Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

41

Тогда из доказанной линейности f по первому переменному и равенства f(~y, ~x) = −f(~x, ~y) вытекает линейность f по второму переменному. Та-

ким образом, мы доказали, что f билинейная и кососимметрическая форма. Тогда, согласно теореме 21, существует такой единственный век-

òîð p~, ÷òî

(P (~x), ~y) − (P (~y), ~x) = (p~ , ~x , ~y). (3.19)

Определение 21. Вектор p~, однозначно определенный условием (3.19), называется ротором векторного поля ~a в точке M0 и обозначается че- ðåç rot~a(M0).

Данное определение ротора векторного поля чисто формально. Од-

нако оно обладает большим преимуществом оно не зависит от выбора

системы координат. Далее мы выясним физический смысл ротора.

Прежде всего мы найдем выражение ротора в декартовых координа-

тах (мы будем далее предполагать, что базис ~ ~

~

положительный).

i, j, k

Для этого напомним, что, согласно уравнению (3.8) и смысла элемен-

тов матрицы линейного оператора, мы имеем следующие координàòû

векторов

~

,

~

è

~

относительно базиса ~ ~ ~:

~

∂ax

∂ay

∂az

,

∂x ,

∂x ,

~

P (i)

P (j)

P (k)

i, j, k

P (i)(

∂x )

∂ax

∂ay

∂az

è

~

∂ax

∂ay

∂az .

P (j)(

,

,

)

P (k)(

,

,

)

∂y

∂y

∂y

∂z

∂z

∂z

Тогда, ввиду замечания после доказательства теоремы 21, мы имеем

для координат ротора следующие значения:

~

~

~

~

∂az

∂ay

(rot~a)x =(P (j), k)

− (P (k), j) =

−

,

∂y

∂z

~

~

~

~

∂ax

∂az

(rot~a)y =(P (k), i)

− (P (i), k) =

−

,

∂z

∂x

~

~

~

~

∂ay

∂ax

(rot~a)z =(P (i), j) − (P (j), i) =

∂x

−

∂y

.

Следовательно, мы получаем следующее выражение ротора в декартовых координатах.

rot~a =

∂yz

−

∂zy ~i +

∂zx

−

∂xz

~j +

∂xy

−

∂yx

~k. (3.20)

∂a

∂a

∂a

∂a

∂a

∂a

Заметим, что правая часть равенства (3.20) инвариантна относительно одновременных циклических перестановок координат x, y, z и базисных

векторов ~, ~ ~

i j, k.

Теперь мы докажем формулу

rot~a = [r,~a],

(3.21)

выражающую ротор через оператор r. Действительно, применяя легко проверяемые равенства

~	~	~ ~	~	~ ~	~	~
[i,~a] = ayk − azj, [j,~a] = azi				− axk, [k,~a] = axj		− ayi,

42

согласно (3.13), мы получаем

~

∂

~

~

∂

~

~

∂

~

[r,~a] = i

∂x

[i,~a] + j

∂y

[j,~a] + k ∂z

[k,~a] =

~j +

∂xy

−

∂yx

~k = rot~a.

∂yz

−

∂zy ~i +

∂zx

− ∂xz

∂a

∂a

∂a

∂a

∂a

∂a

Используя формулу (3.21) и известную формулу, выражающую векторное произведение в декартовых координатах, мы можем формально записать следующую формулу:

	~i		~j		~k
	∂		∂		∂
rot~a =	∂x		∂y		∂z	,
ax			ay		az

которая легко запоминается и которая позволяет, разлагая формально данный определитель по элементам первой строки, получить выражение ротора в декартовых координатах.

Теорема 22 (Формальные свойства ротора). Для векторных полей

~

~a, b и скалярного поля ϕ имеют место следующие равенства:

1)

~

~

rot(~a + b) = rot~a + rot b;

2)

rot(ϕ~a) = [grad ϕ,~a] + ϕ rot~a

В частности, rot(c~a) = c rot~a, где c = const;

3)

~.

rotgrad ϕ = 0

Доказательство. 1). Применяя формулу (3.21), мы получаем

~

~

~

~

rot(~a + b) = [r, (~a + b)] = [r,~a] + [r, (b] = rot~a + rot b.

2). Применяя формулы (3.21) и (3.14), мы получаем

rot(ϕ~a) = [r, (ϕ~a)] = [r, (ϕ~ac)] + [r, (ϕc ~a)] =

[(rϕ),~ac] + ϕ[r,~a] = [grad ϕ,~a] + ϕ rot~a.

В частности, если

ϕ = c

, òî, òàê êàê

~, мы имеем

rot(c~a) =

grad c = 0

c rot~a.

3).

Проводим вычисления, используя формулы (2.4) и (3.20),

rotgrad ϕ =

∂2ϕ

∂2ϕ

~i+

−

∂y∂z

∂z∂y

∂2ϕ

∂2ϕ

∂2ϕ

∂2ϕ

−

~j +

−

~k = ~0.

∂z∂x

∂x∂z

∂x∂y

∂y∂x

43

Приведем также нестрогое доказательство, использующее формулы (2.4) и (3.20),

r r r r r ~ rotgrad ϕ = [ , grad ϕ] = [ , ( ϕ)] = [ , ] ϕ = 0.

~

Здесь мы использовали векторное тождество [p,~ p~ ] = 0 и подставили r вместо p~. Однако, согласно определению r, это можно делать только

для функций линейных относительно p~, что не имеет место в данном случае.

3.7.Линейный интеграл векторного поля, циркуляция и теорема Стокса

Пусть ~a векторное поле, γ некоторая ориентированная кривая в области определения ~a. Интеграл

Z

(~a, d ~r)

γ

называется линейным интегралом векторного поля ~a вдоль кри-

âîé γ. Выражая этот интеграл в декартовых координатах, мы получаем

ZZ

(~a, d ~r) =	axd x + ay dy + az dz.	(3.22)
γ	γ

Таким образом, линейный интеграл векторного поля ~a вдоль кривой γ является криволинейным интегралом второго рода вдоль γ, записанным в векторной форме. В случае, когда γ является замкнутой кривой, линейный интеграл векторного поля ~a вдоль кривой γ называется öèð-

куляцией векторного поля ~a вдоль кривой γ.

Выясним физический смысл линейного интеграла векторного поля

~a вдоль кривой γ в случае, когда векторное поле ~a является силовым полем. ^

Пусть γ =BC, ãäå B начальная, а C конечная точка кривой γ. Рассмотрим задачу вычисления работы, произведенной материальной точ-

êîé M при перемещении из точки B в точку B. Для этого разобьем кривую ^

BC íà n частей точками B = M0, M1, . . . , Mn = C и положим

^

γi =Mi−1Mi. Вычислим приближенно работу Ai точки M вдоль кривой

γ

γ

−−−−−→

заменяя кривую

направленным отрезком M

M

и считая вектор-

íîå,

ïîëå íà

i

i−1

i

i

кривой

γi постоянным и равным ~a(Ni), ãäå Ni некоторая точка

òû

γi. Тогда для работы Ai

точки M вдоль кривой γi è äëÿ ðàáî-

A точки M вдоль кривой γ мы получаем следующие приближенные

формулы:

A (~a(N ),

−−−−−→)

i u

M

−

M ,

i

i

1 i

44

n

n

(~a(N ), −−−−−→)

=

Xi

X

A

M

M .

A

u

−

i

i

i 1

i

=1

i=1

Будем считать, что точное значение работы A определяется формулой

n

−−−−−→) =

A = lim

(~a(N ),

λ→0

Xi

i

M

i−1

M

i

n

=1

Xi

lim

(ax(Ni)Δxi + ay(Ni)Δyi + az(Ni)Δzi)

λ→0

=1

ãäå

λ

диаметр разбиения кривой

γ

точками

Mi

è

xi, yi, zi

координаты вектора

−−−−−→

математического

M

M

анализа, этот. Однако,пределравенввидукриволинейному(3.22) и как известноинтегралуиз

i−1 i

R

γ(~a, d~r), т.е. линейному интегралу векторного поля ~a вдоль кривой γ.

Теорема 23 (Теорема Стокса). Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную этим контуром; т.е.

IZ

(~a, d ~r) = (rot~a, ~n)ds,

γσ

где мы считаем, что поверхность σ ограничена контуром γ.

Заметим, что в этой теореме мы считаем, что все интегралы существуют, ориентации σ и γ согласованы, как указано в разделе 1.5. Пред-

полагается также, что σ ограниченная кусочно гладкая поверхность и векторное поле ~a дважды непрерывно дифференцируемо. Мы использу-

ем обозначение интеграла H , чтобы подчеркнуть, что интеграл берется

по замкнутому контуру.

Доказательство. Мы будем доказывать теорему Стокса в случае, когда

поверхность σ задана уравнением ~r = ~r(u, v). В общем случае ее можно разбить поверхность на части такого вида и применить эту теорему к

каждой из них. Тогда поток ротора через σ будет равен сумме потоков ротора через эти части, а сумма полученных криволинейных интегралов будет равна криволинейному интегралу по границе, так как интегралы по каждой внутренней перегородке встретятся в данной сумме дважды, причем с противоположными ориентациями и, следовательно, сократятся.

Согласно предположению, область D определения векторной функции ~r(u, v) ограниченная область в плоскости u, v. Пусть граница λ области D определяется в координатах u, v уравнениями u = u(t), v = v(t) (t [a, b]), где положительное направление обхода кривой λ происходит

45

против часовой стрелки. Тогда контур γ является годографом векторной функции ~r(u(t), v(t)), причем можно считать, что возрастанию параметра t соответствует указанный выше обход контура γ.

Пусть x(u, v), y(u, v), z(u, v) координаты вектора ~r(u v). Согласно вычислительной формуле для криволинейного интеграла в декартовых координатах, мы имеем

Iγ

(~a, d ~r) = Za

b

ax(u(t) v(t))

∂uu0

(t) +

∂v v0

(t)

+ ay(u(t) v(t))

∂uu0

(t)+

∂x

∂x

∂y

∂y

(t) + az(u(t) v(t))

∂z

∂z

d t =

∂v v0

∂uu0

(t) +

∂v v0(t)

Iλ(~a, ~ru)du + (~a, ~ru)dv.

Применим теперь к полученному выражению для								Hγ(~a, d ~r) формулу Гри-
на в плоскости u, v. Тогда мы получаем
Iγ(~a, d ~r) = ZD	( ∂u v)		−	∂( ∂v u) =
	∂ ~a, ~r			~a, ~r
				ZD ∂u, ~rv			−	∂v , ~ru du dv. (3.23)
						∂~a		∂~a

Пусть ~τ = ~ru/|~ru| и s длина дуги как параметр на координатной линии u = u, v = const. Тогда u = u(s) и, согласно теореме 14, мы имеем

	P (~τ) =		d (~a(u(s), v)			=		∂~a	u0(s).
			d s
							∂u
Используя очевидное равенство
		d~r(u(s), v)		= ~ruu0			(s),
			ds
мы получаем ∂~a	= P (~ru) и, аналогично,					∂~a	= P (~rv).
Используя эти равенства в (3.23) и применяя определение ротора, мы
∂u						∂v

приходим к следующему равенству:

IZ

(~a, d ~r) = (rot~a, [~ru, ~rv])du dv.

γD

Òàê êàê [~ru, ~rv] = |[~ru, ~rv]|~n и координаты A, B, C вектора ляются формулами

(3.24)

[~ru, ~rv] опреде-

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

∂v

∂v

∂z

∂v

∂v

∂v

A =

∂u∂y

∂u∂z

,

B =

∂u∂y

∂u∂x

,

C =

∂u∂x

∂u∂y

,

мы можем переписать	равенство	(3.24)	â âèäå
Iγ(~a, d ~r) = ZD(rot~a, ~n)|[~ru, ~rv]|du dv =			ZD(rot~a, ~n)√			du dv.
					A2 + B2 + C2

46

Окончательно, используя известную из математического анализа вычислительную формулу для поверхностного интеграла, мы получаем

IZ

(~a, d ~r) = (rot~a, ~n)ds.

γσ

Теорема Стокса позволяет выразить проекцию ротора rot~a на любое направление с помощью следующих рассуждений.

Пусть M0 некоторая точка и ~n произвольный единичный вектор. Проведем через точку M0 некоторую ориентированную поверхность σ, ограниченную контуром γ, для которой ~n является единичным вектором в точке M0. Пусть контур γ, оставаясь на поверхности σ, стягивается к

точке M

грала первого0. Тогда,родаприменяяи обозначаятеоремучерезо среднем для поверхностного инте- S площадь части поверхности σ,

ограниченной переменным контуром γ, мы получаем

γ→M0	H	S	γ→M0 R			S	M→M0	)( )
	γ	(~a, d ~r)			σ	(rot~a, ~n)ds
lim		=	lim			=	lim (rot~a, ~n	M ,

где M некоторая точка, лежащая на части поверхности σ, ограниченной переменным контуром γ. Мы здесь воспользовались тем, что точка

M

стремится к точке

M0

, когда контур

γ

стягивается к точке

M0

. Òàê êàê

мы предполагаем, что функция

(rot~a, ~n) на σ является непрерывной, то,

вычисляя последний предел, мы получаем следующую формулу:

(rot

)(

0) = γ→M0

H

S

~a, ~n

M

lim

γ(~a, d ~r)

.

(3.25)

Òàê êàê (rot~a, ~n)(M0) является численным значением ортогональной

проекции ротора на направление единичного вектора ~n, òî			формула
(3.25) позволяет выразить это численное значение проекции			äëÿ ëþ-
бой точки и любого направления через циркуляцию векторного поля.
В частности, выбирая в качестве вектора	~n	базисные векторы ~, ~		è ~,
			i j	k

мы получаем формулы для координат ротора rot~a.

3.8.Необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальности векторного поля

Определение 22. Векторное поле ~a называется потенциальным в области U, если в этой области существует такое скалярное поле ϕ, что в этой области ~a = grad ϕ. В этом случае скалярное поле ϕ называется потенциалом векторного поля ~a.

47

Так как градиент постоянного скалярного поля равен нулю, то потенциал определен с точностью до постоянного слагаемого, т.е., если ϕ -

потенциал векторного поля ~a, òî ϕ + const, также является потенциалом ~a. Обычно, чтобы зафиксировать постоянную const, выбирают началь-

ную точку, в которой ϕ равняется нулю.

Потенциальное векторное поле изучается проще, чем векторное поле общего вида, так как его все его свойства можно получить с помощью более простого объекта его потенциала.

Все основные свойства потенциального векторного поля определяются следующей теоремой.

Теорема 24. Следующие четыре условия эквивалентны:

1) Векторное поле ~a является потенциальным в области U;

~

2) rot~a = 0 в области U;

3) Циркуляция векторного поля ~a по любому замкнутому контуру, лежащему в области U, равна нулю.

4) Линейный интеграл векторного поля ~a вдоль пути, лежащему в области U, не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точки этого пути.

Заметим, что эта теорема означает, что каждое из условий 2), 3) и 4) является необходимым и достаточным условием потенциальности поля

~a.

Доказательство. Сначала докажем, что из условия 1) вытекает условие

2). Действительно, если векторное поле ~a потенциально, то ~a = grad ϕ. Тогда, согласно последнему свойству из теоремы 22,

~

rot~a = rot grad ϕ = 0.

Стокса:То,что из условия 2) следует условие 3), сразу следует из теоремы
кривые, Hлежащая вR R						γ1		γ2
γ(~a, d~r) =			σ(rot~a, ~n) ds.
Покажем, что из условия 3) следует условие 4). Пусть							è		äâå
			области
			U и соединяющие точку A с точкой B. Обо-
значим через	−γ2	кривую, полученную из		γ2	заменой ориентации на про-
тивоположную, и через
è			γ кривую, полученную соединением кривых γ1

−γ2. ßñíî, ÷òî γ замкнутый контур. Тогда, согласно условию 3), мы

имеем	Iγ(~a, d ~r) = Zγ1	(~a, d ~r) − Zγ2	(~a, d ~r) = 0,
откуда следует Rγ1 (~a, d ~r) = Rγ2 (~a, d ~r).

48

Наконец, осталось доказать, что из условия 4) следует условие 1). Фиксируем некоторую начальную точку O. Пусть M некоторая точка

области U è ~τ некоторый единичный вектор. Соединим точку O ñ òî÷-

^
êîé M некоторой гладкой кривой OM, касательный вектор к которой в
точке M равен ~τ. Определим скалярное поле ϕ в точке M равенством
ZOM
ϕ(M) =	^ (~a, d ~r).

^

Согласно условию 4), значение ϕ(M) не зависит от выбора кривой OM, а зависит только от точки M. Таким образом, скалярное поле ϕ в области U корректно определено. Мы опустим доказательство того, что ϕ

дифференцируемо в области U, так как это делается в математическом анализе при изучении интегрируемости полного дифференциала.

Пусть кривая ^

OM является годографом векторной функции ~r(s), ãäå

параметр s является длиной дуги, измеряемой от точки O. Тогда, выражая криволинейный интеграл через определенный, мы получаем

Z s

ϕ(~r(s)) = (~a(r(s))~r0(s)d s.

0

Тогда, согласно определению производной скалярного поля по направлению 12, мы получаем

∂~τ M	=	d s Z0	s	= (~a(M), ~τ),
			(~a(r(s))~r0(s)d s s0
∂ϕ		d

ãäå s0 значение параметра s0 точки M. Согласно теореме 12, отсюда следует, что grad ϕ(M) = ~a(M).

Напомним, что векторное поле ~a называется соленоидальным в области U, если в этой области div ~a = 0.

Теорема 25. Векторное поле ~a является соленоидальным в области U

тогда и только тогда, когда в этой области существует такое век-
торное поле ~	~

b, ÷òî ~a = rot b.

Векторное поле ~

b из теоремы 25 иногда называют векторным потенциалом векторного поля ~a.

Доказательство. Пусть векторное поле ~a соленоидально в области U.

Мы должны найти такое векторное поле ~ ~

b, что ~a = rot b. Согласно формулам (3.9) и (3.20) в декартовых координатах, это означает выполнение следующих равенств:

∂bz	−	∂by	= ax,	∂bx	−	∂bz	= ay,	∂by	−	∂bx	= az.
∂y		∂z		∂z		∂x		∂x		∂y

49

Мы будем искать векторное поле ~

b, для которого bz = 0. Тогда данные уравнения запишутся в следующем виде:

∂by			∂bx			∂by		∂bx
		= −ax,			= ay,			−		= az.	(3.26)
	∂z			∂z		∂x			∂y
Выбрав начальное значение			z = z0 и проинтегрировав два первых урав-
нения от
z0 äî z, мы получаем
						z
bx(x, y, z) = bx(x, y, z0) + Zz0							ay(x, y, z) dz,
						z
by(x, y, z) = by(x, y, z0) − Zz0							ax(x, y, z) dz,

где в качестве bx(x, y, z0) è by(x, y, z0) можно взять произвольные функции переменных x è y. Подставив данные значения bx(x, y, z) è by(x, y, z) в последнее из уравнений (3.26) и продифференцировав интегралы по x b y как параметрам , мы получаем

− Zz0

∂xx

+

∂yy dz +

∂b

y(∂x

0)

−

∂b

x(∂y

0)

= az.

z

∂a

∂a

x, y,

x, y,

Так как векторное поле ~a соленоидально, согласно формуле (3.9), мы

имеем

∂ax

∂ay

∂az

+

= −

.

∂x

∂y

∂z

Это позволяет переписать предыдущее уравнение в виде

az(x, y, 0) +

∂by(x, y, 0)

−

∂bx(x, y, 0)

= 0.

∂x

∂y

Покажем, что можно выбрать bx(x, y, z0) è by

(x, y, z0) таким образом, что-

бы данное уравнение удовлетворялось. Действительно, оно удовлетворя-

ется для следующего выбора bx(x, y, z0) è by(x, y, z0)

by(x, y, z0) = 0

è

b(x, y, z0) = Z

az(x, y, 0) dy.

Таким образом мы показали, что существуют функции

bx

,

by

è

bz ïå-

ременных

x, y, z, которые удовлетворяют уравнениям (3.26), т.е. вектор-

íîå ïîëå ~

, by, bz, для которого выполняется равенство

b с координатами bz

~

~a = rot b.

~

Пусть условие теоремы выполнено. Вычислим div ~a = div rot b в ко-

ординатах. Согласно формулам (3.9) и (3.20), мы получаем

∂

∂b

∂b

∂

∂b

∂b

∂

∂by

∂bx

div ~a =

z

−

y

+

x

−

z

+

−

=

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂x

∂y

∂2bz

∂2by

∂2bx

∂2bz

∂2by

∂2bx

−

+

−

+

−

= 0.

∂x∂y

∂x∂z

∂y∂z

∂y∂x

∂z∂x

∂z∂y

50

3.9.Дивергенция и ротор векторного произведения и градиент скалярного произведения векторных полей

Теперь мы выведем несколько полезных формул.

~

Теорема 26. Пусть ~a и b векторные поля. Имеют место следующие формулы:

1)	~	~	~
	div [~a, b] = (b, rot~a) − (~a, rot b);
2)	~	~ ~	~	~
	rot [~a, b] = ~a div b − b div ~a + (b, r)~a − (~a, r)b;
3)	~	~ ~	~	~
	grad (~a, b) = (~a, rot b) + (b, rot~a) + (~a, r)b + (b, r)~a.

Доказательство.	1) Пользуясь формулами (3.17), (3.21), правилами
действия с r и свойствами смешанного произведения, получаем
~	~	~	~		~	~
div [~a, b] = (r, [~a, b]) = (r, ~a, b) + (r, ~a, bc) + (r, ~ac, b) = (b, r, ~a)−
	~	~	~	~			~
(~a, r, b) = (b, [r, ~a])			− (~a, [r, b]) = (b, rot~a) − (~a, rot b).
2) Пользуясь формулами (3.17), (3.21), правилами действия с							r è
свойствами двойного векторного произведения, получаем
~	~	~	~	~	~
rot [~a, b] = [r, [~a, b]] = [r, [~a, bc]] + [r, [~a, bc]] = (b, r)~a − b(r,~a)+
	~	~	~ ~		~		~

~a(r, b) − (~a, r)b = ~a div b − b div ~a + (b, r)~a − (~a, r)b.

3) Применяя формулу для двойного векторного произведения, полу- чаем следующее тождество:

~ ~ ~

p~ (~a, b) = [b, [p,~~a]] + (b, p~)~a.

Пользуясь формулами (3.14) и (3.21), правилами действия с лой (3.27), получаем

(3.27) r и форму-

~	~	~		~	~	~
grad (~a, b) = r (~a, b) = r (~a, bc) + r (~ac, b) = [b, [r,~a]] + (b, r)~a+
	~	~		~	~	~ ~
	[~a, [r, b]] + (~a, r) b = (~a, rot b) + (b, rot~a) + (~a, r)b + (b, r)~a.
Теперь выясним смысл0		слагаемых вида			~	в теореме 26. Действи-
		, ãäå ~a	0		(~a, r)b
тельно, положив ~a = |~a|~a				- единичный вектор направления ~a è

выражением производной векторного поля по направлению через r , ìû
получаем			~
~		~
	0		∂b
(~a, r)b = |~a|(~a		, r)b = |~a|		.
			∂~a0