2.2. Логические основы построения эвм

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями. Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ. Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции. Основные из элементарных ФАЛ приведены в табл. 3.2. Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – операции типа дизъюнкции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами. Название и условное графическое обозначение (УГО) логических элементов также приведены в табл. 3.2. Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

С целью упрощения устройств цифровых систем или применения в них однотипных логических элементов, соответствующие ФАЛ преобразовывают, используя при этом законы и тождества алгебры логики:

• сочетательный закон: a(bс) = (аb) с, а(bс) = (аb)с,

а  (b  с) = (а  b)  с;

• переместительный закон: аb = bа, аb = bа, а  b = b  а;

• распределительный закон: а(bс) = (аb)(ас),

а(bс) = (аb)(ас), а(b с) = (аb) (ас);

• закон двойной инверсии: а = а;

• закон двойственности (правила де Моргана): аb = аb, аb = аb;

• закон поглощения: а  ас = а, a(ac) = a;

• закон склеивания: ас  ac = a, (aс)(ac) = a;

• тождества:

1) х  х = х, 4) х  х = 1, 7) х  1 = 1, 10) х  0 = х,

2) х  х = х, 5) х  х = 0, 8) х  1 = х, 11) х  0 = 0,

3) х  х = 0, 6)х  х = 1, 9) х  1 = х, 12) х  0 = х.

Здесь символ  обозначает операцию «дизъюнкция», символ  – операцию «конъюнкция», а символ  – операцию «сумма по модулю два».

Таблица 3.2. Основные функции и операции алгебры логики и их

техническая реализация

Операция	Логический элемент		Правило выполнения операции			Функция
	УГО	Название	a	b	y
Отрицание (инверсия)		НЕ (инвертор)	0 1		1 0	у =
Дизъюнкция		ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	у = ab
Конъюнкция		И	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	у = ab
Стрелка Пирса		ИЛИ-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0	у=ab = ab
Штрих Шеффера		И-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0	у=a | b = ab
Сумма по модулю 2		Исключающее ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0	у = a b = ab  ab
Равнозначность		Равнозначность	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1	у=a∾b = a b = ab  ab