Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

21

для которой вектор ~τ будет касательным вектором в точке M0 = M(s0), направленным в положительном направлении. Тогда, согласно определению 12 и теореме 9, мы получаем

∂ϕ

∂~τ (M0) = (grad ϕ(M0), ~τ) = 0.

Следовательно, grad ϕ(M0) ~τ. Òàê êàê ~τ

вектор касательной плоскости в точке M0, то этой плоскости.

Сформулируем следующую теорему.

произвольный единичный grad ϕ(M0) ортогонален к

Теорема 11 (Формальные свойства градиента). Пусть ϕ и ψ

дифференцируемые скалярные поля. Тогда имеют место следующие равенства:

1)grad (ϕ + ψ) = grad ϕ + grad ψ;

2)grad (ϕψ) = ψ grad ϕ + ϕ grad ψ.

В частности, grad (cϕ) = c grad ϕ, где c постоянная.

Доказательство этой теоремы легко получается с помощью выражения градиента в декартовых координатах (2.4). В дальнейшем мы докажем эти свойства с помощью оператора Гамильтона.

Следующую теорему мы будем называть правилом нахождения градиента.

Теорема 12. Пусть скалярное поле ϕ дифференцируемо в точке M0. Если производная ϕ в точке M0 по любому направлению выражается формулой

∂ϕ

~τ (M0) = (~g, ~τ),

где вектор ~g не зависит от направления, то grad ϕ = ~g.

Доказательство. Сравнивая выражение для ∂ϕ (M0), данное в теореме, с выражением, имеющемся в теореме 9, мы получаем∂~τ

(~g, ~τ) = (grad ϕ(M0), ~τ)

откуда сразу следует (grad ϕ(M0) − ~g, ~τ) = 0, grad ϕ(M0) − ~g ~τ. Òàê êàê ~g не зависит от направления и ~τ произвольный единичный вектор,

òî	~.
	grad ϕ(M0) − ~g = 0

22

С помощью правила нахождения градиента мы получим выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах.

Пусть u, v, w ортогональные криволинейные координаты в некото-

рой области	D	,	~eu, ~ev, ~ew поле соответствующего ортонормированного
базиса и

Hu, Hv, Hw коэффициенты Ламе. Пусть ϕ = ϕ(u, v, w) выражение скалярного поля ϕ в данных криволинейных координатах. За-

дача состоит в том, чтобы найти разложение	grad ϕ по базису ~eu ~ev, ~ew
в любой точке области

D, используя только функцию ϕ(u, v, w) è êîýô-

фициенты Ламе.

Пусть M0 D è ~τ некоторый единичный вектор. Возьмем кривую

M = M(s), проходящую через точку M0, параметр s которой является длиной дуги, и такую, что ее единичный касательный вектор в точке

M0 = M(s0) совпадает с вектором ~τ. Пусть u = u(s), v = v(s), w = w(s)уравнения этой кривой в данных криволинейных координатах.

Выберем некоторую начальную точку пространства O и пусть ~r =

~r(s) векторное параметрическое уравнение данной кривой. Тогда, согласно определению криволинейной системы координат, теореме 7 и

определению 12, ~r(s) = ~r(u(s), v(s), w(s)) и, следовательно,

~τ = ~r0(s0) = ~ru(u(s0), v(s0, w(s0))u0(s0)

+~ru(u(s0), v(s0, w(s0))v0(s0) + ~rw(u(s0), v(s0, w(s0))w0(s0).

Тогда мы имеем

∂ϕ

(M0) =

∂ϕ

(M0)u0(s0) +

∂ϕ

(M0)v0(s0) +

∂ϕ

(M0)w0

(s0).

∂~τ

∂u

∂v

∂w

Используя эти равенства и ортонормированность базиса ~eu =

~ru

, ~ev =

Hu

~rv

, ~ew =

~rw

∂ϕ

(M0)

Hw , мы можем записать производную по направлению

∂~τ

Hv

следующим образом:

∂ϕ

(M0) = (~g, ~τ),

ãäå

∂~τ

1

∂ϕ

1 ∂ϕ

1 ∂ϕ

~g =

~eu +

~ev

+

~ew (M0).

Hu

∂u

Hv

∂v

Hw

∂w

Òàê êàê M0

любая точка области D, то, используя правило нахождения

градиента 12, мы получаем

1 ∂ϕ

1

∂ϕ

1 ∂ϕ

grad ϕ =

~eu +

~ev +

~ew.

(2.5)

Hu

∂u

Hv

∂v

Hw

∂w

Используя общую формулу (2.5) и значения коэффициентов Ламе для цилиндрической и сферической системы координат, мы получаем

23

для этих систем координат и скалярного поля F следующие формулы

grad F =

∂F

~eρ +

1 ∂F

~eϕ +

∂F

~ez,

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

grad F =

∂F

~er +

1 ∂F

~eθ +

1

∂F

~eϕ.

∂r

r

∂θ

r sin θ

∂ϕ

Глава 3.

Векторное поле

В этой главе мы определим векторное поле, его дивергенцию и ротор и изложим их основные свойства. Но сначала напомним основные факты о линейных операторах и их матрицах.

3.1. Линейный оператор и его матрица

Пусть L n-мерное действительное линейное пространство. Линейным оператором в пространстве L называется отображение f пространства L в себя, обладающее следующим свойством линейности: для любых векторов x, y L и действительных чисел α è β мы имеем f(αx+βy) = αf(x)+βf(y). Пусть e1, . . . , en базис пространства L. Тогда

для любого			мы имеем			n	i			i
действительныеj					Pn-го порядка Mf = (aji ), ãäå
		числа., . . . , nКвадратнаяfматрицаe				i=1	a	e	, ãäå a	j	некоторые
	= 1			(	j) =		j	i

i номер строки и j номер столбца, называется матрицей линейного оператора f относительно базиса e1, . . . , en. Заметим, что j-ый столбец

матрицы Mf образован координатами вектора f(ej) относительно базиса e1, . . . , en. Пусть (x1, . . . , xn) координаты вектора x, a y1, . . . , yn êîîð-

динаты вектора		y = f(x) относительно базиса e1		, . . . , en. Известно, что
для любого
	i = 1, . . . , n мы имеем
			n
			Xj
		yi =	aji xj.	(3.1)
			=1

Поэтому линейный оператор однозначно определяется своей матрицей. Выясним, как преобразуется матрица линейного оператора при замене базиса. Сначала мы найдем выражения одного базиса через другой. Нам будет в дальнейшем удобнее обозначать другой базис простран-

ствапо новомуL черезбазисуe 0 , .è,. . ,обратно,e 0 . Напишемвекторовразложениянового базисавекторовпо старомустарогобазису:базиса

1 n

25

										26
n0	i0			n	k
ej = Pi0=10	Aj	ei0 è ei0 = Pk=1 Bj0 ek. Подставляя векторы ei0								, заданные
вторым равенством в первое, мы получаем
		n0		n		n		n0	!ek.
		ej =	Aj0	X	Bi0 ek	=		Bi0 Aj0		(3.2)
		Xi0	i		k	X X0
								k i
Величина		=1		k=1		k=1	i =1
					(1,	åñëè i = j;
				j
			δi =		0,	åñëè i	6= j;
называется	символом Кронекера. Ввиду однозначности разложения
по базису из равенства (3.2) мы получаем
				n0
					Bik0 Aji0 = δjk.					(3.3)
				Xi0
					=1

Введя матрицы A = (Aij0 ) è B = (Bji0 ), мы можем записать равенство (3.3) в виде BA = E, ãäå E единичная матрица n го порядка. Следовательно, B = A−1. Мы будем писать Aij0 вместо Bji0 , считая, что в матрице A замена незаштрихованных индексов на заштрихованные и наоборот

приводит к замене матрицы A на обратную A−1. Применяя формулы (3.2), мы получаем

n	n		n	n
X	X		X	Xi
f(ej0 ) = f( Ajj0 ej) =	Ajj0 f(ej) =			Ajj0	aji ei =
j=1	j=1		j=1	=1			!ei0
	n			j0	n
	Ajj	0 aji ei =			Ajj	0 aji Aii0		. (3.4)
	X			Xi0	X
	i,j=1			=1	i,j=1

Согласно определению, матрица линейного оператора f относительно ба-

					n0	i0
равенство с	мы получаем			0 ) =	Pi0=10	aj0 ei0	. Сравнивая
зисаэто e10 , . . . , en0	определяется(3.4), уравнением f(ej
		n
	i	i i	j
	aj00 =	X Ai0 ajAj0 .					(3.5)
		i,j=1

Пользуясь определением произведения матриц, мы можем записать
уравнение преобразования элементов матрицы линейного оператора в
матричном виде
Mf0 = A−1 Mf A,	(3.6)
ãäå Mf0 матрица линейного оператора f относительно базиса e10	, . . . , en0
Пусть		.

A = (aij) квадратная матрица n-го порядка. Следом матрицы A называется число, равное сумме элементов главной диагонали

матрицы, которое обозначается через tr A. По определению мы имеем

tr A = Pn ai

i=1 i.

27

Теорема 13. След матрицы Mf линейного оператора f не зависит от выбора базиса и называется следом линейного оператора f. След линейного оператора f обозначается через tr f.

Доказательство. Пусть A = (aij) B = (bij) две квадратные матрицы

n-го порядка. Согласно определению произведения матриц и следа матрицы, мы имеем

n	n
X	X
tr (BA) = bji aij =	aji bij = tr (AB).
i,j=1	i,j=1

Следовательно, согласно формуле (3.6),

tr Mf0 = tr (A−1 Mf A) = tr (Mf A A−1) = tr Mf ,

что и доказывает нашу теорему.

3.2.Векторное поле. Дифференцируемость, производная по направлению и дивергенция векторного поля.

Определение 13. Говорят, что в области U пространства (плоскости) задано векторное поле, если каждой точке M этой области поставлен в соответствие вектор ~a(M) пространства (плоскости).

	~	~
ò.ï.Обозначение векторного поля: ~a(M), b(M) и т.п., или просто ~a, b è
	Примеры векторных полей
1.	Силовое поле ~
~	F . В каждой точке M области задан вектор силы
F (M), приложенный к этой точке.
2.	Напряженность электромагнитного поля	~
		H. В каждой точке M

электромагнитного поля задан вектор ~

êå.

H(M) напряженности в этой точ-

Пусть в области U пространства задана ортогональные криволиней-

ные координаты u, v w. Тогда векторное поле ~a(M) задается в этой области равенством

~a(M) = ~a(u, v, w) = au(u, v, w)~eu + av(u, v, w)~ev + aw(u, v, w)~ew.

Если криволинейные координаты не являются ортогональными, то вместо базиса ~eu, ~ev ~ew можно взять базис ~ru, ~rv , ~rw.

28

В частности, в декартовых координатах мы получаем

~	~	~
~a(M) = ~a(x, y, z) = ax(x, y, z)i + ay(x, y, z)j + az(x, y, z)k.

Мы оставляем читателю записать соответствующие формулы для векторного поля на плоскости.

Определение 14. Векторное поле ~a(M) определенное в окрестности

точки M0 пространства, называется дифференцируемым в этой точке, если его приращение ~a(M0) = ~a(M)−~a(M0) может быть представлено

â âèäå

) = P (−−−→) +

(−−−→)

−−−→

~a(M

0

0

M

0

|

0

|

,

(3.7)

M

α~ M

M M

M

где P линейный оператор в пространстве векторов пространства и

lim

α~(−−−→) = 0

M→M0

M

M

~.

0

lim

α~(−−−→) = 0

Заметим, что

M→M0

M

M

~ означает, что

0

−−−→)

(−−−→)

(

0 ) (

0 ) (

) (

|

|

|

)

δ >

M

0

M

7→ |

0

M

< ε .

ε >

M

< δ α~ M

Запишем условие дифференцируемости (3.7) в декартовых координатах для векторного поля в пространстве. Выразим все данные в координатах:

M(x, y, z), M0(x0, y0, z0), ~a(M)(ax(x, y, z), ay(x, y, z), az(x, y, z))

è (aji )i,j=1,2,3 матрица линейного	оператора P относительно базиса
~ ~ ~.
i, j, k
Тогда в координатах мы имеем
~a(M0)(Δax(M0),	ay(M0), az(M0)),

α~(M)(αx(x, y, z), αy(x, y, z), αz(x, y, z)).

Согласно (3.1), равенство (3.7) эквивалентно следующей системе трех равенств

ay(M0) = a12

x + a22

y + a32

z + αy(Δx, y, z)p

x2

+ y2

+ z2

,

ax(M0) = a11

x + a21

y + a31

z + αx(Δx,

y,

z)

x2

+

y2

+

z2

,

az(M0) = a13

x + a23

y + a33

z)p

z + αx(Δx,

y,

x2 +

y2 +

z2,

ax(x, y, z), ay(x, y,p)

, a

z(

x, y, z

)

которые означают, что функции

z

диффе-

ренцируемы в точке M0(x0, y0, z0), причем мы имеем

a11 = ∂a∂xx (M0), a12 = ∂a∂yx (M0), a13 = ∂a∂zx (M0), a21 = ∂a∂xy (M0), a22 = ∂a∂yy (M0), a23 = ∂a∂zy (M0), a31 = ∂a∂xz (M0), a31 = ∂a∂yz (M0), a33 = ∂a∂zz (M0).

29

Следовательно, матрица MP линейного оператора P из условия диф-

ференцируемости (3.7) относительно базиса ~ ~ ~							записывается следу-
ющим образом:						i, j, k
	∂ax	∂ax		∂ax
MP =						(M0).
	∂x		∂y		∂z
	∂ay		∂ay	∂ay			(3.8)
	∂x		∂y		∂z
	∂az		∂az		∂az
	∂x		∂y		∂z

Таким образом, линейный оператор P из определения дифференцируемости векторного поля 14 определен однозначно. Этот оператор называ-

åòñÿ производной векторного поля ~a в точке M

Итак, дифференцируемость векторного поля эквивалентна0. диффе-

ренцируемости его компонент относительно некоторой декартовой системы координат. Очевидно, что это условие не зависит от выбора этой системы координат. Далее мы часто будем предполагать, что векторное поле непрерывно дифференцируемо некоторое число раз, понимая под этим непрерывную дифференцируемость данное число раз его компонент. Можно проверить, что это условие не зависит от выбора декартовой системы координат.

Определим теперь производную векторного поля по направлению. Пусть векторное поле ~a задано в окрестности точки M0 и ~τ некото-

рый единичный вектор. Проведем через точку			M0 кривую, для которой
вектор
параметр является касательным в точке		, и выберем на этой кривой
~τ	M0

s (длину дуги) так, чтобы вектор ~τ был направлен в положительном направлении. Мы можем записать уравнение этой кривой в

âèäå M = M(s) èëè ~r = ~r(s). В последнем случае, согласно теореме 7,

мы имеем	~r0	(s0) = ~τ	, ãäå	~r(s0)	радиус-вектор точки	M0	. Определим
производную векторного поля

~a в точке M0 в направлении вектора ~τ

следующим образом.

Определение 15. Производной векторного поля ~a в точке M0 â íà- правлении вектора ~τ называется вектор

∂~a		d
	(M0) =		~a(M(s) (s0).
∂~τ		ds

Определенная таким образом производная ∂~a (M0) не всегда суще- ствует, а если и существует, то, вообще говоря, зависит∂~τ от выбора кривой

M = M(s).

Теорема 14. Если векторное поле ~a дифференцируемо в точке M0, òî в этой точке существует производная по любому направлению ~τ, для которой имеет место формула

∂~a

∂~τ (M0) = P (~τ),

30

где P линейный оператор из определения дифференцируемости векторного поля 14.

Доказательство.

Лемма 2. Пусть странства и ~a(t) гда предел limt→t0

Доказательство.

Сначала докажем следующую лемму.

fлинейный оператор в пространстве векторов про-

векторная функция такая, что limt→t0 ~a(t) = ~a. То- f(~a(t)) существует и равен f(~a).

Пусть ~ ~ ~

i, j, k ортонормированный базис,

~	~	~	è	~ ~	~
~a(t) = ax(t)i + ay(t)j + az(t)k				~a = axi + ayj + azk.

Тогда, применяя определение линейного оператора и теорему 2, мы получаем

	~	~	~
lim f(~a(t)) = lim f(ax(t)i + ay(t)j + az(t)k) =
t→t0	t→t0

~	~	~
lim(ax(t)f(i) + ay(t)f(j) + az(t)f(k))
t→t0	~	~
	axf(i) + ayf(j)

=

~

+ azf(k)) = f(~a).

Теперь докажем теорему 14.

Проведем вычисления согласно определениям 15 и 14.

∂~a

(M0) = lim

~a(M(s)) − ~a(M0)

=

∂~τ

s→s0

s − s0

−−−−−→

lim

P (Δ~r(s0)) + α~(M0M(s))| ~r(s0)|

=

s→0

~r(s0)

s

M−−−−−M →s

~r(s0)

lim

P

α~

,

s

±

s

s→0

(

0

( ))

ãäå ± является знаком s. Применяя к последнему выражению формальные свойства предела векторной функции скалярного переменного и леммы 1 и 2, мы получаем

∂~a

∂~τ (M0) = P (~τ),

òàê êàê ±|			~r(s0)	| является функцией, ограниченной в окрестности точки
			s
s0	, à	−−−−−→			стремится к нулю при	.
		α~(M0M(s))				s → 0

Определение 16. Пусть векторное поле ~a дифференцируемо в точке M0. Дивергенцией векторного поля ~a в точке M0 называется след tr P линейного оператора P , определенного определением дифференцируемости 14. Обозначение дивергенции: div ~a.