Системы дифференциальных уравнений
.pdf1
Системы линейных дифференциальных уравнений
Система n дифференциальных уравнений называется нормальной, если она имеет вид
x10 |
= f1(t, x1, |
. . . , xn), |
|
x20 |
= f2(t, x1, |
. . . , xn), |
(1) |
. . . . . . . . . . . . . . . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0n = fn(t, x1, . . . , xn),
где аргумент обозначен буквой t, а неизвестные функции x1, x2, ..., xn. Решением системы (1) называется совокупность n функций x1, x2, ..., xn,
удовлетворяющая всем уравнениям системы. Общее решение системы (1) имеет вид:
x2 |
= ϕ2 |
(t, C1 |
, . . . , Cn), |
|
x1 |
= ϕ1 |
(t, C1 |
, . . . , Cn), |
(2) |
. . . . . . . . . . . . . . . |
xn = ϕn(t, C1, . . . , Cn).
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид
x10 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn, |
|
|
x20 |
= a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn, |
(3) |
. . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , |
|
|
|
|
|
|
|
xn0 |
=an1x1 + an2x2 + . . . + annxn, |
|
|
|
|
где aij постоянные; x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) неизвестные функции. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются с помощью метода исключения переменных
или матричным методом.
Метод исключения переменных
1. Дифференцируем первое уравнение системы (3) по переменной t:
x001 = a11x01 + a12x02 + . . . + a1nx0n.
2. В правой части полученного уравнения заменяем x01, x02, ..., x0n их выражениями из системы (3). Тогда имеем
x001 = b21x1 + b22x2 + . . . + b2nxn.
2
3. Дифференцируем полученное уравнение по переменной t. Тогда x0001 = b21x01 + b22x02 +. . . + b2nx0n.
4. В правой части полученного уравнения заменяем x01, x02, ..., x0n их выражениями из системы (3). Тогда имеем
x0001 = b31x1 + b32x2 +. . . + b3nxn.
5. Действуя таким образом, получаем системы линейных уравнений от-
носительно неизвестных x1, x2, ..., xn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x100 |
= b21x1 |
+ b22x2 + . . . + b2nxn, |
|
|||||
|
|
|
|
x10 |
= a11x1 |
+ a12x2 + . . . + a1nxn, |
(4) |
||||
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
= bn1x1 + bn2x2 + . . . + bnnxn. |
|
|||||
|
|
|
x1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из первых |
n |
− |
1 уравнений выражаем функции x |
, ..., x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
|
|
||
|
|
|
|
x2 = ϕ2 x1, x0 |
, . . . , x(n−1) |
|
, |
|
|||
|
|
|
x3 |
= ϕ3 x1, x10 |
, . . . , x1 − |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
xn =ϕn x1, x10 , . . . , x1(n−1) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученные выражения для функций x2, ..., xn в последнее уравнение системы (4), получим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
x(1n) + d1x(1n−1) +. . . + dnx1 = 0.
Решая это уравнение, определим x1:
x1 = ψ(t, C1, C2, . . . , Cn).
Дифференцируя последнее выражение n −1 раз, найдем производные x01, x001, . . . , x(1n−1).
Подставляя эти функции в уравнения (5), определяем x2, x3, . . . , xn:
x2 = ψ2 (t, C1, C2, . . . , Cn) ,
x3 = ψ3 (t, C1, C2, . . . , Cn) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
xn =ψn (t, C1, C2, . . . , Cn) .
(6)
(7)
3
Пр и м е р 1. Решить систему
x0 = 3x −y + z,
z00 |
= 4x |
|
y + 4z. |
(8) |
y = x + y + z, |
|
|||
|
|
− |
|
|
Решение. 1. Дифференцируем первое уравнение системы x0 = 3x−y+z по
переменной t:
x00 = 3x0 −y0 +z0.
2. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем
x00 = 3(3x −y +z) −(x + y +z) + (4x −y + 4z).
Раскрываем скобки
x00 = 9x −3y + 3z −x −y −z + 4x −y + 4z,
и приводим подобные
x00 = 12x −5y + 6z.
3. Дифференцируем полученное уравнение по переменной t. Тогда
x000 = 12x0 −5y0 + 6z0.
4. В правой части полученного уравнения заменяем x0, y0, z0 их выражениями из системы. Тогда имеем
x000 = 12(3x −y + z) −5(x + y + z) + 6(4x −y + 4z).
Раскрываем скобки
x000 = 36x −12y + 12z −5x −5y −5z + 24x −6y + 24z,
и приводим подобные
x000 = 55x −23y + 31z.
5. Получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных x,
y, z
x0 = 3x −y + z, |
|
|
x00 = 12x |
5y + 6z, |
(9) |
x000 = 55x− 23y + 31z. |
|
|
|
− |
|
Из первых 2 уравнений выражаем функции y, z
y = x00 |
−6x0 |
+ 6x, |
(10) |
z = x00 −5x0 + 3x. |
|
4
Подставляя полученные выражения для функций y, z в последнее уравнение системы (8), получим линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка
x000 = 55x −23(x00 −6x0 + 6x) + 31(x00 −5x0 + 3x). |
|
Раскрываем скобки и приводим подобные |
|
x000 −8x00 + 17x0 −10x = 0. |
|
Решая это уравнение, определим x = x(t): |
|
x = C1et + C2e2t + C3e5t. |
(11) |
Дифференцируя последнее выражение 2 раза, найдем производные x0, x00:
x0 = C1et + 2C2e2t + 5C3e5t;
x00 = C1et + 4C2e2t + 25C3e5t.
Подставляя эти функции в уравнения (10), определяем y, z:
y =C1et + 4C2e2t + 25C3e5t −6(C1et + 2C2e2t + 5C3e5t) + 6(C1et + C2e2t + C3e5t), z =C1et + 4C2e2t + 25C3e5t −5(C1et + 2C2e2t + 5C3e5t) + 3(C1et + C2e2t + C3e5t)
или |
(12) |
|
|
y = C1et −2C2e2t + C3e5t, |
(13) |
z = −C1et −3C2e2t + 3C3e5t. |
|
Ответ: x = C1et+C2e2t+C3e5t, y =C1et−2C2e2t+C3e5t, z = −C1et−3C2e2t+ 3C3e5t.
Матричный метод
Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами
x01 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn,
|
x0 |
= a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn, |
(14) |
. .2. |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , |
||
|
|
|
|
xn0 |
=an1x1 + an2x2 + . . . + annxn, |
|
|
|
|
|
|
где aij постоянные; x1 = x1(t), x2 = x2(t), ..., xn = xn(t) неизвестные функции. Решаем характеристическое уравнение
|
a21 |
a22 |
k . . . |
a2n |
|
|
|
a11 −k |
a12 |
. . . |
a1n |
|
|
. . . |
. .−. . . . |
. . . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
. . . ann |
− |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. (15)
5
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через k1, k2, ..., kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня найдем собственные векторы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 1 = α1(1), α2(1), . . . , αn(1) |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.→−. .2. . . . . .1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
, α |
(2) |
, . . . , α |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = α |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− n = |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α(n), α(n), . . . , α(n) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда частные решения будут иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
для корня k1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1) |
|
|
|
(1) |
e |
k1t |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(1) |
k1t |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
(1) |
k1t |
; |
||||||||
|
|
|
x1 |
|
= α1 |
|
|
, x2 |
|
=α2 |
|
|
e |
|
|
, . . . , xn |
= αn |
|
e |
|||||||||||||||||||
для корня k2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
(2) |
= α |
(2) |
e |
k2t |
, x |
(2) |
=α |
(2) |
e |
k2t |
, . . . , x |
(2) |
= α |
(2) k2t |
и т. д. |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
n |
n |
e |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (14) будет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
иметь вид |
|
x2 |
=C1 |
α2(1)ek1t +C2 |
α2(2)ek2t |
+ . . . +Cnα2(n)eknt, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 |
=C1 |
α1(1)ek1t +C2 |
α1(2)ek2t |
+ . . . +Cnα1(n)eknt, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
eknt. |
|||||||
|
|
xn = C1αn |
|
|
ek1t + C2αn |
|
ek2t + . . . + Cnαn |
|||||||||||||||||||||||||||||||
П р и м е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
2. Решить систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y00 = 3x + 4y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Составляем характеристическое уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
− |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−k |
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
(17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решаем характеристическое уравнение |
|
(17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2−k)(4−k) −1 ·3 =0
или
k2 −6k + 5= 0.
k1 = 1, k2 = 5 корни характеристического уравнения.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственным числам.
6
Для k1 = 1:
|
|
3 |
3 |
|
α2(1) |
! |
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
α1(1) |
|
= 0 |
(18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
( |
|
3α1(1) |
+ 3α2(1) |
= 0. |
|
|||||
|
|
|
|
α1(1) + α2(1) |
= 0, |
|
(19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если α1(1) = C1, то α2(1) =−C1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для k2 = 5: |
3 |
|
−1 |
|
α2(2) |
! |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
−3 |
1 |
|
|
α1(2) |
= 0 |
(20) |
||||
или |
( |
3α1(2) |
|
α2(2) = 0. |
|
|
|||||
|
|
|
−3α1(2) |
+ α2(3) |
= 0, |
(21) |
−
Если α1(2) = C2, то α2(2) = 3C2.
Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений (16) будет иметь вид
x = C1et + C2e5t,
y = −C1et + 3C2e5t.
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
x0 = a11x +a12y + f1(t), |
|
|||||||
y0 =a21x + a22y + f2(t). |
(22) |
|||||||
Данную систему будем решать методом исключения переменных. |
|
|||||||
Из первого уравнения системы (22) выражаем y |
|
|||||||
1 |
x0 |
|
a11 |
1 |
|
|
||
y = |
|
− |
|
x − |
|
f1 |
|
|
a12 |
a12 |
a12 |
|
и подставляем во второе уравнение. В результате получаем линейное неоднородное уравнение 2-го порядка относительно функции x.