Лосик М.В. - Лекции по векторному и тензорному анализу

61

что и требовалось доказать.

Отметим, что, применяя операцию свертки к линейному оператору f = (ai ), мы получаем след оператора f, который, являясь скаляром, не зависитj от выбора базиса.

Теперь определим поле тензора в трехмерном евклидовом пространстве. В качестве линейного пространства L возьмем пространство векто-

ðîâ E3 пространства.

Определение 24. Говорят, что в некоторой области U пространства задано поле T тензора типа (p, q), если каждой точке M области U поставлен в соответствие тензор T (M) типа (p, q) в пространстве

E3.

Если в определении 24 положить p = q = 0 мы получим скалярное поле, если p = 1 è q = 0, мы получим векторное поле.

Для того, чтобы задать поле тензора типа (p, q) в области U, можно выбрать в U некоторую систему криволинейных координат u, v, w. Пусть эта система координат является ортогональной. Тогда в любой точке M

области U определен ортонормированный базис ~eu, ~ev, ~ew, и тензор T (M)

задается своими компонентами T i1...ip (M) относительно этого базиса. В частности, таким образом мы получаемj1...jq задание скалярного и векторного поля в ортогональных криволинейных координатах, использованное ранее. Если система координат не является ортогональной, для задания

T (M) можно воспользоваться базисом ~ru, ~rv, ~rw.

Литература

[1]А. Е. Либер, Н. Ф. Ржехина. Основы векторного анализа. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1966.

[2]А. Е. Либер, Н. Ф. Ржехина. Основы тензорного анализа. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975.

[3]И. А. Гольдфайн. Векторный анализ и теория поля. М.: ГИМФЛ,

1962.

[4]Б. Е. Победря. Лекции по тензоному анализу . Ì.: Èçä.-âî Московского óí-òà, 1979.

63

Оглавление

1.Векторные функции скалярных переменных

1.1.Векторная функция скалярной переменной и ее предел . .

1.2.Непрерывность и дифференцируемость векторной функции скалярного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.Геометрические свойства производной векторной функции

1.4.Векторные функции многих переменных . . . . . . . . . . .

1.5.Векторные параметрические уравнения поверхности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.Криволинейные системы координат . . . . . . . . . . . . . .

2.Скалярное поле

2.1.Определение скалярного поля, градиент . . . . . . . . . . .

2.2.Производная скалярного поля по направлению и геометрические свойства градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3

5

7

9

10

12

17

17

19

3. Векторное поле

25

3.1.Линейный оператор и его матрица . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.Векторное поле. Дифференцируемость, производная по направлению и дивергенция векторного поля. . . . . . . . . . 27

3.3.Поток векторного поля через поверхность и теорема Гаусса-Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.Оператор Гамильтона r и его свойства . . . . . . . . . . . . 35

3.5.p-линейные и билинейные кососимметрические формы . . 38

3.6.Ротор векторного поля и теорема Стокса . . . . . . . . . . . 40

3.7.Линейный интеграл векторного поля, циркуляция и теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.Необходимые и достаточные условия потенциальности и соленоидальности векторного поля . . . . . . . . . . . . . . 46

3.9.Дивергенция и ротор векторного произведения и градиент скалярного произведения векторных полей . . . . . . . . . . 50

3.10.Дифференциальные операции второго порядка . . . . . . . 51

3.11.Выражение дивергенции и ротора векторного поля в ортогональных криволинейных координатах . . . . . . . . . . . 51

65

	66
4. Элементы тензорного анализа	57
4.1. Определение тензора и примеры тензоров . . . . . . . . . .	57