Zbirnyk_zadach_z_Konstrukt_Geom

203.Подвiйне вiдношення (AB, CD) дорiвню¹ −1. Знайдiть (DB, CA).

204.а) Дано (AB, CD) = 3. Знайдiть (CA, BD).

б) Дано (AB, CD) = −2. Знайдiть (DB, CA), (CA, DB), (CA, BD), (AD, BC), (CB, AD).

в) Дано (AB, CD) = −1. Знайдiть (DB, CA), (CA, DB), (CA, BD), (AD, BC), (CB, AD).

205.Доведiть, що пара невласних точок гiперболи гармонiйно роздiля¹ться парою невласних точок ¨¨ осей.

206. Нехай K∞ i L∞ невласнi точки гiперболи x2 − y2 = 1, A∞ i B∞ невласнi

4

точки прямих 2x−3y + 1 = 0 i x+ y = 0 вiдповiдно. Знайдiть подвiйне вiдношення

(K∞, L∞, A∞, B∞).

2.5Принцип дво¨стостi. Теорема Дезарга та ¨¨ застосування

207.Назвати фiгури, дво¨стi наступним: а) тривершинник, б) двi рiзнi прямi, в) три колiнеарнi точки, г) чотиривершинник.

208.Знайти фiгури, дво¨стi (за принципом дво¨стостi в просторi P3) таким фiгурам:

а) тривершинник,

б) двi мимобiжнi прямi,

в) площина i пряма, яка не лежить в нiй,

г) повний чотиривершинник (чотири точки загального розташування в однiй площинi i шiсть прямих, що з'¹днують ¨х попарно).

209. Довести:

а) три рiзних площини завжди мають принаймнi одну спiльну точку;

б) якщо три прямi попарно перетинаються i не лежать в однiй площинi, то вони мають одну i тiльки одну спiльну точку.

210. Користуючись принципом дво¨стостi, довести, що:

1) на проективнiй площинi P2

а) через кожну точку проходить не менше трьох прямих; б) iснують три прямi, що не проходять через одну точку;

2) в тривимiрному проективному просторi P3

а) через кожну пряму проходить не менше трьох площин; б) iснують три площини, що проходять через одну точку;

в) iснують чотири площини, що не проходять через одну точку;

г) через кожнi двi прямi, що перетинаються, проходить ¹дина площина; д) через пряму i точку поза нею проходить ¹дина площина.

21

211. Розгляньте частиннi випадки конфiгурацi¨ 3 Дезарга на розширенiй площинi, коли:

а) дезаргова вiсь невласна пряма; б) дезарговий центр невласна точка.

Сформулюйте вiдповiднi частиннi випадки прямо¨ та обернено¨ теорем Дезарга в термiнах евклiдово¨ геометрi¨.

212.Данi чотири точки A, B, C, S, з яких жоднi три не колiнеарнi, i пряма s, не iнцидентна жоднiй з них. Побудуйте конфiгурацiю Дезарга з центром S, вiссю s i тривершинником ABC.

213.В конфiгурацi¨ Дезарга на розширенiй еквлiдовiй площинi двi вершини одного з дезаргових трикутникiв невласнi точки. Зробiть рисунок конфiгурацi¨ Дезарга i сформулюйте вiдповiднi частиннi випадки прямо¨ та обернено¨ теорем Дезарга в термiнах евклiдово¨ геометрi¨. Доведiть отриманi теореми засобами евклiдово¨ геометрi¨.

214.Зробiть рисунок конфiгурацi¨ Дезарга у випадку, коли одна з вершин одного з дезаргових тривершинникiв невласна.

215.Зробiть рисунок конфiгурацi¨ Дезарга у випадку, коли пара невiдповiдних вершин тривершинникiв невласнi точки.

216.Перевiрте, що для довiльно¨ прямо¨ з конфiгурацi¨ Дезарга можна пiдiбрати такi два тривершинника цi¹¨ ж конфiгурацi¨, для яких дана пряма буде дезарговою вiссю.

217.На евклiдовiй площинi трапецiя вписана в чотирикутник так, що ¨¨ паралельнi сторони паралельнi однiй з його дiагоналей. Доведiть, що непаралельнi сторони трапецi¨ перетинаються на другiй дiагоналi (див. рис. на стор. 23).

218.На евклiдовiй площинi вершини паралелограма ABCD лежать на сторонах паралелограма A0B0C0D0 òàê, ùî A A0B0, B B0C0, C C0D0, D D0A0.

Доведiть, використовуючи теорему Дезарга, що центр симетрi¨ паралелограма ABCD спiвпада¹ з центром симетрi¨ паралелограма A0B0C0D0.

219.Використовуючи теорему Дезарга, доведiть, що медiани трикутника перетинаються в однiй точцi.

220.На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi l i m i точка P , яка ¨м не належить. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, через точку P проведiть пряму, що паралельна прямим l i m.

221.Точку перетину двох прямих l i m будемо називати недосяжною, якщо цi прямi

перетинаються за межами рисунка. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, проведiть пряму через точку N i недосяжну точку перетину прямих l i m.

3 Конфiгурацiя сукупнiсть точок i прямих, в якiй кожнiй прямiй iнцидентне одне i теж число точок, а кожнiй точцi одне i теж число прямих.

22

Рис. до задачi 217.

222.Данi пряма n i точки M i L, якi на нiй не лежать. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, побудуйте точку перетину прямо¨ n з прямою ML, не будуючи прямо¨ ML.

223.На евклiдовiй площинi данi паралелограм ABCD, точка M, що належить однiй з сторiн паралелограма, i пряма n. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, проведiть пряму через точку M паралельно прямiй n.

224.На евклiдовiй площинi данi паралелограм ABCD, пряма n i точка M, що не належить нi прямiй n, нi сторонам паралелограма. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, проведiть пряму через дану точку паралельно прямiй n.

225.Трапецiя ABCD перетята прямими p i q, паралельними основi AB, p ∩ AD = M, p ∩ AC = P , q ∩ BD = N, q ∩ BC = Q. Довести, що точка MN ∩ P Q лежить на прямiй AB.

226. Трикутники ABC i DBC перетятi трьома паралельними прямими p, q, r = AD, p∩AB = M, p∩DB = P , q∩AC = N, q∩DC = Q. Довести, що прямi MN, P Q, BC

належать одному пучку.

2.6Повний чотиривершинник i повний чотиристоронник

227.Користуючись однi¹ю лiнiйкою, побудуйте точку D, четверту гармонiйну до точок A, B i C в таких випадках:

à) (AB, CD) = −1; á) (AC, BD) = −1; â) (AD, BC) = −1.

228.На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi i вiдрiзок на однiй з них. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, роздiлiть цей вiдрiзок пополам.

23

вiдтина¹ вiд вiдрiзка AB

229. а) На розширенiй евклiдовiй площинi дана трапецiя ABCD, в якiй ABkCD;

P = CB ∩ AD, Q = AC ∩ BD; X = AB ∩ P Q, Y = CD ∩ P Q, K = AY ∩ BD,

T = AB ∩ KP . Доведiть, що вiдрiзок AT склада¹ третю частину вiдрiзка AB (див. нижче рисунок).

б) На евклiдовiй площинi дана трапецiя ABCD, в якiй ABkCD; P = AD ∩ BC,

X точка вiдрiзка AB, яка вiдтина¹ вiд нього n1 частину, вважаючи вiд A. Далi: Y = XP ∩ CD, K = AY ∩ DB, T = AB ∩ KP . Доведiть, що точка T

1

1 + n частину, вважаючи вiд A.

Рис. до задачi 229 а.

в) На евклiдовiй площину дана пара паралельних прямих i на однiй з них вiдрiзок AB. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, роздiлiть AB на 3, 4, 5, . . .

рiвних частин.

230.Яка пряма на евклiдовiй площинi буде четвертою гармонiйною до трьох прямих пучка a, b i c, якщо пряма c дiлить кут, утворений прямими a i b, пополам?

231.На площинi данi три прямi пучка S: a, b, c. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, побудуйте четверту гармонiйну пряму до прямих a, b i c : (ab, cd) = −1.

232.На евклiдовiй площинi данi прямi a, b i c одного пучка S, причому c перпендикулярна a. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, подвойте кут, утворений прямими a i b.

233.На евклiдовiй площинi данi три паралельнi прямi a, b i c. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, побудуйте пряму d таку, щоб (ab, cd) = −1.

234.На евклiдовiй площинi даний вiдрiзок AB i його середина C. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, проведiть пряму через дану точку F 6 AB паралельно прямiй AB.

235.На евклiдовiй площинi данi двi паралельнi прямi i на однiй з них вiдрiзок AB. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, подвойте вiдрiзок AB.

24

236.На евклiдовiй площинi даний паралелограм. Користуючись однi¹ю лiнiйкою, через точку перетину його дiагоналей проведiть прямi, паралельнi його сторонам.

237.На прямiй данi точки A, B, C. Побудуйте точку D таку, щоб (AB, CD) = 2.

238.Довести, що прямi, якi мiстять дiагоналi паралелограма, гармонiйно роздiляють прямi, що проходять через центр паралелограма паралельно його сторонам.

239.Довести, що точка перетину дiагоналей трапецi¨, точка перетину продовжень ¨¨ бiчних сторiн i середини ¨¨ основ лежать на однiй прямiй.

2.7Проективнi перетворення площини (колiнеацi¨)

240.Äàíà êîëiíåàöiÿ4 κ:

λx01 = x1 + 2x2, λx02 = x2 + 2x3

λx03 = x2.

Знайдiть: а) A0 образ точки A(1, 1, −2); б) B прообраз точки B0(−2, −2, 1); â) l0 образ прямо¨ l : 2x1 + x3 = 0; г) m прообраз прямо¨ m0 : 2x01 + x02 + x03 = 0.

241. Äàíà êîëiíåàöiÿ κ:

λx01 = x1 + x2, λx02 = x1 − x3λx03 = 2x2 + x3.

Знайдiть:

а) образи A0, B0, C 0 точок A(2, −1, 0), B(1, 1, −2), C(0, 0, 1);

б) прообрази D, E, F точок D0(5, −1, 1), E0(0, 1, −1), F 0(1, −2, 3);

в) образи a0, b0, c0 прямих a : x1 + 2x2 − x3 = 0, b : 2x2 + x3 = 0, c : x1 = 0; г) прообрази l, m прямих l0 : x1 + 2x2 − x3 = 0, m0 : x2 + x3 = 0;

д) образ G 0 квадрики G: x21 + x22 + x23 + 2x1x2 = 0; е) прообраз H квадрики H0: x21 + x22 − x23 = 0.

242. Знайдiть рiвняння колiнеацi¨ κ, яка задана двома четвiрками точок:

A(0, 0, 1) 7→ A0(0, 0, 1),

B(2, 0, 1) 7→ B0(2, 0, 1),

C(1, 1, 1) 7→ C0(1, 1, 0),

D(1, −1, 1) 7→ D0(1, −1, 0).

243. Знайдiть рiвняння колiнеацiй, заданих двома четвiрками точок:

4 Перетворення назива¹ться колiнеацi¹ю, якщо образом точки ¹ точка, образом прямо¨ пряма, зберiга¹ться iнцидентнiсть точок i прямих, а також подвiйне вiдношення довiльно¨ четвiрки колiнеарних точок.

25

à) A(1, 3, 0)	7→ A0(3, 0, −1),	á) A(1, 2, 0)	7→ A0(2, 0, 1),
B(2, −1, 2)	7→ B0(−1, 2, 2),	B(0, 3, 4)	7→ B0(7, −4, 0),
C(1, 1, 1)	7→ C0(1, 1, −1),	C(0, 0, 1)	7→ C0(−1, 1, 0),
D(1, 0, 0)	7→ D0(0, 0, 1).	D(4, −1, 1)	7→ D0(0, 1, 4).

244.Знайдiть рiвняння колiнеацi¨, задано¨ наступними четвiрками точок iз задачi 243, à):

A	B0	,		C	D0	,
B	7→		,	D	7→
	C 0				A0.
	7→				7→

245.Знайдiть рiвняння колiнеацi¨, яка фундаментальнi точки A1(1, 0, 0), A2(0, 1, 0), A3(0, 0, 1) залиша¹ на мiсцi, а точку E(1, 1, 1) вiдобража¹ на точку E0(a, b, c).

246.Знайдiть нерухомi точки колiнеацi¨, рiвняння яко¨ були отриманi при розв'язуваннi задачi 242.

247.Знайдiть нерухомi точки таких колiнеацiй:

à) λx20

= 5x1 −

3x2

+ 3x3,

â) λx20

= −x2,

λx10

= 2x1

x2 + 2x3

,

λx10

= x1

,

λx30

=

−

x1−

2x3;

λx30 = x1

−

x3;

−

λx10

= 3x1 + x2,

λx10

= 2x1 + x3,

á)

λx20

= x1 + 3x2,

ã)

λx20

= x1 + x2 + x3,

λx30

= 4x3;

λx30

=

−

x1.

248. Знайдiть нерухомi прямi 5 êîëiíåàöi¨

λx01 = x1, λx02 = x2,

λx03 = x1 − x3.

249. Знайдiть нерухомi прямi колiнеацiй iз задачi 247.

250. Доведiть, що колiнеацiя

λx01 = x1, λx02 = 2x2,λx03 = 3x3

ма¹ точно три нерухомi точки.

251. Доведiть, що колiнеацiя

λx01 = x1 + x3, λx02 = 2x2,

λx03 = x3

ма¹ точно двi нерухомi точки.

5 Слiд розрiзняти нерухому пряму i пряму, яка склада¹ться з нерухомих точок.

26

252. Доведiть, що колiнеацiя

λx01 = x1 − 2x2, λx02 = 2x1 + x2,

λx03 = x3

ма¹ точно одну нерухому точку.

253. На розширенiй евклiдовiй площинi в проективних координатах задана колiнеацiя

ϕ:

λx01 = x1

λx02 = 2x2,

λx03 = x1 − x3.

Знайдiть a0 = ϕ(a∞) образ i b = ϕ−1(a∞) прообраз невласно¨ прямо¨ a∞.

254. На розширенiй евклiдовiй площинi в проективних координатах заданi колiнеацi¨

ϕ1

:

λx20

= x1

x3

,

ϕ2

:

λx20

= 3x1

+ 9x2

+ 4x3

,

λx10

= x1

+ x3

,

λx10

= 2x1

+ 7x2

+ 3x3

,

λx30

= x2;−

λx30

= x1 + 4x2 + 3x3

i ïðÿìi

l1 : x1 + x2 − x3 = 0; l2 : x3 = 0.

Знайти рiвняння наступних прямих:

à) ϕ1(l1),	ϕ1−1(l1);	â) ϕ2(l1), ϕ2−1(l1);
á) ϕ1(l2),	ϕ1−1(l2);	ã) ϕ2(l2), ϕ2−1(l2).

2.8Гомологi¨

255.Гiперболiчна гомологiя задана центром P , вiссю p i парою точок A 7→A0. Побудуйте:

а) образ довiльно¨ прямо¨, що проходить через A;

б) образ довiльно¨ точки, що не лежить на прямiй AA0; в) образ довiльно¨ точки, яка лежить на прямiй AA0; г) образ довiльно¨ прямо¨;

д) образ i прообраз невласно¨ прямо¨, вважаючи, що гомологiя задана на розширенiй евклiдовiй площинi.

256. Гiперболiчна гомологiя задана вiссю, центром i парою прямих a → a0. Побудуйте: а) образ довiльно¨ точки M, яка не лежить на a;

б) образ довiльно¨ точки прямо¨ m, яка перетина¹ться з прямою a на осi.

257.Гiперболiчна гомологiя на розширенiй евклiдовiй площинi задана власною вiссю, центром i парою точок A 7→A0∞. Побудуйте:

а) образ довiльно¨ точки M,

27

б) образ довiльно¨ прямо¨ m,

в) образ невласно¨ прямо¨.

258.Гiперболiчна гомологiя задана невласним центром P∞, власною вiссю p i парою вiдповiдних точок A i A0. Яким афiнним перетворенням ¹ дана гомологiя? Побудуйте:

а) образ довiльно¨ точки M,

б) образ довiльно¨ прямо¨ m.

259.Гiперболiчна гомологiя задана власним центром P , невласною вiссю p∞ i парою вiдповiдних точок A i A0. Яким афiнним перетворенням ¹ дана гомологiя? Побудуйте:

а) образ довiльно¨ точки M,

б) образ довiльно¨ прямо¨ m.

260.Доведiть, що гомологiя, яка задана невласним центром P∞ i невласною вiссю p∞, буде паралельним перенесенням.

261.Iнволюцiйна гомологiя задана вiссю i центром. Побудуйте образ довiльно¨ точки.

262.Параболiчна гомологiя задана вiссю i парою вiдповiдних точок A i A0. Побудуйте:

а) образ довiльно¨ точки, б) образ довiльно¨ прямо¨,

в) образ i прообраз невласно¨ прямо¨, вважаючи, що гомологiя задана на розширенiй евклiдовiй площинi.

263.Доведiть, що композицiя двох гiперболiчних гомологiй зi спiльною вiссю ¹ гомологiя з тi¹ю ж вiссю, причому центри всiх трьох гомологiй лежать на однiй прямiй.

264.Доведiть, що композицiя двох гомотетiй на евклiдовiй площинi ¹ або гомотетiя, або паралельний перенос, причому в першому випадку центри всiх трьох гомотетiй лежать на однiй прямiй, а в другому вектор переносу паралельний прямiй, що з'¹дну¹ центри даних гомотетiй (теорема про три центри подiбностi).

265.Доведiть, що композицiя параболiчних гомологiй зi спiльною вiссю ¹ параболiчна гомологiя з тi¹ю ж вiссю. Виходячи з цього результату, доведiть, що композицiя двох паралельних перенесень на евклiдовiй площинi ¹ паралельне перенесення.

266.Побудуйте пряму, що проходить через дану точку A i через недосяжну точку перетину двох прямих a i b.

267.Дано паралелограм ABCD сво¨ми сторонами, двi його вершини A i C недосяжнi точки. Побудуйте пряму AC.

28

2.9Проективне вiдображення прямо¨ на пряму i пучкiв прямих

268.Проективне вiдображення прямо¨ на пряму задане двома трiйками колiнеарних точок:

A(1, −1, 2) 7→A0(2, −1, −1), B(0, 1, 2) 7→B0(0, 1, 0), C(1, 0, 4) 7→C0(2, 1, −1).

Переконайтесь в тому, що точка D(2, 1, −1) лежить на однiй прямiй з точками A, B, C, i знайдiть ¨¨ образ.

269. Проективне вiдображення ϕ прямо¨ l на пряму l0 задане двома трiйками точок:

A(1, 1, 1) 7→A0(−1, 2, −1), B(−1, 2, −1) 7→B0(1, −2, 2), C(2, −1, 2) 7→C0(1, 1, −4).

Переконайтесь в тому, що точка U колiнеарна точкам A, B, C

l, а точка V 0

колiнеарна точкам A0, B0, C0

l0. Знайдiть ϕ(U)

образ точки U

l i прообраз

точки V 0 l0, ÿêùî

à) U(0, 1, 0),

V 0(7,

−

11, 8);

á) U(1,

−

5, 1),

V 0(5,

7, 4);

−

â) U(1, 0, 1),

V 0(−2, 1, 2).

270.Знайти образ i прообраз точки перетину прямих l i l0 вiдносно вiдображення ϕ, заданого в задачi 269.

271.Перспективне вiдображення прямо¨ на пряму задане двома парами точок:

A(0, 2, 1) 7→A0(−1, 1, 1), B(1, 3, 0) 7→B0(1, 3, −1).

Знайдiть M0 образ точки M(1, 5, 1) AB.

272. Перспективне вiдображення ψ прямо¨ на пряму задане двома парами точок:

A(1, 0, 2) 7→A0(0, 1, 2), B(2, 0, −1) 7→B0(3, 1, 3).
Знайдiть U0 образ точки U AB i V прообраз точки V 0				A0B0:
à) U(4, 0, 3), V 0(3, 2, 5);	á) U(1, 0,	−	3), V 0(3,	−	1,	−	1);
â) U(3, 0, 1),	V 0(3, 0, 1).

273.Доведiть, що проективнi вiдображення прямо¨ на пряму, що заданi наступними трiйками точок, перспективнi:

à) A(3, −1, −1) 7→A0(4, 0, 3), B(0, 1, 2) 7→B0(1, 0, 2), C(3, 2, 5) 7→C0(1, 0, −3);

á) A(−2, 1, 1) 7→A0(1, 2, 2), B(1, −2, 1) 7→B0(2, 3, 2), C(1, −1, 0) 7→C0(3, 5, 4);

â) A(−1, 0, 2) 7→A0(−2, 0, 1), B(1, 1, −1) 7→B0(1, 1, −2), C(1, 3, 1) 7→C0(1, 3, −5).

274.Проективне вiдображення ϕ прямо¨ u1 на пряму u2 задане трьома парами вiдповiдних точок A1 i A2 = ϕ(A1), B1 i B2 = ϕ(B1), C1 i C2 = ϕ(C1). Подайте ϕ як композицiю двох перспективних вiдображень: ϕ = ψ2 ◦ ψ1.

29

275.В проективному вiдображеннi ϕ, що задане в задачi 274, побудуйте: а) M2 образ довiльно¨ точки M1 u1; б) образ i прообраз точки перетину прямих u1 i u2, ÿêùî u1 6= u2.

276.Сформулюйте i розв'яжiть задачi, дво¨стi задачам 275, à i 275, á.

277.Проективне вiдображення f : d → d0 прямо¨ d на пряму d0 задане вiдповiдними

реперами: (A, B, C) d i (A0, B0, C0) d0. Побудувати образ i прообраз точки D = d ∩ d0 у вiдображеннi f.

278.На розширенiй площинi данi двi прямi d i d0. Проективне вiдображення f : d → d0 визначене реперами (A, B, C) d i (A0, B0, C0) d0. Побудувати образ невласно¨ точки M∞ d.

279.Проективне вiдображення f : P (O) → P (O0) пучка прямих P (O) на пучок прямих P (O0) задане вiдповiдними реперами: (a, b, c) P (O) i (a0, b0, c0) P (O0). Побудувати образ i прообраз прямо¨ OO0 у вiдображеннi f.

280.Довести, що коли в проективному вiдображеннi f : P (O) → P (O0) пучка прямих P (O) на пучок прямих P (O0) три пари вiдповiдних прямих перетинаються в

трьох точках, що лежать на однiй прямiй, то i довiльна пара вiдповiдних (рiзних) прямих цих пучкiв перетинаються в точцi, що лежить на тiй же прямiй, тобто вiдображення f перспективне.

281.Довести, що коли в проективному вiдображеннi f : P (O) → d пучка прямих P (O) на пряму d 6P (O) три прямi пучка P (O) проходять через вiдповiднi ¨м точки прямо¨ d, то i довiльна пряма цього пучка проходить через вiдповiдну ¨й точку прямо¨ d, тобто вiдображення f перспективне.

282.Проективне вiдображення f : d → P (O) прямо¨ d на пучок прямих P (O) задане вiдповiдними реперами (A, B, C) d i (a, b, c) P (O). Побудувати прообраз дано¨

прямо¨ m P (O).

Розглянути частинний випадок, коли O = A, m = d.

283.Данi три точки A, B, C, що лежать на прямiй d, i три точки A0, B0, C0, що лежать на ïðÿìié d0 (d0 6= d). Довести, що точки K = BC0∩B0C, L = AC0∩A0C, M = AB0∩A0B лежать на однiй прямiй (теорема Паппа).

2.10Методи зображень

284.Побудувати зображення правильного трикутника, правильно¨ трикутно¨ пiрамiди, правильно¨ шестикутно¨ призми в паралельнiй проекцi¨.

285.Побудувати зображення квадрата, куба, правильно¨ восьмикутно¨ пiрамiди в паралельнiй проекцi¨.

286.Дано зображення кола в паралельнiй проекцi¨. Побудувати зображення:

(a)вписаного в нього правильного трикутника;

30