stat021012

10. Рассчитываем доверительный интервал. ∆x = m tст Обратите внимание на строку формул.

11.Рассчитываем значения правой и левой границы доверительного интервала.

x −∆m и x + ∆m . Обратите внимание на строку формул. Для ввода символов ≤ и ≥ используйте вкладку Символ панели Вставка.

21

22

12.Не забудьте дать Листу 1 название Задание 1.

СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК

Типовой задачей анализа данных в медико-биологических исследованиях является установление совпадений или различий характеристик экспериментальной и контрольной группы. Например, необходимо сравнить значения каких-то параметров до и после лечения, в процессе старения организма и т.п. Используя данный метод, можно установить, вызваны ли отличия двух независимых выборок случайными факторами или они обусловлены определённым воздействием, в том числе лечебным.

Для этого формулируются статистические гипотезы:

-гипотеза об отсутствии различий (так называемая нулевая гипотеза);

-гипотеза о значимости различий (так называемая альтернативная гипотеза). Для принятия решений о том, какую из гипотез (нулевую или альтернативную) следует принять, используют решающие правила – статистические критерии35. То есть, на основании информации о результатах наблюдений (характеристиках членов экспериментальной и контрольной группы) вычисляется число, называемое эмпирическим значением критерия. Это число сравнивается с известным (например, заданным таблично) эталонным числом,

23

называемым критическим значением критерия.

Критические значения приводятся, как правило, для нескольких уровней значимости. Уровнем значимости называется вероятность ошибки, заключающейся в отклонении (не принятии) нулевой гипотезы, когда она верна, то есть вероятность того, что различия сочтены существенными, а они на самом деле случайны.

Обычно используют уровни значимости (обозначаемые α), равные 0,05, 0,01 и 0,001. В медико-биологических экспериментальных исследованиях обычно ограничиваются значением 0,05, то есть, грубо говоря, допускается не более чем 5%-ая возможность ошибки.

Если полученное исследователем эмпирическое значение критерия оказывается меньше или равно критическому, то принимается нулевая гипотеза – считается, что на заданном уровне значимости (то есть при том значении α, для которого рассчитано критическое значение критерия) характеристики экспериментальной и контрольной групп совпадают. В противном случае, если эмпирическое значение критерия оказывается строго больше критического, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза – характеристики экспериментальной и контрольной группы считаются различными с достоверностью различий 1 – α. Например, если α = 0,05 и принята альтернативная гипотеза, то достоверность различий равна 0,95 или 95%. То есть, достоверность различия характеристик – это дополнение до единицы уровня значимости при проверке гипотезы о совпадении характеристик двух независимых выборок. Другими словами, чем меньше эмпирическое значение критерия (чем левее оно находится от критического значения), тем больше степень совпадения характеристик сравниваемых объектов. И наоборот, чем больше эмпирическое значение критерия (чем правее оно находится от критического значения), тем сильнее различаются характеристики сравниваемых объектов.

В дальнейшем мы ограничимся уровнем значимости α = 0,05, поэтому, если

эмпирическое значение критерия оказывается меньше или равно критическому, то можно сделать вывод, что «характеристики экспериментальной и контрольной групп совпадают на уровне значимости 0,05». Если эмпирическое значение критерия оказывается строго больше критического, то можно сделать вывод, что «достоверность различий характеристик экспериментальной и контрольной групп равна 95%».

Рассмотрим алгоритм сравнения 2-ух выборок при помощи критерия Стьюдента: 1. Определяют средние арифметические значения для первой и второй группы:

	n				n
	∑1	xi		y =	∑2	yi
x =	i=1		;		i=1
					n2
	n
	1

24

2. Определяют средние квадратические отклонения отдельных измерений в группах:

n				n
∑1	(xi − x)2		σ2 = ±	∑2	( yi − y)2
σ1 = ± i=1	n1 −1	;		i=1	n2 −1

3. Определяют стандартные ошибки средних:

m	= ± σ1	;	m2 = ± σ2
1	n		n2
	1

4. Находят абсолютное значение разности средних арифметических опытной и

контрольной групп:

d = x − y

5. Вычисляют среднюю ошибку разности:

md = m12 +m22

6. Определяют критерий достоверности разности:

td = d md

7.Находят число степеней свободы по формуле:

ν=n1 +n2 −2

8.Из таблицы 1 для числа степеней свободы ν находят значения трех стандартных

критериев Стьюдента tst , соответствующих трем порогам достоверности: 0,95; 0,99 и 0,999.

9.Сравнивают критерий достоверности разности td с табличными значениями

критериев Стьюдента tst0,95, tst0,99, tst0,999.

Если расчётное значение td будет больше стандартного tst, то различия между выборками считаются значимыми c определённой вероятностью, иначе говоря, если окажется, что:

•td ≥ tst0,999 , то выборочная разность d достоверна с вероятностью Р = 0,999;

•tst0,99 ≤ td < tst0,999 , то выборочная разность d достоверна с вероятностью Р

=0,99;

•tst0,95 ≤ td < tst0,99 , то выборочная разность d достоверна с вероятностью Р =

0,95;

•td < tst0,95 , то выборочная разность недостоверна, т.е. различия в выборках случайны и для дальнейшего исследования необходимы дополнительные измерения с большим n.

25

Однако для проверки гипотезы о совпадении характеристик двух групп целесообразно использование либо критерия Крамера-Уэлча, либо критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Критерий Крамера-Уэлча является более эффективным «заменителем» такого известного в физике и технике критерия, как t-критерий (критерий Стьюдента).

Критерий Крамера-Уэлча. Эмпирическое значение данного критерия рассчитывается на основании информации об объемах N и М выборок x и y, выборочных средних x и y и выборочных дисперсиях sx2 и sy2 сравниваемых выборок (эти значения могут быть вычислены вручную по формулам или с помощью Microsoft Excel для Windows) по следующей формуле:

Алгоритм определения достоверности совпадений и различий характеристик сравниваемых выборок для экспериментальных данных, измеренных в шкале отношений, с помощью критерия Крамера-Уэлча заключается в следующем:

1.Вычислить для сравниваемых выборок Tэмп – эмпирическое значение критерия Крамера-Уэлча по формуле.

2.Сравнить это значение с критическим значением T0.05 = 1,96: если Tэмп ≤ 1,96, то сделать вывод: «характеристики сравниваемых выборок совпадают на уровне

значимости 0,05»; если Tэмп > 1,96, то сделать вывод «достоверность различий характеристик сравниваемых выборок составляет 95%».

Отметим, что мы не рассматриваем вопрос о том, «в какую сторону»

экспериментальная группа отличается от контрольной, то есть, улучшились или ухудшились (с содержательной точки зрения, не имеющей отношения к статистическим методам и являющейся прерогативой биологии и медицины) исследуемые характеристики.

Задание №2

Имеются две выборки результатов измерений скорости кровотока 10 пациентов до и после наркоза:

До наркоза

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10
11,2	11,0	10,9	11,22	11,4	11,0	11,1	11,3	11,2	11,3
				После наркоза
Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10
11,0	10,8	10,9	10,85	10,9	11,0	10,8	10,76	10,7	10,6

Необходимо установить: влияет ли наркоз на скорость кровотока? Оценить различие двух выборок критериями Стьюдента и Крамера-Уэлча.

26

Пример выполнения задания № 2.

1. Вводим исходные данные. Не забываем дать имя файлу, и периодически его сохранять. Определяем среднее значение каждой выборки, используя функцию СРЗНАЧ. При этом в поле диапазона данных показываем с помощью выделения мышкой наши введенные значения.

2. Определяем среднее квадратичное отклонение каждой выборки. Для этого используем функцию СТАНДОТКЛОНА. Не забываем обращать внимание на диапазон применения формул.

27

3. Находим стандартную ошибку среднего. Вычисления производим аналогично заданию №1.

28

4. Находим модуль разности средних значений исследуемых выборок. Для этого используем математическую функцию ABS.

29

5. Вычисляем среднюю ошибку разности, задав формулу в строке формул. Будем использовать математическую функцию КОРЕНЬ.

6.Определяем критерий достоверности разности

30