 3).

179.Данi три точки i подвiйне вiдношення четвiрки точок проективно¨ прямо¨. Знайдiть четверту точку.

à) A(1, −1),	B(2, 1),	C(1, 0),	(AB, CD) =	1	. Знайдiть D.
				2
á) A(1, −1),	B(2, 1),	C(1, 0),	(AB, CD) = −1. Знайдiть D.
â) A(1, −1),	B(2, 1),	C(1, 0),	(AB, CD) = 1. Знайдiть D.
ã) B(0, 1),	C(1, 1),	D(2, 1),	(AB, CD) = −2. Знайдiть A.
ä) A(3, 4),	C(−1, 2),	D(2, 1),	(AB, CD) = −2. Знайдiть B.
å) A(1, 3),	B(−1, 2),	D(1, 1),	(AB, CD) = 0. Знайдiть C.

180.Серед четвiрок точок задачi 178 знайдiть такi, для яких A, B ч C, D, i такi, для яких A, B . . C, D.1

181.Четвiрку точок A(−1, 2), B(−1, 3), C(−3, 8), D(−4, 11) розбийте на роздiленi пари.

182.(AB, CD) = 2. Знайдiть (DC, AB), (BA, CD), (DB, CA), (CA, BD), (AD, BC).

183.(AC, BD) = −34. Знайдiть (AD, BC), (BA, DC), (AB, CD).

184.Данi точки A(1, 2), B(2, −1), C(1, 0). Знайдiть точку D таку, щоб були

гармонiйними 2 наступнi четвiрки:

à) A, B, C, D; á) A, B, D, C; â) A, D, B, C; ã) D, A, B, C.

185.Данi двi пари точок проективно¨ прямо¨: A(2, −1), A0(0, 1) i B(1, 0), B0(1, 4). Знайдiть пару точок, гармонiйно роздiляючих кожну з даних пар.

186.Данi двi пари точок проективно¨ прямо¨: A(2, −1), A0(1, 4) i B(0, 1), B0(1, 0). Доведiть, що не iсну¹ пари точок, гармонiйно роздiляючих кожну з даних пар.

187.Данi афiннi координати чотирьох точок евклiдово¨ прямо¨. Знайдiть подвiйне вiдношення (AB, CD) цих точок.

1	Вираз A, B ÷ C, D означа¹, що пара точок A, B роздiля¹ пару точок C, D, а вираз A, B . . C, D
означа¹, що пара точок A, B не роздiля¹ пару точок C, D.
2	Точки A, B, C, D називаються гармонiйними, якщо (AB, CD) = −1.

18

à) A(−2),	B(1),	C(3), D(−4);
á) A(3),	B(−1),	C(1), D(0);
â) A(−10),	B(3),	C(1), D(−6).

188.Данi афiннi координати трьох власних точок розширено¨ евклiдово¨ прямо¨: A(3), B(−1), C(2). Знайдiть: а) (AB, CD∞); á) (D∞C, BA); â) (CB, D∞A), äå D∞ невласна точка дано¨ прямо¨.

189.Данi афiннi координати трьох власних точок розширено¨ евклiдово¨ прямо¨:

A(a), B(b), C(c). Знайдiть: а) (AB, CD∞); á) (CD∞, BA); â) (CA, D∞B), äå D∞ невласна точка дано¨ прямо¨.

190.Данi точки:

A(1, 2, 4), B(5, 0, 4), C(3, 1, 4), D(2, −1, 0).

Доведiть ¨х колiнеарнiсть i знайдiть подвiйнi вiдношення (AB, CD) i (DB, CA).

191.Нехай P точка перетину дiагоналей трапецi¨, а Q точка перетину бiчних сторiн. Доведiть, що пара точок перетину прямо¨ P Q з основами трапецi¨ гармонiйно роздiля¹ться точками P i Q.

192.Данi точки:

A(1, −2, 1), B(0, −1, 1), C(1, 0, −1), D(1, −1, 0).

Переконайтесь в ¨х колiнеарностi i знайдiть подвiйнi вiдношення (AB, CD),

(AC, BD), (AD, BC), (DC, BA).

193. Данi точки:

A(1, 0, 1), B(1, −1, 2), C(5, −2, 7), D(1, 1, 0).

Доведiть ¨х колiнеарнiсть i знайдiть подвiйнi вiдношення:

(AB, CD), (AB, DC), (AC, BD), (AC, DB), (AD, BC),

(AD, CB), (BA, DC), (CD, AB), (CA, BD), (CB, AD).

194. Переконайтесь, що наступнi четвiрки прямих належать одному пучку:

à) a : x1 − 2x2 + x3 = 0;	á) a : x2 = 0;
b : −x2 + x3 = 0;	b : x1 − x2 = 0;
c : x1 − x3 = 0;	c : 3x1 − x2 = 0;
d : x1 − x2 = 0;	d : 5x1 − x2 = 0.

Знайдiть подвiйнi вiдношення: (ab, cd), (ad, bc), (dc, ba). 195. Данi п'ять точок:

A(1, 1, −1), B(−1, 2, −2), C(0, 1, −1), D(−1, 1, −1), P (0, 1, 0).

Переконайтесь в тому, що точки A, B, C i D колiнеарнi, але не колiнеарнi з P . Безпосередньою перевiркою покажiть, що (AB, CD) = (ab, cd), де a = P A,

b = P B, c = P C, d = P D.

19

196. Данi п'ять прямих:

a : x1 − 2x2 + x3 = 0; b : 2x1 + x2 + x3 = 0; c : 5x1 + 3x3 = 0;

d : x1 + 3x2 = 0; p : 3x1 − x2 = 0.

Переконайтесь в тому, що прямi a, b, c, d належать одному пучку, але пряма p цьому пучку не належить. Шляхом безпосередньо¨ перевiрки покажiть, що

(ab, cd) = (AB, CD), äå A = p ∩ a, B = p ∩ b, C = p ∩ c, D = p ∩ d.

197.Данi прямi a(2, 1, 1), b(0, 1, 3) i c(1, 0, −1). Перевiрте, що цi три прямi належать одному пучку, i знайдiть в цьому пучку пряму d таку, щоб (ab, cd) = 13.

198.На розширенiй евклiдовiй площинi данi чотири прямi: a: y = 0, b: y = x, c: y = 3x, d: y = 5x. Переконайтесь в тому, що цi прямi належать одному пучку, i знайдiть

(ab, cd).

199.Äàíi òðè ïðÿìi:

a : 2x1 − x2 − x3 = 0, b : x1 + 3x2 + x3 = 0, c : 5x1 + x2 − x3 = 0.

	Переконайтесь в ¨х належностi до одного пучка i знайдiть рiвняння прямо¨ d з
	óìîâ: à) (ab, cd) = −1, á) (ab, cd) = 3, â) (db, ac) = −2.
200.	Данi три точки:
	A(1, −1, 2), B(−2, 0, 1), C(−1, −1, 3).
	Переконайтесь в ¨х колiнеарностi i знайдiть точку D таку, щоб:
	à) (AB, CD) = −1, á) (CD, BA) = −1, â) (CA, DB) = −1, ã) (AB, CD) = 2.
201.	Данi три точки:
	A(−1, 2, 1), B(3, 0, 1), C(5, −1, 1).
	Переконайтесь в ¨х колiнеарностi i знайдiть точку D таку, щоб:
	à) (AB, CD) = 2;	á) (AB, DC) = −1;
	â) (AD, CB) = −5;	ã) (DB, AC) = 3.
202.	Данi колiнеарнi точки
	A(−5, 0, 1), B(−3, 1, 1), C(−1, 2, 1), D(1, 3, 1).

Знайдiть роздiленi i нероздiленi пари, якi можна скласти з них.

20